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LAFA. Laboratorio de An´alisis de Fourier Aplicado

Transformada de Fourier

1. DelasseriesdeFourieralaTransformadadeFourier:primeras

consideraciones

Las series de Fourier son

´utiles para el estudio de se˜nales peri´odicas pero, desafortunadamente, estetipodese el desarrollo de una teor ´ıa matem´atica m´as ambiciosa y a ello vamos a dedicar alg´un tiempo. Seax(t)una se˜nal aperi´odica1definida en todo el intervalo real y denotemos porxT(t) (T >0) la se ˜nal2T-peri´odica que se obtiene a partir dex(t)haciendoxT(t) =x(t)parat2(¡T;T]y extendiendo peri ´odicamente con periodo2T. Si suponemos quex(t)es suficientemente suave (e.g., esC1(R)), entonces tendremos la identidad x(t) =xT(t) =1 2T1 X k=¡1· ZT

¡Tx(s)e¡(¼i=T)ksds¸

e (¼i=T)kt, parat2(¡T;T](1) Evidentemente, si hacemosT! 1en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la igualdad l

´ımite ser´a v´alida para todot2Ry su valor ser´a igual al de la se˜nal de partidax(t).

Ahora, estudiemos qu

´e le sucede al segundo miembro si hacemosT! 1. Tomando¢f=

1=(2T)yfk=k¢f, podemos reescribir (1) como

x(t) =1X k=¡1¢f· ZT

¡Tx(s)e¡2¼ifksds¸

e

2¼ifkt, parat2(¡T;T]

Ahora bien,jfk+1¡fkj= ¢f= 1=2T(k2Z) y, por tanto, podemos interpretar los puntosffkg como nodos equiespaciados de una partici

´on de Riemann para la integral l´ımite

Z 1

¡1µ

Z1 ¡1 e

2¼iftdf

Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la se

˜nal

aperi ´odicax(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier): x(t) =Z 1

¡1µ

Z1 ¡1 e

2¼iftdf

Este documento est´a basado ampliamente en el libro de texto del autor: J.M. Almira, "Matem´aticas para la recu-

peraci ´on de se˜nales", Grupo Editorial Universitario, 2005.

1Es decir: no peri´odica.

LAFA. Laboratorio de An´alisis de Fourier Aplicado Haciendo el cambio de variable»= 2¼f, podemos reescribir la anterior f´ormula como x(t) =1

2¼Z

1

¡1µ

Z1 ¡1 e i»td»

Definici

´on 1

La se

˜nal

F(x)(») :=bx(») :=Z

1 ¡1 x(s)e¡i»sds toma el nombre detransformada de Fourierde la se˜nal (aperi´odica)x(t)2L1(R).

Definici

´on 2

La se

˜nal

F

¡1(y)(t) :=1

2¼Z

1 ¡1 y(»)ei»sd» toma el nombre detransformada de Fourier inversade la se˜nal (aperi´odica)y(»).

Nota 1

Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como x(t) =1

2¼Z

1

¡1µ

Z1 ¡1 e i»td» 1

2¼Z

1 ¡1

F(x)(»)ei»td»=F¡1(F(x))(t)

y, de manera an

´aloga,

F(F¡1(y))(») =y(»):

Una cosa es clara: bajo ciertas hip

´otesis (que luego especificaremos), conocer la transformada de Fourier de una se ˜nal equivale a conocer dicha se˜nal, ya que al aplicar la transformada inversa recuperamos toda la informaci

´on. De igual forma, si conocemos los coeficientes de Fourierfckg1k=¡1de cierta se˜nal (peri´odica)x(t), de la que sabemos que es suficientemente suave, entonces conocemos

la se

˜nal, pues para rescatarla completamente bastar´a sumar la correspondiente serie de Fourier. As´ı,

el papel del espectro de la se ˜nal, que en el caso peri´odico lo juegan los coeficientes de Fourier, en el caso aperi

´odico lo juega la transformada de Fourier.

