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Polytech Sorbonne EI-2I Intégrales curvilignes et de surface 2018/2019

TD: Intégrales curvilignes et de surface

Exercice 1(Exemples et intégrales curvilignes).-

1. Donner la paramétrisation du cercle de rayonRet de centre(0,0). Calculer la longueur de

la courbe.

2. Calculer

γ?F?dloù?F(x,y) =x?i+y?jetγ=?

[0,1]→R2 t→(x(t) =t,y(t) = 2t).

3. Calculer

γ?F?dloù?F(x,y) =-y?i+x?jetγ=?

[0,2π]→R2 t→(x(t) = cos(t),y(t) = sin(t)).

Correction :1.

γ:t→(x(t),y(t))

Avec: x(t) =Rcos(t) y(t) =Rsin(t) Sa longueur est donné par l"intégrale curviligne du vecteur tangent àγnormalisé: ?F=? 2π 0?x ?(t)2+y?(t)2dt 2π 0

R?(-sin(t))2+ cos(t)2dt

2π 0 Rdt = 2πR 2. I=? xdx+ydy 1 0 5tdt = 5 ?12 t2? 1 0 52
3. I=? -ydx+xdy 2π 0 -sin(t)(-sin(t))dt+ cos(t)cos(t)dt 2π 0 dt = 2π 1

Exercice 2(Théorème de Poincaré).-

1. Soit

?V=? 2xy ,-x2y 2? , montrer que le champ?Vdérive d"un potentiel.

2. Donner la forme du potentiel.

3. Calculer

2xy dx-x2y 2dy? , avecγla courbeC1reliant les pointsA= (1,2)etB= (3,8).

Correction :1. On aP(x,y) =2xy

etQ(x,y) =-x2y

2. En calculant les dérivées partielles, on a:

yP=-2xy 2 xQ=-2xy 2 D"après le théorème de Poincaré, le champ ?Vdérive d"un potentiel.

2.f(x,y) =x2y

3.

γ2xy

dx-x2y 2dy=? divf =f(B)-f(A) 58
Exercice 3(Formule de Green).En utilisant la formule de Green, calculer l"aire de l"ellipse pleine (?) :x2a 2+y2b est donc paramétrisée par la courbe:

γ(t) =?

x(t) =acos(t) y(t) =bsin(t)

En utilisant la formule de Green, on a:

A=? ? D dxdy 12 -ydx+xdy 12 2π 0 -bsin(t)(-asin(t))dt+acos(t)(bcos(t))dt =πab Exercice 4(Flux sortant).Soit le champ?V=xz?i+yz?j+z2?ket la surface définie par : S=? x2+y2= 1

1. Représenter graphiquement la surfaceS.

2. Calculer le flux sortant

?Và travers la surfaceS.

Correction :2

1.

2. Calculons à présent le flux sortant de

?Và traversS: S

1+S2+S3?

V·?nds=φ1+φ2+φ3

•S1: pas de flux car?n=-?k, donc?V·?n=-z2maisz= 0enS1doncφ1= 0. •S2:?n=?kdonc?V·?n=z2etz= 1enS2. Donc 2=? ?

1ds=S2=πR2=π

carR= 1. •S3: on paramétrise en utilisant les coordonnées cylindriques:??? ?x= cos(θ) y= sin(θ) z=z donc ?V·?n= (cos(θ)z?i+ sin(θ)z?j+z2?k)·(cos(θ)?i+ sin(θ)?j) = cos

2(θ)z+ sin2(θ)z

=z pour finir: 3=? ? S

3zdθdz= 2π?

1 0 zdz= 2π[z22 ]10=π

Pour conclure:

φ= 2π

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