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mathématiques - S2

TD 4 : Intégrales curvilignes - corrigé

département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble exercices théoriques

1. On considère les pointsA(0,1)etB(2,0).

On noteC1le demi-cercle supérieur de centreAet de rayon 1, etC2le demi-cercle de diamètre[AB]contenantO.

Calculer les intégrales curvilignes :

(a) C 1x2dy (b)? [AB](x+y)dx+ (x-y)dy (c) C

2(x+y)dx+ (x-y)dy

corrigé succint : (a) On peut paramétrer le demi-cercleC1parx= cos(t),y= 1 + sin(t)avect?[0,π], donc dy= cos(t)dt et en remplaçantxet dypar les expressions ci-dessus, l"intégrale devient?π

0cos3(t)dt.

Si on linéarisecos3(t)grâce aux formules d"Euler, on obtientcos3(t) =cos(3t) + 3cos(t) 4, donc en prenant une primitive, l"intégrale vaut[sin(3t)/12 + 3sin(t)/4]π0= 0. (b) On peut paramétrer[AB]parx= 2t,y= 1-tavect?[0,1], donc dx= 2dt, dy=-dt et l"intégrale devient?1

0(2(2t+ 1-t)-3t+ 1)dt=?1

0(-t+ 3)dt.

Soit encore[-t2/2 + 3t]10=-1/2 + 3 = 5/2.

(c)méthode directe...mais affreuse :si on emploie la même technique que pour les deux intégrales précédentes, on détermine suc-

cessivement : - les équations paramétriques du demi-cercle : Le centreΩdeC2a pour coordonnées(1,1/2), et le rayon deC2est⎷ 5/2. On peut donc paramétrerC2en coordonnées cartésiennesx= 1 +⎷

5/2cost,y=

1/2 +⎷

5/2sint, il reste à trouver les bornes (on n"a pas ici un simple demi-cercle supé-

rieur, ou inférieur, ou gauche ou droite. - les bornes : l"angle entre?ıetΩAvautarctan(-1/2) +π. Donc l"angletvarie entrearctan(-1/2) +πetarctan(-1/2) + 2π. - les différentielles : par conséquent, dx=-⎷

5/2sint, dy=⎷

5/2cost,

-l"intégralevaut donc?arctan(-1/2)+2π arctan(-1/2)+π(3/2+⎷

5/2cos(t)+⎷

5/2sin(t))(-⎷

5/2sin(t))+

(1/2+⎷

5/2cos(t)-⎷

5/2sin(t))(⎷

5/2cos(t))dtsoit?arctan(-1/2)+2π

arctan(-1/2)+π-3⎷

5/4sin(t)+⎷

5cos(t)/4-5/4×2cos(t)sin(t) + 5/4(cos2t-sin2t)dt.

Maisl"intervalled"intégration est de largeurπ, etcos(t)sin(t) = sin(2t)/2,cos2t-sin2t= cos(2t)/2qui sont des fonctionsπ-périodiques de valeur moyenne nulle.

Ainsi, l"intégrale vaut

?arctan(-1/2)+2π arctan(-1/2)+π-3⎷

5/4sin(t) +⎷

5cos(t)/4dt=

-3⎷

5/4[-cos(t)]arctan(-1/2)+2π

arctan(-1/2)+π+⎷

5/4[sin(t)]arctan(-1/2)+2π

arctan(-1/2)+π, =-3⎷

5/4(sin(arctan(-1/2)+

2π)-sin(arctan(-1/2)+π)),= 3⎷

5/2cos(arctan(-1/2))+⎷

5sin(arctan(-1/2))/2.

Maiscos(arctan(-1/2)) = 1/?

1 + tan2(arctan(-1/2)) = 2/⎷

5et de même

sin(arctan(-1/2)) =-1/⎷ 5 - au final l"intégrale vaut5/2. méthode efficace, 1 :la forme différentielle(x+y)dx+ (x-y)dyest exacte, de primitive f(x,y) =x2/2 +xy-y2/2donc l"intégrale vautf(B)-f(A) =f(2,0)-f(0,1) =

2-(-1/2) = 5/2.

méthode efficace, 2 :par rapport à la question b), on intégre la même forme différentielle,

entre les mêmes pointsAetB. Comme la forme(x+y)dx+(x-y)dyest exacte, le résultat ne dépend pas du chemin suivi, seulement du point de départ etd"arrivée, donc la valeur de l"intégrale surC2est la même que sur[AB], et vaut5/2.