Para evitar problemas con la definici

´on de transformada de Fourier, supondremos que la se˜nalx(t) es absolutamente integrable enR. Es decir, supondremos que jjxjjL1(R)=Z 1 ¡1 jx(t)jdt <1:

En tal caso, su transformadabx(»)existe y est´a uniformemente acotada enR, puesje¡i»sj= 1para

»;s2Rimplicajbx(»)j · jjxjjL1(R)para para»2R. 2 LAFA. Laboratorio de An´alisis de Fourier Aplicado

1.1. Teoremas b

´asicos sobre la transformada de Fourier

La palabra "transformada" indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier ser

´a´util (como vere-

mos) para simplificar el estudio de la soluci ´on de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo el problema de la soluci ´on de una ED en un problema de soluci´on de ecuaciones algebraicas. La moti- vaci algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una se ˜nal, o al trasladar la se˜nal, etc. En este apartado estudiamos las propiedades m

´as sencillas de la transformada de Fourier.

A continuaci

´on exponemos una lista de las propiedades elementales deF(x)(») = ^x(»)(Algunas de las demostraciones son muy sencillas y las dejamos como ejercicio).

Nota 2

Mantenemos ambas notaciones,F(x)y^xpara la transformada de Fourier, porque a veces una de ellas es m ´as c´omoda o m´as clarificadora que la otra. Por otra parte, esto ayuda a que el estudiante se familiarize con ambas notaciones y, por tanto, le permitir

´a leer f´acilmente diferentes

textos sobre el tema (ya que por ahora no hay acuerdo un

´anime para la notaci´on en esta materia).

LinealidadLa transformada de Fourier es un operador lineal. M´as precisamente, six1;x22 L

1(R), ya;b2R, entonces\ax1+bx2(») =abx1(») +bbx2(»).

Traslaci

´on en el tiempo.Dadoa2R, se tiene que

F[x(t¡a)](») =e¡ia»F[x(t)](»)yF[eia»x(t)](») =F[x(t)](»¡a)

Demostraci

´on.En realidad, esta propiedad es trivial: basta hacer un cambio de variable, como se observa a continuaci

´on:

F[x(t¡a)](») =Z

1 ¡1 e¡i»tx(t¡a)dt Z 1 ¡1 e¡i»(s+a)x(s)ds(donde s=t¡a) =e¡ia»F[x(t)](»):

La otra f

Cambios de escala.Si± >0yx±(t) =±¡1x(t=±), entonces F[x±](») =F[x](±»)yF[x(±t)](±») =F(x)±(»):

Demostraci

´on.De nuevo un simple cambio de variable sirve para nuestros objetivos:

F[x±](») =±¡1Z

1 ¡1 e¡i»tx(t=±)dt =±¡1Z 1 ¡1 e¡i»±sx(s)±ds(donde s=t =F[x](±»)

La demostraci

3 LAFA. Laboratorio de An´alisis de Fourier Aplicado

Derivaci

´on.Sixes continua y derivable a trozos, conx0(t)2L1(R), entonces

F(x0)(») =i»F(x)(»):

Adem

´as, sitx(t)es integrable entonces

F(tx(t))(») =iF(x)0(»):

Demostraci

´on.En este caso vamos a utilizar la f´ormula de integraci´on por partes, para el c´alcu-

lo de^x0: x0(») =Z 1 ¡1 e¡i»tx0(t)dt t=¡1+i»Z 1 ¡1 e¡i»tx(t)dt =i»^x(»)

Antes de continuar desarrollando la teor

´ıa, vamos a calcular algunas transformadas de Fourier:

Ejemplo 1

Consideremos la se

˜nal escal´on

u a(t) =½1sijtj< a

0en otro caso

Su transformada de Fourier es

F(ua)(») =Z

1 ¡1 u a(s)e¡i»sds Z a

¡ae¡2¼i»sds=e¡i»s

¡i»¸

s=a s=¡a=e¡ia»¡eia»

¡i»

cos(¡a») +isin(¡a»)¡cos(a»)¡isin(a»)

¡i»

= 2 sin(a») 4 LAFA. Laboratorio de An´alisis de Fourier Aplicado

Ejemplo 2

Seax(t) = exp(¡jtj). Entonces

bx(») =Z 1 ¡1 e¡jtje¡i»tdt Z 0 ¡1 ete¡i»tdt+Z 1 0 e¡te¡i»tdt =¡Z 0 ¡1 e¡uei»udu+Z 1 0 e¡te¡i»tdt Z 1 0 e¡t(ei»t+ei»t)dt=Z 1 0

2e¡tcos(»t)dt

= 2

0+»Z

1 0 = 2

1 +»µ

e

0¡»Z

1 0 = 2

1¡1

2 ; pues ya hemos visto queZ 1 0 e¡tcos(»t)dt=1 2 bx(»).

De modo que

bx(») = 2µ

1¡1

2 = 2¡»2bx(») y, por tanto, bx(») =2 2+ 1.

Hay otros ejemplos cuyo c

´alculo no es tan sencillo como en los casos anteriores. Esto, unido a su importancia para las aplicaciones, los traslada a la categor

´ıa de teoremas:

Teorema 1

Six(t) = exp(¡t2), entoncesbx(») =p

¼exp(¡»2=4).

Demostraci

´on.El primer paso para el c´alculo debx(») =R1 ¡1e¡t2e¡i»tdtconsiste en agrupar en un s

´olo t´ermino el productoe¡t2e¡i»t, de manera que aparezca como exponente un cuadrado perfecto.

As

´ı, si tenemos en cuenta queµ

t+i» 2 2 =t2+i»t¡»2 4 resulta que

¡t2+i»t¢=¡»2

4 t+i» 2 2 y, por tanto, bx(») =Z 1 ¡1 e¡t2e¡i»tdt=Z 1 ¡1 e¡»2 4

¡(t+i»

2 )2dt =e¡»2 4 Z 1 ¡1 e¡(t+i» 2 )2dt, 5 LAFA. Laboratorio de An´alisis de Fourier Aplicado lo que reduce nuestro problema al c

´alculo de la integral

Z 1 ¡1 e¡(t+i» 2 )2dt. Para ello, vamos a demostrar el siguiente resultado t

´ecnico:

Lema 1

Z 1 ¡1 e¡t2dt=p

Demostraci

´on.Denotemos porIla integral que queremos calcular:I=R1

¡1e¡t2dt. Entonces

I

2=µ

Z1 ¡1 Z1 ¡1 =Z 1

¡1Z

1 ¡1 e¡(t2+s2)dtds: Si hacemos el cambio de variable a coordenadas polares,

½t=½cosµ

s=½sinµ;

cuyo Jacobiano es igual a½, podemos entonces hacer uso del teorema de integraci´on por cambio de

variables, para obtener que I 2=Z 2¼ 0Z 1 0

½e¡½2d½dµ=µ

Z2¼

0 Z1 0 = 2¼Z 1 0

½e¡½2d½= 2¼¡1

2 e¡½2¸1 0 = 2¼1 2

Por tanto,I=p

Tomamos ahora en consideraci

´on la f´ormula integral de Cauchy, aplicada a la funci´on entera f(z) = exp(¡z2). Como se trata de una funci´on sin singularidades, la integralR

°exp(¡z2)dzse

anula sobre cualquier curva cerrada°. Consideramos, pues, la curva°=°1+°2+°3+°4, cuyo

grafo es el borde del rect ´angulo[¡R;R]£[0;»=2]y que est´a orientada positivamente (de modo que

1va desde¡RhastaR,°2va desdeRhastaR+i»

2 ,°2va desdeR+i» 2 hasta¡R+i» 2quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20