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Señales y Sistemas I
Transformada de Fourier
Antonio Bonafonte
Departamento de Teoría de la Señal y ComunicacionesUniversitat Politècnica de Catalunya (UPC)
Otoño 2008
v. (29 de mayo de 2009) iiÍndice general2. Transformada de Fourier
12.1. Series y Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .1
2.1.1. Autofunciones de los S.L.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .2
2.1.2. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .4
2.1.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .10
2.1.4. Representación de la Transformada de Fourier. . . . . .. . . . . . . . . .15
2.1.5. Aplicación a S.L.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .17
2.2. Convergencia de la transformada de Fourier . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .18
2.2.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .19
2.2.2. Convergencia cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .20
2.3. Generalización de la transformada de Fourier . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .20
2.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .22
Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Simetrías: paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..22 Hermicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 Escalado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Multiplicación port. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.5. Transformada de Fourier de señales periódicas. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .42
2.5.1. De series de Fourier a transformada de Fourier. . . . . .. . . . . . . . . .42
iii ivÍNDICE GENERAL2.5.2. De la transformada de Fourier a las series de Fourier.. . . . . . . . . . .
442.5.3. Fórmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..47
2.6. Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..49
2.6.1. Muestreo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..50
2.6.2. Interpolación en el muestreo ideal . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .52
2.6.3. Muestreo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..54
2.7. Limitación en tiempo y en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .56
2.7.1. Limitación en banda: efecto en las discontinuidades. . . . . . . . . . . . .56
2.7.2. Enventanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
2.8. Resumen de Transformadas de Fourier y Propiedades . . . .. . . . . . . . . . . .63
2.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .66
Capítulo 2Transformada de FourierEn el tema I, vimos que, como cualquier señalx(t)puede ponerse como combinación lineal de
funcionesδ(t)yδ(t-t0), el conocimiento deh(t) =T[δ(t)]caracteriza a cualquier sistema lineal e
invariante. Sin embargo, la funciónδ(t), desde el punto de vista experimental, no es muy práctica:
no es fácil generar una señal (asociada a una magnitud física) tal que su duración tienda a cero
y su amplitud a infinito. Además, muchos sistemas sólo se comportan como lineales e invariantes
para un rango limitado de amplitudes. Vamos a estudiar ahora la respuesta de un S.L.I. a una funciónexponencial complejaest, (s complejo) y en particular la respuesta a las exponenciales imaginarias (ej2πft). Veremos en este tema, de la mano de las series y transformadas de Fourier, como la mayoría de las señales de interés pueden representarse como combinaciones linealesde exponenciales complejas. Por tanto, la respuesta de un S.L.I. a las exponenciales complejas nos servirá para conocer la respuestaa cualquiera de estas señales. Podríamos utilizar funciones senoidales, en vez de exponenciales
complejas, pero estas últimas simplifican el tratamiento matemático. Aunque estamos introduciendo la transformada de Fourier para caracterizar los S.L.I., esta essólo una de las motivaciones. La transformada de Fourier nospermitirá analizar las señales desde
un punto de vista distinto, facilitando la comprensión de muchos procedimientos utilizados entelecomunicaciones, tales como la modulación, la multiplexación, o la representación digital de
las señales.Además, la transformada de Fourier nos proporcionará las primeras herramientas para lasíntesis
de sistemas: en el tema 1, aprendimos a analizar sistemas, por ejemplo, determinar la respuesta de S.L.I. a entradas, mediante la convolución. Sin embargo,no podemosdeconvolucionar, es decir, buscar la respuesta impulsional que ha de tener un sistema para que transforme una entrada en una salida.2.1. Series y Transformada de Fourier
En este apartado se definirán las series y la transformada de Fourier. En primer lugar, en el apartado2.1.1veremos cuál es la respuesta de un sistema lineal e invariante a la exponencial
complejaej2πf0ty, a partir del resultado, la respuesta a funciones como elcos(2πf0t), que son combinanción lineal de exponenciales complejas, para distintos valores def0.En el apartado
2.1.2veremos como las series de Fourier permiten expresar señales periódicas
12CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER
como combinación lineal de exponenciales complejas. Y en elapartado2.1.3veremos como
la transformada de Fourier permite representar mediante exponenciales complejas señales no periódicas. 1.Finalmente, en el apartado
2.1.5, se utilizan estos resultados para estudiar la salida de unaseñal,
periódica o no, expresada mediante combinación lineal de exponenciales complejas, a través de
un sistema lineal e invariante.2.1.1. Autofunciones de los S.L.I.
