SEANCE 4 : ESPACES COMPLETS ESPACES´ COMPACTS

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SEANCE 4 : ESPACES COMPLETS ESPACES´ COMPACTS - IMJ-PRG

EANCE4:ESPACESCO MPL ET S,ESPACES

COMPACTS

4.1.Espac escomplets

Soit(M,d)un espacem ´etrique.Ondit qu'unesuite(x n n>0 dansMestune suite deCauch ysilaconditionsu ivantee stv´er ifi´ee:

8">0,9N2N,8n,m>N,d(x

n ,x m

End'aut reterme,(x

n n>0 estunesu itedeCauch ysietseulement si lim N!+1 sup n,m>N d(x n ,x m )=0. Onditque (M,d)es tunespacec omplets itoutesuitedeCau chydansMestconver- gente.

Lemme4.1. - Soit(x

n n>0 unesuited eCauchydansunesp acem´et rique.Siune sous-suitede(x n n>0 convergeversunpointx,al orsilenestdemˆemed e(x n n>0

D´emonstration. - Soit(x

ni i>0 unesous-su itede(x n n>0 quiconverge versx,o`u (n i i>0 estunesui testricte mentcroissanted' indices.Comme(x n n>0 estunesuit e deCauch y,onalim k!+1 d(x k ,x n k )=0. Donc las uite(x n n>0 convergeversx. Convention. - Danscecour s,onco nvientquel'espaceRdesnombr esr´eelsest complet.Onend´eduitfacil ementquel 'esp aceR nquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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Espaces m´etriques compacts - univ-lillefr

8 Parties et espaces compacts - Université Grenoble Alpes

Espaces topologiques compacts

Feuille d’exercices no3 - Université Sorbonne Paris Nord

Corrig´es d’exercices pour le TD 5 - Monteillet