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Universite de Rennes 1 Annee 2018/2019
Outils Mathematiques 4: corriges des exercicesx3 etx40. -1. -
2. -3. Integrales curvilignes
Exercice 3.1.Calculer l'integrale curviligneZ
C +(x+y)dx+ (xy)dy ouC+est le cercle unite oriente dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). Solution:Une parametrisation du cercle est donnee par (t) = (x(t);y(t)) = (cost;sint), out2[0;2]:Alorsdx=x0(t)dt=sintdtetdy=y0(t)dt= costdt, ainsi
Z C +(x+y)dx+ (xy)dy=Z 2 0 ((cost+ sint)(sint) + (costsint)(cost))dt Z 20(costsintsin2t) + (cos2tsintcost)dt
Z 202costsint+ cos2tsin2tdt
Z 2 0 (sin2t+ cos2t)dt=cos2t2 +sin2t2 2 0 = 0: Remarque 1On aurait aussi, remarquer que!= (x+y)dx+ (xy)dyest exacte, en eet!=df avecf(x;y) =x22 +xyy22 ;ainsiZ C +(x+y)dx+ (xy)dy=Z C +df= 0, puisqueCest une courbe fermee.Exercice 3.2.Calculer l'integrale curviligneZ
C +xy dx+ (x+y)dySolution:On a@(xy)@y
=x6= 1 =@(x+y)@x , la forme dierentielle!=xy dx+ (x+y)dyn'est pasfermee, donc n'est pas exacte, on doit alors faire le calcul en utilisant la denition. On prend pour cela
la parametrisation du cercle donnee dans l'exercice precedent et on obtient Z C +xy dx+ (x+y)dy=Z 2 0 (costsint)(sint) + (cost+ sint)(cost))dt Z 2