Dada una transformación linealA, definida en un espacio vectorialV:A:V-→V
se dice que un vectorxes unvector propiooautovectorsi se cumple queAx=λx(2.1)
λse denominavalor propiooautovalor. Frecuentemente losautovectoresforman una base del espacio vectorial y por tanto, el conocimiento de los autovectores y autovalores permite conocer el resultado de la transformación lineal para cualquier vector del espacio vectorial. La convolución es una transformación lineal en el espacio vectorial de las funciones. Las exponenciales complejasestsonautofuncionesde la ecuación de convolución. Es decir, si en un sistema lineal e invariante entrax(t) =est, la salida es proporcional a la entrada,y(t) =αx(t).En efecto,
e st?h(t) =? es(t-τ)h(τ)dτ=est? e-sτh(τ)dτ HLB(s)(2.2)
Fijémosnos que la integral es una constante, en el sentido que no depende del tiempo. Para una exponencial concreta de entrada, es decir, para un valorconcreto des, la integral es una constante, un número. La salida del sistema lineal invariante es, efectivamente,x(t)afectado por esa constante. AHLB(s)se le llama transformada de Laplace bidireccional. En el caso que el sistema sea causal, (h(t) = 0parat <0), tendríamosHL(s) =?∞0e-sth(t)dt, que se conoce como transformada de
Laplace.
En particular, sis=j2πf0t, la entrada es una exponencial imaginaria,ej2πf0t, y la salida será:
e j2πf0t?h(t) =ej2πf0t? e-j2πf0th(t)dtH(f0)(2.3)
1Esto es cierto sujeto a condiciones de convergencia de series y transformadas
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER3
H(f)es una función compleja de variable real (el resultado de la integral es un número complejo
yfes real) y se conoce como la transformada de Fourier deh(t). En general, la transformada de Fourier dex(t), que llamaremosX(f)se define comoX(f) =F {x(t)}=?
x(t)e-j2πftdt (2.4)Respuesta a una señal senoidal
Ahora que ya sabemos como afecta a una exponencial imaginariael paso por un sistema lineal e invariante, podemos ver cual es el efecto de cualquier señal que sea combinación lineal de exponenciales imaginarias. Estudiemos primero un caso concreto, en el que la señal sea una senoidal. Sea un sistema lineal e invariante caracterizado por su respuesta impulsionalh(t), y seaH(f)la transformada de Fourier deh(t). A el sistema se le aplica una señal senoidalx(t) = cos(2πf0t). Expresemosx(t)como combinación lineal de exponenciales imaginarias: x(t) = cos(2πf0t) =12ej2πf0t+12e-j2πf0t
x(t)es combinación lineal de dos exponenciales imaginariasej2πfty la salida será la combinación
lineal de las mismas exponenciales afectadas, por la constanteH(f): y(t) =12H(f0)ej2πf0t+12H(-f0)e-j2πf0t
Asumiendo queh(t)es real,H(f0)yH(-f0)están relacionados por la propiedad de lahermicidad de la transformada de Fourier:H(-f0) =H?(f0). En efecto: H ?(f0) =? h(t)e-j2πf0tdt? h?(t)?e-j2πf0t??dt={h(t) =h?(t)por ser real} h(t)ej2πf0tdt=? h(t)e-j2π(-f0)tdt=H(-f0)Por lo que
H(f0) =|H(f0)|ej?H(f0)
H(-f0) =|H(f0)|e-j?H(f0)
4CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER
y la salida,y(t), es y(t) =1 =|H(f0)|?1 =|H(f0)|cos(2πf0t+?H(f0)) Se puede observar que cuando en cualquier sistema lineal e invariante entra una señal senoidal,la salida es una señal senoidal, de lamismafrecuencia. El sistema lo único que hace es amplificar
o atenuar su amplitud y añadir una componente de fase, es decir, un retardo.Si la señal de entrada tuviera una cierta faseˆx(t) = cos(2πf0t+φ), podemos expresar la fase
como un retardo y, dada la invarianza del sistema, aplicar ese retardo a la salida. Es decir:ˆx(t) = cos(2πf0t+φ) = cos?