2. Calculer les intégrales des formes différentiellexdx+x2dyetxdx+y2dy

sur le bord du carré[0,1]×[0,1]. corrigé succint :

1) pour la première intégrale, celle dexdx+x2dy:

méthode directe : On commence par calculer l"intégrale sur le bord du carré dexdx+x2dyle bord du carré est

constitué de 4 segments, et l"intégrale cherchée est la somme des intégrales de la même forme

différentielle sur chacun des 4 segments. Il y a donc 4 calculs à faire (mais chacun d"entre eux étant assez rapide).

- si on calcule l"intégrale entre(0,0)et(1,0)d"abord (sur le "bord inférieur" du carré) : icix

varie entre 0 et 1 etyvaut 0, donc on peut calculer l"intégrale en prenantxcomme paramètres, et

y= 0, dy= 0. Cette première intégrale vaut donc?1 x=0xdx= [x2/2]10= 1/2.

- pour l"intégrale entre(1,0)et(1,1)(sur le "bord droit" du carré) : ici,xest constant et vaut 1,

donc dx= 0, et par ailleursyvarie entre 0 et 1. On calcule l"intégrale en prenantypour paramètres, et elle vaut?1 y=012dy= 1.

- pour l"intégrale entre(1,1)et(0,1)(sur le "bord supérieur" du carré) : ici,yest constant et

vaut 1, donc dy= 0, etxvarie entre 1 et 0 (attention au sens des bornes, on va bien de 1à 0) : l"intégrale vaut donc?0 x=1xdx= [x2/2]01=-1/2.

- pour la dernière intégrale sur le "bord gauche") du carré : ici,yvarie de 1 à 0, alors quexest

constant et vaut 0. La forme différentielle est donc nulle, puisquexetx2sont nuls, et donc l"intégrale vaut 0. Au final l"intégrale sur le carré est la somme de ces 4 intégrales et vaut donc

1/2 + 1-1/2 + 0 = 1.

avec Green-Riemann :Il est intéressant ici, plutôt que d"additionner les valeurs des 4 intégrales

sur les 4 côtés du carré, d"utiliser la formule de Green-Riemann pour avoir une seule intégrale

double à calculer : l"intégrale sur le bord du carré dePdx+Qdyest l"intégrale double sur le

carré de ∂Q ∂x-∂P ∂y, soit ici∂x2 ∂x-∂x ∂y= 2x.

Ainsi la première intégrale vaut

?1 0? 1

0(2x-0)dxdy= 2?1

0xdx= 1

2) Pour la deuxième intégrale, on peut bien sûr reproduire lapremière méthode en découpant en

4 segments le bord du carré.

Mais il est plus simple et rapide de constater que, la forme étant fermée et définie sur un

ensemble sans trou (elle est définie sur le plan tout entier, il n"y a pas de valeur interdite dans la

définition de la forme) : elle est exacte. Et l"intégrale d"une forme exacte sur un chemin fermé est nulle...

3. Calculer l"intégrale de la forme différentielleydx+zdy+xdzsur l"arc

d"hélice d"équationsx(t) = cos(t),y(t) = sin(t),z(t) =t, entre les points(1,0,0)et(1,0,2π). corrigé succint : Ici la paramétrisation de la courbe est donnée... On a seulement besoin de calculer les différentielles dex,yetzen fonction de celle det: dx=-sin(t)dt, dy= cos(t)dtet dz=dt,

et de remarquer que les bornes d"intégration, pour aller entre les points d"altitude 0 et d"altitude

2π, puisquet=z, sont 0 et2π.

L"intégrale à calculer est donc

?2π t=0(-sin2(t) +tcos(t) + cos(t))dt. -sin2(t) = (cos(2t)-1)/2a pour intégrale-π(lecos(2t)est d"intégrale nulle),cos(t)est d"intégrale nulle, et par intégration par parties,?2π

0tcos(t)dt= [tsin(t)]2π0-?2π

0sin(t)dt= 0.

Finalement l"intégrale vaut-π.

4. Calculer la circulation des champs de vecteurs

?U=-y?ı+x??et?V= y?ı+x??sur l"ellipse définie parx(t) =acos(t),y(t) =bsin(t). corrigé succint :

1) La circulation d"un champ de vecteur?Uest l"intégrale curviligne de?U.?dl, c"est-à-dire de la

forme différentielle-ydx+xdy.

Ici dx=-asin(t)dtet dy=bcos(t)dt.

On calcule donc pour la première intégrale

ellipse-ydx+xdy=?2π

0ab(cos2(t) + sin2(t))dt= 2πab.

2) Pour la seconde

ellipseydx+xdyest l"intégrale sur un chemin fermé d"une forme exacte, elle vaut 0. exercices pratiques

1. Le poids d"un point de massemet d"altitudezest donné par l"ex-

pression ?P=-mg(z)?kavecg(z) =g0?R R+z? 2 (R= 6348km, g

0= 9,81m.s-2).

Cette force est-elle conservative?

Déterminer l"expression d"une fonctionEptelle que?P.d?l=-dEp. SiAetBsont deux points, calculer en fonction de leurs coordonnées l"intégrale?B

A?P.d?l.

corrigé succint :

Cet exercice est analogue à celui vu en cours, la seule différence est que l"on ne considère pas ici

la valeur degconstante (ce qui est valable quand on reste proche du sol) mais qu"on utilise une expression tenant compte de l"altitude du point.

On rappelle qu"en coordonnées cartésiennes,

?dl=x?ı+y??+z?k; ici, comme le poids est uniquement vertical, seule la composante sur?kva intervenir.

Cela dit : la circulation de

?P(en mécanique : le travail du poids) est l"intégrale curviligne de la forme?P.d?l. Cette forme est fermée (une seule variable!) et définie sur ledemi-espacez >-R"sans trou",

donc elle est exacte. Par conséquent, la circulation ne dépend pas du chemin suivi : la force est

bien conservative.

Une "primitive" de forme

?P.d?l=-mg(z)dzest la fonctionEp=-mg0R2 R+z.

Ainsi,

A?P.d?l=-Ep(B)-(-Ep(A)) =mg0R2

R+zB-mg0R2

R+zA.

2. On considère un contourCqui enlaceNconducteurs parcourus par des

courantsI1,...,IN. Lethéorèmed"Ampèredans leviderelielacirculation duchamp d"induc- tion magnétique ?Baux courants selon la formule?

C?B.?dl=μ0?Ni=1Ii.

2 (a) On admet quel"inductionmagnétique?Bà distancead"un fil rectiligne infini parcouru par un courantIest tangente au cercle de rayonasitué dans un plan orthogonal au fil.

Calculer sa norme.

(b) On admet que l"induction ?Bcréée sur l"âme d"une bobine torique de Nspires parcourues par un courantIest dirigée selon l"âme du tore, et que sa norme est constante (on néglige les effets de bord).

Calculer cette norme.

corrigé succint :(a) On considère un cercleCde rayonasitué dans un plan perpendiculaire au fil, dont le centre

est le point du fil appartenant à ce plan. On admet dans l"énoncé que le champ?Best de la formeB ?uθ. Alors la circulation du champ le long deCvautμ0fois la somme algébrique des courants traversant le disque. Donc C?B.?dl=μ0I. Mais sur le fil, dl=a ?uθdθdonc?B.?dl=Bdθet finalement?

C?B.?dl=?2π

2πa, et?B=μ0I

2πa?uθ

(b) SoitRle rayon de l"âme du tore.

On choisit pour contour l"âme du tore. Alors le champ est colinéaire à ce contour,B ?uθ, et le

disque à l"intérieur de ce contour est traversé parNcourant de même sens et d"intensitéI(les

fils ressortent, avec courant dans l"autre sens, à l"extérieur du disque). Si on applique le théorème d"Ampère on trouve donc

C?B.?dl=Nμ0Isoit2πRB=Nμ0I

doncB=Nμ0I

2πR.

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