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Universidad de Santiago de ChileAutores: Miguel Martínez Concha

Facultad de CienciaCarlos Silva Cornejo

Departamento de Matemática y CCEmilio Villalobos Marín

1 Ejercicios Resueltos

(ejemplar de prueba) Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los es- tudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para bus- car, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de información, decodi...cando y traduciendo la información contenida en las funciones, grá...cos, series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades.

1.1 Problema 1.

i)Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período2.Representar gra...camente y estudiar la convergencia de la serie enR: f(x) =0six0 xsi0x

Solución:

i)Calculo de los coe...cientes de Fourier. a 0=12 R f(x)dx=12" 0R f(x)dx+R

0f(x)dx#

12 R 0xdx a 0=12h x22 i 0=4 a n=1 R f(x)cos(nx)dx=1 R

0xcos(nx)dx

Usando el método de integración por partes se tiene: a n=1 h xcos(nx)n +cos(nx)n 2i 0=1 h

00 +(1)nn

21n
2i a n=(1)n1n

2=0paranpar

2n

2paranimpar

así: a

2n= 08n

a

2n1=2(2n1)28n:

b n=1 R f(x)sin(nx)dx=1 R

0xsin(nx)dx

1 h xcos(nx)n +sin(nx)n 2i

0=cos(n)n

luego el coe...ciente es: b n=(1)n+1n 1

Por lo tanto, la serie de Fourier será:

4 +1X n=1"

2(2n1)2cos((2n1)x) +(1)n+1n

sin(nx)# En todos los puntos de continuidad la serie converge af(x)y en los puntos de discontinuidad del tipox=+ 2nconn2Z, la serie converge a2 ii)A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie: 1 X n=11(2n1)2

Solución.(ii)

Evaluando enx= 0se tiene

0 = 4 2 11 2+13 2+15 2+::: de donde 4 =2 11 2+13 2+15 2+::: y de aquí 1X n=11(2n1)2=28

1.2 Problema 2

i)Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período2, de...nida por: f(x) =x2;x ii)A partir del resultado obtenido calcular la suma de: 1 X n=11n 2 iiI)Determine la convergencia de la serie1X n=11n 4

Solución:

i)La funciónfes par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que tiene la forma: a 0+1X n=1a ncos(nx) 2 a 0=1 R

0f(x)dx=1

R

0x2dx=1

h x33 i 0=23 a n=2 R

0f(x)cos(nx)dx=2

R

0x2cos(nx)dx

a n=hx2sin(nx)n +2xcos(nx)n 2i

0=4cos(n)n

2=4(1)nn

2

Luego, la serie es:

23
+ 41X n=1(1)nn

2cos(nx)

Como la función es continua enR,entonces:

x 2=23 + 41X n=1(1)nn

2cos(nx);todoxreal.

Solución(ii)

La serie numérica se puede obtener haciendox=yf() =2; 2=23 4 11 212
213
2::: de donde 1X n=11n 2=14 23
=26 iii)Como la funciónfes seccionalmente suave paraxyf() = f()se cumplen las condiciones de su...ciencia de la identidad de Parseval entonces 1 Z x22dx= 223 +1X n=1

4(1)nn

2 2 1 x55 =29 4+1X n=116n 4=) 1 X n=11n 2=490

1.3 Problema 3

Seaf(x) =x(sinx);si < x < ;entonces:

i)Determine la serie de esta función. 3 ii)Pruebe la convergencia de la serie: 1 X n=1(1)nn 21=14

Solución:

i)La funciónf(x)es par, es decirf(x) =f(x)8x2(;);entonces: b n= 0 a 0=1 R

0f(x)dx=1

R

0xsinxdx=1

[x(cosx)] 0+R

0cosxdx

= 1 a n=2 R

0f(x)cos(nx)dx=2

R

0xsinxcos(nx)dx

Paran6= 1

a n=1 R

0x[sin((n+ 1)x)sin((n1)x)]dx=2(1)n+1n

21

Paran= 1

a 1=2 R

0xsinxcosxdx=1

R

0xsin(2x)dx=12

Por lo tanto, la serie es:

xsinx= 112 cosx+ 21X n=2(1)n+1n

21cos(nx)

ii)Enx= 0hay un punto de continuidad de la función, entonces la serie converge af(0) f(0) = 0 = 112 cos0 + 21X n=2(1)n+1n

21cos(0)

Finalmente

1 X n=2(1)n+1n 21=14

1.4 Problema 4

i)Paraf(x) =e[x],0x2obtener su serie de Fourier en cosenos, periódica de período 4. ii)Del resultado determinar la convergencia de: 1 X n=1(1)n12n1 Solución: Evaluando la función parte entera tenemos 4 f(x) =8 :1si0x <1 e

1si1x <2

e

2six= 2

Con extensión parfp(x)def(x)se obtiene la serie: a 0+1X n=1a ncosnx2 a 0=12 1R

01dx+2R

1e1dx 12 1 +e1 a n= 1R

0cosnx2

dx+2R

1e1cosnx2

dx sinnx2n 2 j10+e1sinnx2n 2 j21 = 2 sinn2n + 2e1sinnsinn2n = 2sinn2n 1e1

Finalmente, la serie es:

1 +e12

+ 2(1e1)1X n=1sin n2 n cosnx2 ii)Convergencia dex0= 2punto de discontinuidad con límites lateralese1 se tiene convergencia: e

1=1 +e12

+ 2(1e1)1X n=1sin n2 n cosn e 112
= 2(1e1)1X n=1sin n2 n cosn 1 X n=112n1=4

1.5 Problema 5

Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica sin

3(x) =34

sin(x)14 sin(3x)

Solución:

Se calcula la serie de Fourier def(x) = sin3(x)en[;]:Comof(x)es impar la serie será: 1 X n=1b nsinnconbn=2 Z 0 sin

3(x)sin(nx)dx

5 En primer lugar, calculemos la integral paran6= 1R

0sin3xsinnxdx=sin3xcosnxn

j0+3n R

0sin2xcosxcosnxdx

Usando la identidad trigométrica:cosxcosnx=cos(n1)xcos(n+11)x2 32n
R

0sin2x[cos(n1)xcos(n+ 1)x]dx(1)

En segundo lugar, calculemos el valor del coe...cienteb1paran= 1en(1) b 1=1 32
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