2πf0(t+φ
2πf0)?
=x(t+t0) siendot0=φ2πf0. Por tanto, la salidaˆy(t)seráy(t+t0):
ˆy(t) =y(t+t0) =|H(f0)|cos(2πf0(t+t0) +?H(f0))ˆy(t) =|H(f0)|cos(2πf0t+φ+?H(f0))
La figura
2.1ilustra el paso de exponencial compleja, imaginaria o una función senoidal por un
sistema lineal e invariante. x1(t) =est x2(t) =ej2πf0t
x3(t) =cos(2πf0t+φ)
h(t)S.L.I.
y1(t) =HLB(s)est y2(t) =H(f0)ej2πf0t
y3(t) =|H(f0)|cos(2πf0t+φ+?H(f0))
Figura 2.1: Efecto de un sistema lineal e invariante sobre funciones exponenciales y senoidales2.1.2. Series de Fourier
En este apartado veremos como las series de Fourier permitenexpresar señales periódicas como combinación lineal de exponenciales complejas. Seax(t)una señal periódica, con periodoT0= 1/f0. Bajo ciertas condiciones de convergencia x(t)puede representarse como combinación lineal de exponenciales complejas: x(t) =∞? k=-∞c kej2πkf0t(2.5)2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER5
El términok= 0,c0, es una constante e indica la componente continua, el valor medio de la señal. Los términosk=±n,c-ne-j2πnf0t+cnej2πnf0t, son periódicos, de frecuencianf0y periodo T0/n. Af0, se le denominafrecuencia fundamentalde la señal.
Otras representaciones
Six(t)es real, imponiendo en la ecuación (
2.5) quex(t) =x?(t), puede verse queck=c?
-k (ejercicio). Entonces, el términony el término-npueden agruparse. Escribiendocn=|cn|ejφn y por tantoc-n=|cn|e-jφn = 2|cn|cos(2πnf0t+φn) = 2|cn|cosφn·cos(2πnf0t)-2|cn|sinφn·sin(2πnf0t) ≡ancos(2πnf0t) +bnsin(2πnf0t) Por tanto, las series de Fourier pueden expresarse también como suma de senos y cosenos, de frecuenciasarmónicas, es decir, múltiplos de la frecuencia fundamental,f0. x(t) =a0+∞? k=1a kcos(2πkf0t) +∞? k=1b ksin(2πkf0t)(2.6) con la siguiente relación entre coeficientes: a 0=c0 a k= 2|cn|cosφn b k= 2|cn|sinφn(2.7) Puede observarse que six(t)es par, forzosamente los coeficientesbkdeberán ser nulos. Y six(t) es impar, se anularán los coeficientesak, incluyendoa0.Cálculo de los coeficientes
Asumiendo que para una señalx(t)periódica, la expresión de la serie de Fourier es correcta, ¿cómo
podemos calcular los coeficientesck? Como veremos las exponenciales complejas de armónicos distintos sonortogonales. Por ello, mediante el producto escalar de una exponencial compleja conx(t), podremos determinar la contribución (coeficiente) de esa exponencial: Definiendo el producto escalar de señales periódicas, con periodoT0= 1/f0como < x(t),y(t)>=1 T0?