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Polytech Sorbonne EI-2I Intégrales curvilignes et de surface 2018/2019
3. I=? -ydx+xdy 2π 0 -sin(t)(-sin(t))dt+ cos(t)cos(t)dt 2π 0 dt = 2π 1
Exercice 3(Formule de Green).En utilisant la formule de Green, calculer l"aire de l"ellipse pleine (?) :x2a 2+y2b est donc paramétrisée par la courbe:
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Polytech Sorbonne EI-2I Intégrales curvilignes et de surface 2018/2019
TD: Intégrales curvilignes et de surface
Exercice 1(Exemples et intégrales curvilignes).-1. Donner la paramétrisation du cercle de rayonRet de centre(0,0). Calculer la longueur de
la courbe.2. Calculer
γ?F?dloù?F(x,y) =x?i+y?jetγ=?
[0,1]→R2 t→(x(t) =t,y(t) = 2t).3. Calculer
γ?F?dloù?F(x,y) =-y?i+x?jetγ=?
[0,2π]→R2 t→(x(t) = cos(t),y(t) = sin(t)).Correction :1.
γ:t→(x(t),y(t))
Avec: x(t) =Rcos(t) y(t) =Rsin(t) Sa longueur est donné par l"intégrale curviligne du vecteur tangent àγnormalisé: ?F=? 2π 0?x ?(t)2+y?(t)2dt 2π 0R?(-sin(t))2+ cos(t)2dt
2π 0 Rdt = 2πR 2. I=? xdx+ydy 1 0 5tdt = 5 ?12 t2? 1 0 523. I=? -ydx+xdy 2π 0 -sin(t)(-sin(t))dt+ cos(t)cos(t)dt 2π 0 dt = 2π 1
Exercice 2(Théorème de Poincaré).-
1. Soit
?V=? 2xy ,-x2y 2? , montrer que le champ?Vdérive d"un potentiel.2. Donner la forme du potentiel.
3. Calculer
2xy dx-x2y 2dy? , avecγla courbeC1reliant les pointsA= (1,2)etB= (3,8).Correction :1. On aP(x,y) =2xy
etQ(x,y) =-x2y2. En calculant les dérivées partielles, on a:
yP=-2xy 2 xQ=-2xy 2 D"après le théorème de Poincaré, le champ ?Vdérive d"un potentiel.2.f(x,y) =x2y
3.γ2xy
dx-x2y 2dy=? divf =f(B)-f(A) 58Exercice 3(Formule de Green).En utilisant la formule de Green, calculer l"aire de l"ellipse pleine (?) :x2a 2+y2b est donc paramétrisée par la courbe: