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Universite de Rennes 1- Annee 2016/2017-Licence 3
GEIS -G
eometrie et Isometries
Corrig
e de l'examen 1ere session du 5 Janvier 2017 Questions de cours. (5P.)(i) SoientEun espace vectoriel euclidien de dimension nie,f:E!Eune isometrie vectorielle etFun sous- espace vectoriel deEtel quef(F) =F:Montrer quef(F?) =F?: Soientx2F?ety2F; commef2O(E) etf1(y)2Fon a :hf(x)jyi=hf(x))jf(f1(y))i= hxjf1(y)i= 0:Ainsi,f(F?)F?; commefest une bijection lineaire, on a dimf(F?) = dimF? et il s'ensuit quef(F?) =F?: (ii) SoitEun espace ane de directionEetFune partie deE:Quand dit-on queFest un sous-espace ane deE? Fest un sous-espace ane s'il existe un sous-espace vectorielFdeEet un pointA2 Ftel que f!AMjM2 Fg=F: (iii) SoientEun espace ane de directionEetf:E ! Eune appli- cation ane telle queE= Ker(!fIdE)Im(!fIdE):Enoncer le theoreme de decomposition canonique def: Il existe une unique application aneg:E ! Eet un unique vecteurv2Eavec les proprietes : f=tvg; gpossede un point xe etv2Ker(!fIdE): (iv) Ecrire le tableau de toutes les isometries anes d'un plan ane euclidienP:det( !f)Fix(f)Nature def1PId P1pointArotation de centreA1;translationtv;v6= 0-1droiteDre exion orthogonale autour deD-1;re exion orthogonale glissee Exercice 1. (4P.)SoientEun espace ane euclidien de dimension 1 et de directionE: (i) DeterminerO(E): Soituun vecteur unitaire deE. Comme dimE= 1;fugest une base orthonormee deE:Soit '2O(E); alors'(u) est un vecteur unitaire et donc'(u) =uou'(u) =u; d'ou'= IdEou '=IdE:Comme on a toujoursfIdEg O(E);on a doncO(E) =fIdEg: (ii) Soitf:E ! Eune isometrie directe. Montrer quefest une translation. Par (i), on a!f=IdE:Comme, par hypothese,!f2O+(E);on a det!f= 1, c-a-d!f= IdE: Par un resultat du cours,fest donc une translation. (iii) Soitf:E ! Eune isometrie indirecte. Montrer quefpossede un point xeA2 Eet quefest la symetrie centrale de centreA.
Par (i), on a
!f=IdE:Comme, par hypothese,!f2O(E);on a det!f=1, c-a-d!f=IdE; en particulier, 1 n'est pas valeur propre de !f. Par un resultat du cours,fpossede donc un unique point xeA2 E:Alorsf(A+v) =f(A) +!f(v) =Avpour toutv2Eet ceci signie quef est la symetrie centrale de centreA. 2 Exercice 2. (6P.)SoitE=R3muni du repere orthonorme canonique R= (O;e1;e2;e3):On considere l'application anef:E ! Edenie par f0 @x y z1 A =13 0 @2x+y2z2
2x+ 2yz1
x+ 2y+ 2z+ 51 A (i) Montrer quefest une isometrie. L'application lineaire associee!fest donnee dans la base (e1;e2;e3) par la matrice A=13 0 @2 12 2 21
1 2 21
A On verie queAest une matrice orthogonale, c-a-dAtA=I3: (ii) Determiner la nature geometrique et les elements caracteristiques de l'application lineaire!f : Tout d'abord, on verie que detA= 1; donc!fest une isometrie directe. L'espace Inv!fdes vecteurs invariants de!fest l'ensemble des solutionsv= (x;y;z)2R3de l'equation!f(v) =v;c-a-d du systeme homogene x+y2z= 0
2xyz= 0
x+ 2yz= 0 dont les solutions sont les multiples deu= (1;1;1):Donc!fest unerotationautour de l'axe D=RuL'anglede cette rotation est donne par 2cos+ 1 = trace(A) = 2;c-a-d cos= 1=2 et donc==3: (iii) Determiner l'ensemble des points xes defet en deduire la nature geometrique et les elements caracteristiques def: L'espace Fix(f) des points xes defest l'ensemble des solutionsM= (x;y;z)2R3de l'equationf(M) =M;c-a-d du systeme inhomogene x+y2z= 2
2xyz= 1
x+ 2yz=5; en ajoutant la 3e equation a la 1ere et en ajoutant 2 fois la 3e a la 2e, on obtient 3y3z=3 et 3y3z=9:Il n'y a donc pas de solution a ce systeme : Fix(f) =;:Il s'ensuit quefest un vissage.L'axe de ce vissage est l'ensemble des pointsM= (x;y;z) tels que!Mf(M)jjuc-a-d tels que0 @x+y2z2 2xyz1 x+ 2yz+ 51 A jj0 @1 1 11 A ceci equivaut au systeme x+y2z2 = 2x+y+z+ 1 x+ 2yz+ 5 =2xyz1()3x3z= 3
3x+ 3y=6
dont les solutions sontD= (0;2;1) +Ruqui est donc l'axe du vissage. E posantA= (0;2;1);le vecteur de translation du vissage est!Af(A) =23 (1;1;1): Exercice 3. (9P.)SoitEun espace ane euclidien, de directionEde dimension nie.(On rappelle que la distanced(M;N) de deux pointsM;N2 Eest denie pard(M;N) =k!MNk:) 3 Une bijection anes:E ! Eest appeleesimilitudes'il existe un reel >0;appelerapport des, tel que, pour tous pointsM;N2 E;on ad(s(M);s(N)) =d(M;N) (i) Soits:E ! Eune similitude de rapport >0:Montrer que, pourquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
Série d'exercices Math corrigés