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LEÇON N° 54 :

Suites divergentes. Cas des suites

admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application.

Pré-requis:

-Suites : définition, bornées, convergentes, extraites, unicité de la limite (si elle existe);

-Toute suite convergente est bornée; -Limites de fonctions.

54.1 Suites divergentes

Définition 1 : Une suite réelle(un)n?Nest ditedivergentedansRsi elle ne converge pas dansR.

Autrement dit,

???R,?ε >0| ?N?N,?n?N| |un-?|> ε.

Proposition 1 :

(i) Toute suite non bornée deRest divergente. (ii) Toute suite admettant une suite extraite divergente est divergente. (iii) Toute suite admettant deux suites extraites de limites différentes est divergente. démonstration: (i) Si une suite est non bornée, elle ne peut pas converger, donc elle diverge. (ii) Soitu?(n)une suite divergente extraite de(un). Alors ?? >0,?ε >0| ?N?N, ?(n)?N? |u?(n)-?|> ε. Puisque?est une application deNdansNstrictement croissante, il existe un entiermtel que ?(n) =m. On a finalement ?? >0,?ε >0| ?N?N, m?N? |um-?|> ε. C'est la définition de la divergence de la suite(un). (iii) On raisonne par l'absurde en supposant que la suite(un)converge. Dans ce cas, la limite est

unique. Par conséquent, celle des deux suites extraites est nécessairement la même, ce qui est

absurde.

2Suites divergentes

Exemples:

1. Soit(un)la suite de terme généralun= (-1)n. On au2n= 1etu2n+1=-1. Or1?=-1, donc la

suite(un)diverge.

2. Soit(un)la suite de terme généralun= (-1)n×n. Cette suite est non bornée, donc elle diverge.

54.2 Suite admettant une limite infinie

54.2.1 Définition

Définition 2 : On dit qu'une suite(un)n?Ntend vers+∞(resp.-∞) si ?A?R,?N?N|n?N?un?A(resp.un?A). On note alorslimn→∞un=±∞ouun---→n→∞±∞.

Proposition 2 : Soit(un)n?Nune suite croissante (resp. décroissante). Alorslimn→∞un= +∞si et

seulement si(un)est non majorée (resp. non minorée). démonstration: "?" :évident... "?" :(un)est non majorée, donc pour toutA?R, il existeN?Ntel queuN?A. Or(un)est aussi croissante, donc pour toutn?N,n?N?un?uN?A. Au final, la définition de la divergence de la suite(un)est vérifiée. Exemple: Soit(un)n?N?la suite de terme généralun=n? k=11 k. (un)est clairement croissante . De plus, u

2n-un=1

n+ 1+···+12n?n2n=12.

Si(un)était convergente, on auraitlimu2n-un= 0. Or cette limite est supérieure à1/2, donc(un)diverge.

Par conséquent,(un)est non majorée.

54.2.2 Comparaison

Théorème 1 : Soient(un)n?Net(vn)n?Ndeux suites telles queun?vnà partir d'un certain rang. Alors

(i)limn→∞un= +∞ ?limn→∞vn= +∞; (ii)limn→∞vn=-∞ ?limn→∞un=-∞.

Suites divergentes3

démonstration: (i) La limite de(un)est infinie, donc ?A?R,?N1?N|n?N1?un?A.

Or?N2?N| ?n?N2,vn?un. Finalement,

?A?R,?N= max(N1,N2)?N|n?N?vn?A.

D'où le résultat.

(ii) Ce point se démontre de manière analogue. Corollaire 1 : Pour touta >1, on alimn→∞an= +∞. démonstration:an=?(a-1) + 1?n?1 +n(a-1???? >0). Soitun= 1 +n(a-1). Il est clair quelimn→∞un= +∞, donclimn→∞an= +∞.? Corollaire 2 : S'il existea >1etN?Ntels quen?N?un>0etun+1un?a, alors lim n→∞un= +∞. démonstration:Pour toutm?N, u m uN=umum-1× ··· ×uN+1uN?am-N, donclimm→∞u m uN= +∞, et puisqueuN>0,limm→∞um= +∞.? Exemple: Soit(un)n?N?la suite de terme général positifun=n! 2n.

On a que

un+1 un=n+ 12, et pour toutn?2,un+1un?32>1, donclimn→∞un= +∞.

54.2.3 Opérations algébriques

Théorème 2 : Soient(un)n?Nune suite qui tende vers+∞(resp.-∞) et(vn)n?Nune autre suite.

Alors :

(i) Si(vn)est minorée (resp. majorée), alorslim(un+vn) = +∞(resp.-∞);

(ii) Si(vn)est minorée (resp. majorée) par une constante strictement positive (resp. négative), alors

lim(un·vn) = +∞; (iii) Siun>0à partir d'un certain rang, alorslimn→∞1 un= 0.

4Suites divergentes

démonstration: (i)(vn)minorée? ?m?R| ?n?N,vn?m. De plus,(un)tend vers l'infini, donc ?A?R,?N?N|n?N?un?A-m. On en déduit que sous ces conditions,un+vn?(A-m)+m=A. D'oùlimn→∞un+vn= +∞. (ii)(vn)minorée? ?m?R| ?n?N,vn?m >0. De plus,(un)tend vers l'infini, donc ?A?R,?N?N|n?N?un?A/m. On en déduit que sous ces conditions,un·vn?(A/m)·m=A. D'oùlimn→∞unvn= +∞. (iii)?A?R?+,?N?N|n?N?un?Acar(un)tend vers l'infini. En posantε=1

A, cette

définition devient : ?ε?R?+,?N?N|n?N?1 un?ε, d'où le résultat.

Récapitulatif

1. Limite de la somme :

↓unvn→?+∞-∞ ? désigne une forme indéterminée.

Exemples:

*un=netvn= 1-n:un+vn= 1;

2. Limite du produit :

↓unvn→?= 0? >0? <0+∞-∞

? désigne toujours une forme indéterminée, et?la limite finie de la suite(vn), quand elle existe.

54.2.4 Composition par une application

Théorème 3 : Soientα?R,??R=R? {±∞}etfune application définie surI= [α,+∞[

(resp.]- ∞,α]) telle quelimx→∞f(x) =?(resp.limx→-∞f(x) =?). Alors pour toute suite(xn)de

points deItelle quelimn→∞xn= +∞(resp.-∞), on a lim n→∞f(xn) =?.

Suites divergentes5

démonstration:La limite defvaut?, donc : ?ε >0,?A?I|x?A? |f(x)-?|< ε.

De plus, la suite(xn)tend vers+∞, donc

?K?R,?N?N|n?N?xn?K. En posantA=K, on axn?Aà partir d'un certain rang, et la première relation devient alors ?ε >0,?A?I|xn?A? |f(xn)-?|< ε, d'où le résultat.?

Exemples:

1. Soit(un)la suite de terme généralun= sin(π⎷

1 +n2).

u n= sin(π⎷

1 +n2) = sin?

nπ?1 +1n2? = sin? nπ+π2n+o?1n? ????---→n→∞nπ? ---→n→∞0.

2.limn→∞-n2=-∞etlimx→-∞ex= 0, donclimn→∞e-n2= 0.

3. Soit(un)la suite de terme généralun=a0+a1n+···+apnp. On a alors

u n=np?a0 np+a1np-1+···+ap-1n+ap? ????---→n→∞ap, c ?2010 par Martial LENZEN.

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