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se llama serie de Fourier de f(x) respecto del sistema {φn}; los coeficientes cn se −L ≤ x ≤ L Ejemplos: a) f(x) = x, −π ≤ x ≤ π Dado que la función es par los puede demostrarse por inducción, siempre que en cada paso se admite la

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LA TRANSFORMADA DE FOURIER

af(x):g(x):r(x)dx= 0 Ejemplo:f(x) =sen x,g(x) =sen(2x),r(x)´1, [a;b] = [0;¼] Zb aÁn(x)Ám(x)r(x)dx= 0 (m6=n) Ejemplo:fsen(nx)gn=1;2;3;:::, 0·x·¼,r(x)´1. (m6=n);Z

0sen(nx)sen(mx)dx=¡1

2 Z

0fcos[(m+n)x]¡cos[(n¡m)x]gdx=

1 2 1 m+nsen[(m+n)x]¡1 n¡msen[(n¡m)x]¾ 0 = 0 a[f(x)]2r(x)dx= 1

Ejemplo:f(x) =r

2 sen x,r(x)´1, 0·x·¼. Z 0Ã r 2 2 sen

2(x)dx=2

Z

01¡cos(2x)

2 dx=2 1 2 x¡1 4 sen(2x)¾ 0 = 1 Z b aÁm(x)Án(x)r(x)dx=(0m6=n 1m=n

Ejemplo:fÁn(x)g=fr

2 sen(nx)g,(n= 1;2;3;::::),0·x·¼,r(x)´1. 1

El problema del desarrollo

funciones ortonormalesÁ1; Á2; Á3; :::. Supongamos que tal desarrollo existe, f(x) =1X n=1c nÁn(x) (i) convergencia. Multipliquemos la igualdad (i) porÁk(x)r(x) f(x)Ák(x)r(x) =1X n=1c nÁn(x)Ák(x)r(x) integremos entreayb Z b af(x)Ák(x)r(x)dx=Z b a[1X n=1c nÁn(x)Ák(x)r(x)]dx=1X n=1[Z b acnÁn(x)Ák(x)r(x)dx] Z b af(x)Ák(x)r(x)dx=1X n=1c nZ b aÁn(x)Ák(x)r(x)dx y como Zb aÁn(x)Ák(x)r(x)dx=(0n6=k 1n=k se obtiene que Zb af(x)Ák(x)r(x)dx=ck

Luego si

1X n=1c nÁn(x) converge uniformemente af(x) ena·x·b, podemos garantizar que los coe¯cientes del desarrollo vienen dados por c n=Z b af(x)Án(x)r(x)dx(n= 1;2;3;:::)

En general para que

1X n=1c nÁn(x) converja uniformemente af(x) hay que imponer condiciones restrictivas sobref(x) y la familia de funcionesfÁn(x)g. 2 a·x·b. En estas condiciones la serie1X n=1c nÁn(x) donde c n=Z b af(x)Án(x)r(x)dx(n= 1;2;3;:::)

se llama serie de Fourier def(x) respecto del sistemafÁng; los coe¯cientescnse denominan coe¯cientes

de Fourier def(x) respecto defÁng. Escribiremos, entonces f(x)»1X n=1c nÁn(x); a·x·b Si consideramos el sistema de funcionesfÃngde¯nido por

1(x) = 1;Ã2n(x) =cos(n¼x

L );Ã2n+1(x) =sen(n¼x L ) (n= 1;2;3;:::) para todoxdel intervalo¡L·x·L, (L >0) Z L

¡Lcos(m¼x

L )cos(n¼x L )dx= 0 (m;n= 0;1;2;::::;m6=n) Z L

¡Lsen(m¼x

L )sen(n¼x L )dx= 0 (m;n= 1;2;::::;m6=n) Z L

¡Lcos(m¼x

L )sen(n¼x L )dx= 0 (m= 0;1;2;::::;n= 1;2;3::::) Z L

¡L(1)2dx= 2L

Z L

¡Lcos2(n¼x

L )dx=L(n= 1;2;3;::::) Z L

¡Lsen2(n¼x

L )dx=L(n= 1;2;3;::::) por lo que podemos construir el sistema ortonormalfÁn(x)gen el intervalo¡L·x·L, dado por

1(x) =1

p

2L;Á2n(x) =1

p L cos(n¼x L );Á2n+1(x) =1 p L sen(n¼x L ) (n= 1;2;3;:::) intervalo¡L·x·Lpodemos escribir la serie de Fourier1X n=1c nÁn(x), siendo c 1=Z L

¡L1

p

2Lf(x)dx=1

p 2LZ L

¡Lf(x)dx

3 c 2n=Z L

¡Lf(x)1

p L cos(n¼x L )dx=1 p L Z L

¡Lf(x)cos(n¼x

L )dx c

2n+1=Z

L

¡Lf(x)1

p L sen(n¼x L )dx=1 p L Z L

¡Lf(x)sen(n¼x

L )dx 1 X n=1c nÁn(x) =c1Á1(x) +1X n=1[c2nÁ2n(x) +c2n+1Á2n+1(x)] = [1 p 2LZ L

¡Lf(x)dx][1

p 2L]+ 1X n=1f[1 p L Z L

¡Lf(x)cos(n¼x

L )dx][1 p L cos(n¼x L )] + [1 p L Z L

¡Lf(x)sen(n¼x

L )dx][1 p L sen(n¼x L )]g y agrupando convenientemente podemos enunciar Z L

¡Lf(x)cos(n¼x

L )dx yZ L

¡Lf(x)sen(n¼x

L )dx existen para cadan= 0;1;2;3;:::. Entonces la serie 1 2 a0+1X n=1[ancos(n¼x L ) +bnsen(n¼x L siendo a n=1 L Z L

¡Lf(x)cos(n¼x

L )dx(n= 0;1;2;3;:::) b n=1 L Z L

¡Lf(x)sen(n¼x

L )dx(n= 1;2;3;::::) f(x)»1 2 a0+1X n=1[ancos(n¼x L ) +bnsen(n¼x L )];¡L·x·L L ) +bnsen(n¼x L ) se denomina L +Án), dondeAn=p a

2n+b2ny

tag Á n=¡bn a nsi an6= 0 n=¡¼ 2 si an= 0

Fourier se simpli¯ca.

4

Sif(x) es par en¡L·x·L, entonces:

a n=2 L Z L

0f(x)cos(n¼x

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