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Isométries d"un espace euclidien
Exercice 1 :
N otonsC1,C2etC3les colonnes de la matriceM. Supposons que la matriceM est orthogonale. D"après le cours, on a les relations kC1kAEkC2kAEkC3kAE1 et (C1jC2)AE(C1jC3)AE(C2jC3)AE0. La relationkC1k AE1 impliqueaAE0, puis on déduit de la relation (C1jC2)AE0 quebAE¡p2. De plus, on a½(C1jC3)AE0
(C2jC3)AE0,½ p3cÅp3eAE0p2cÅp2d¡p2eAE0,½dAE ¡2c eAE ¡c. possibles pour (a,b,c,d,e) sont (0,¡p2,¡1,2,1) et (0,¡p2,1,¡2,¡1). Récipro- quement, on vérifie que ces deux solutions conviennent. I lsuffi td ecalcul erle dét erminantde Mpour les deux solutions précédentes. On trouve queM2SO3(R) si et seulement si (a,b,c,d,e)AE(0,¡p2,¡1,2,1). Exercice 2 :Notons (C1,...,Cn) les colonnes d"une telle matrice. D"après le cours, on a que (C1,...,Cn) est une base orthonormée deRn. Le vecteurC1étant unitaire, on a nécessairementC1AE¡§1 0¢¢¢0¢T. CommeC2est unitaire et est orthogo- nal àC1, on aC2AE¡0§1 0¢¢¢0¢T. En itérant, on trouve que le matrices qui conviennent sont les matrices de la forme 1(0) (0)"n1Aavec ("1,...,"n)2{¡1,1}n.Exercice 3 :Notons (C1,...,Cn) les colonnes d"une telle matrice. D"après le cours,
sont orthogonaux deux à deux et que leurs coefficients sont positifs, chacun d"eux ne peut avoir qu"une unique composante non-nulle. Comme ils sont uni- taires, le coefficient correspondant vaut nécessairement 1. Ainsi les matrices qui conviennent sont les matrices dont les colonnes sont exactement à l"ordre près