[PDF] corrigés des exercices §3 et §4 - 0 - 1 - 2 - 3 Intégrales curvilignes



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Universite de Rennes 1 Annee 2018/2019

Outils Mathematiques 4: corriges des exercicesx3 etx4

0. -1. -

2. -

3. Integrales curvilignes

Exercice 3.1.Calculer l'integrale curviligneZ

C +(x+y)dx+ (xy)dy ouC+est le cercle unite oriente dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). Solution:Une parametrisation du cercle est donnee par (t) = (x(t);y(t)) = (cost;sint), out2[0;2]:

Alorsdx=x0(t)dt=sintdtetdy=y0(t)dt= costdt, ainsi

Z C +(x+y)dx+ (xy)dy=Z 2 0 ((cost+ sint)(sint) + (costsint)(cost))dt Z 2

0(costsintsin2t) + (cos2tsintcost)dt

Z 2

02costsint+ cos2tsin2tdt

Z 2 0 (sin2t+ cos2t)dt=cos2t2 +sin2t2 2 0 = 0: Remarque 1On aurait aussi, remarquer que!= (x+y)dx+ (xy)dyest exacte, en eet!=df avecf(x;y) =x22 +xyy22 ;ainsiZ C +(x+y)dx+ (xy)dy=Z C +df= 0, puisqueCest une courbe fermee.

Exercice 3.2.Calculer l'integrale curviligneZ

C +xy dx+ (x+y)dy

Solution:On a@(xy)@y

=x6= 1 =@(x+y)@x , la forme dierentielle!=xy dx+ (x+y)dyn'est pas

fermee, donc n'est pas exacte, on doit alors faire le calcul en utilisant la denition. On prend pour cela

la parametrisation du cercle donnee dans l'exercice precedent et on obtient Z C +xy dx+ (x+y)dy=Z 2 0 (costsint)(sint) + (cost+ sint)(cost))dt Z 2

0costsin2t+ cos2t+ sintcostdt

Z 2 0 costsin2t+1 + cos2t2 + sintcost dt sin3t3 +t2 +sin2t4 +sin2t2 2 0

Exercice 3.3.Calculer l'integrale curviligneZ

y+zx

2+y2dx+z+xx

2+y2dy+x+yx

2+y2dzlorsque:

1 1) est le segment de droite d'origineA= (1;1;1) et d'extremiteB= (2;2;2): 2) est l'helice denie parx= cost,y= sintetz=t,tvariant de 0 a 2:

Solution:On a@(y+zx

2+y2)@z

=1x

2+y26=x22xy+y2(x2+y2)2=@(x+yx

2+y2)@x

, la forme dierentielle !=y+zx

2+y2dx+z+xx

2+y2dy+x+yx

2+y2dzn'est pas fermee, par consequent n'est pas exacte, on doit alors faire

le calcul en utilisant la denition. 1) Le segm ent[ A;B] qui relieAaBa par exemple pour parametrisation: (t) =A+t(BA) = (1;1;1) +t((2;2;2)(1;1;1)) = (1 +t;1 +t;1 +t) avect2[0;1];alors Z y+zx

2+y2dx+z+xx

2+y2dy+x+yx

2+y2dz=Z

1 0

2 + 2t2(1 +t)2+2 + 2t2(1 +t)2+2 + 2t2(1 +t)2

dt = 3 Z 1

011 +tdt= 3[ln(1 +t)]1

0= 3ln(2):

2)

La parm etrisationdonn eeest

(t) = (cost;sint;t) avect2[0;2] et de cos2t+ sin2t= 1 on aura Z y+zx

2+y2dx+z+xx

2+y2dy+x+yx

2+y2dz=Z

2 0 ((sint+t)(sint) + (cost+t)(cost) + (cost+ sint))dt Z 2

0sin2ttsint+ cos2t+tcost+ cost+ sintdt

Z 2 0 (tsint+tcost+ cos2t+ cost+ sint)dt

Une integration par parties donne:

Z 2 0 tsintdt= [tcost]2 0Z 2 0 costdt= 2[sint]2 0= 2 et Z 2 0 tcostdt= [tsint]2 0Z 2 0 sintdt= 0 + [cost]2

0= 0 d'ou

Z y+zx

2+y2dx+z+xx

2+y2dy+x+yx

2+y2dz=Z

2 0 (tsint+tcost+ cos2t+ cost+ sint)dt Z 2 0 tsintdt+Z 2 0 tcostdt+Z 2 0 cos2tdt+Z 2 0 costdt+Z 2 0 sintdt = 2+ 0 + 0 + 0 + 0 = 2:

Exercice 3.4.Calculer l'integrale curviligneZ

y2dxx2dylorsque: 1) est le segmen tde droite d'origine A= (1;0) et d'extremiteB= (0;1): 2) est l'arc de ce rclede cen tre(0 ;0), de rayon 1 d'origineA= (1;0) et d'extremiteB= (0;1):

Solution:

2 On a @(y2)@y = 2y6=2x=@(x2)@x , la forme dierentielle!=y2dxx2dyn'est pas fermee, par consequent n'est pas exacte, on doit alors faire le calcul en utilisant une parametrisation. 1) une param etrisation du segmen t[ A;B] est donnee par (t) =A+t(BA) = (1t;t) avec t2[0;1], d'ou Z y2dxx2dy=Z 1

0t2(1)(1t)2(1)dt=Z

1

0t2(1t)2dt

t33 +(1t)33 1 0 =23: 2) Une param etrisation du qu artde cercle de cen tre(0 ;0) et de rayon 1, d'origineA= (1;0) et d'extremiteB= (0;1) est (t) = (cost;sint) avect2[0;2 ], ainsi Z y2dxx2dy=Z 2

0sin2t(sint)cos2t(cost)dt=Z

2

0sin3tdtZ

2

0cos3tdt

=Z 2

0sint(1cos2t)dtZ

2

0cost(1sin2t)dt

Z 2

0sintdtZ

2

0sintcos2tdtZ

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