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(ii) Toute suite admettant une suite extraite divergente est divergente (iii) Toute suite admettant deux suites extraites de limites différentes est divergente démonstration : (i) Si une suite est Limite du produit : ↓ un vn → ℓ = 0 ℓ > 0 ℓ < 0 +∞ 

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deux divergentes, soit toutes deux convergentes et elles ont alors la même limite Montrons maintenant que le produit de deux suites convergentes converge 

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Étant donnée une suite (un)n∈N, on a deux suites extraites importantes : la suite (u2k)k∈N des si on peut extraire de (un) une suite divergente, alors (un) diverge vers 0, le lemme 1 3 1 nous dit que le produit un(vn − l ) converge vers 0

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Licence de Sciences 1`ereann´ee

Parcours renforc´e

2L03R

Universit´e de Poitiers

Ann´ee 2007-2008

Cours d"Analyse ´el´ementaire

par BOSIO Fr´ed´eric

Contents1 Suites3

1.1 Propri´et´es de l"ensembleNet de ses sous-ensembles . . . . . . . . . . 3

1.2 Topologie deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Introducton aux suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Suites born´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.10 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.11 Suites obtenues par it´eration (dites parfois "suitesd´efinies par r´ecur-

rence" ou "suites r´ecurrentes") . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.12 Suites et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.13 Suites `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34

Exercices38

2 Limites de fonctions et continuit´e41

2.1 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Continuit´e. D´efinition et premi`eres propri´etes . . .. . . . . . . . . . 48

2.3 Exemples de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52

2.4 Fonctions continues sur des intervalles . . . . . . . . . . . . .. . . . 53

Exercices58

3 D´erivation60

3.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 60

3.2 Fonctions d´eriv´ees des fonctions usuelles . . . . . . . . .. . . . . . . 64

1

3.3 D´erivation et variations des fonctions . . . . . . . . . . . . .. . . . . 65

3.4 D´eriv´ees d"ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70

3.5 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Exercices79

4 D´eveloppements limit´es81

4.1 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85

4.3 Op´erations ´el´ementaires sur les d´eveloppements limit´es . . . . . . . . 89

4.4 Applications des d´eveloppements limit´es `a l"´etudedes fonctions . . . 93

4.5 Variantes des notions de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95

Exercices97

5 Int´egration99

5.1 Int´egration des fonctions en escalier sur un intervalle . . . . . . . . . 99

5.2 Int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3 Int´egration des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 110

5.4 Calcul d"int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.5 Calcul approch´e d"une int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 117

Exercices119

2

1 Suites1.1 Propri´et´es de l"ensembleNet de ses sous-ensembles

Il est difficile de bien aborder l"´etude des suites sans quelques connaissances fon- damentales sur l"ensemble des entiers naturels et ses parties. Rappelons l"existence d"un ordre "naturel" sur les entiers naturels, que nous ne red´efinissons pas. Nous commen¸cons par le r´esultat suivant, qui est fondamental : Th eor`eme1.1Toute partie deN, except´e la partie vide, poss`ede un plus petit ´el´e- ment (plus petit au sens de l"ordre). D emonstrationNous le montrons par une r´ecurrence (forte) sur un ´el´ement de la

partie consid´er´ee. Plus pr´ecis´ement, posons l"hypoth`ese de r´ecurrence suivante :

H n: Toute partie deN, contenantnposs`ede un plus petit ´el´ement. Il est clair queH0est vraie car si une partie deN, contient 0, alors c"est son plus petit

´el´ement.

Prenons maintenant un entier naturelk≥1 et supposons queHisoit vraie pour tout entier natureliv´erifianti < k. Montrons alorsHk. SoitEune partie deN, contenant k. SiEcontient un entieritel quei < k, alors,Hi´etant vraie par hypoth`ese,Econtient un plus petit ´el´ement. SiEne contient aucun entieristrictement inf´erieur `ak, alorskest le plus petit

´el´ement deE.

On a donc montr´eHket, par le principe de r´ecurrence forte,Hnest vraie quel que soitn. Comme toute partie non vide deNcontient un entier naturel, l"hypoth`ese pr´ec´edente est valable pour cet entier et la partie consid´er´ee a bien un plus petit ´el´ement.? D efinition1.1On dit qu"une partieEdeNestfinies"il existe une entier naturel net une bijection de l"ensemble[1...n]sur l"ensembleE. Si la partieEdeNn"est pas finie, on dit qu"elle estinfinie. ulier, l"ensemble [1...0] d´esigne l"ensemble vide, c"est-`a-dire l"ensemble quin"a aucun ´el´ement. Ainsi, l"ensemble vide est une partie finie deN. Proposition1.2SoitEune partie deN. Alors les assertions suivantes sont ´equiva- lentes : 3 i)Eest finie ; ii)Eest major´ee ; iii) SoitEest vide, soitEposs`ede un plus grand ´el´ement. PreuveMontrons d"abord l"implicationii)?i), c"est-`a-dire que toute partie ma- jor´ee deNest finie. Nous proc´edons par r´ecurrence sur le (un) majorant deE. On poseHnl"hypoth`ese suivante : Toute partie deNqui est major´ee parnest finie. MontronsH0: Il n"existe que deux parties deNqui sont major´ees par 0, `a savoir l"ensemble vide et l"ensemble qui a 0 pour seul ´el´ement. L"ensemble vide est fini d"apr`es ce qu"on a dit, le singleton r´eduit `a{0}est aussi fini car l"application de [1...1] (={1}) dans{0}envoyant 1 sur 0 est une bijection. Montrons que, pour tout entierk, si on aHkalors on a aussiHk+1: SupposonsHk et soitFune partie deNmajor´ee park+ 1. On a alors deux possibilit´es : - Sik+ 1 n"est pas dansF, alorskmajoreFet d"apr`es l"hypoth`ese on a la bijection d´esir´ee. - Sik+1 est dansF, alors on a un entiern0et une bijectionφde [1...n0] dansF\{k+1} car cette derni`ere partie est major´ee park. On peut alors d´efinir une bijectionψde [1...n0+ 1] dansFen posantψ(i) =φ(i) siiest dans [1...n0] etψ(n0+ 1) =k+ 1. Cela prouveHk+1sous l"hypoth`eseHket, par le principe de r´ecurrence, cela prouve que toute partie major´ee deNest finie. Montrons r´eciproquementi)?ii), soit que toute partie finie deNest major´ee. Nous proc´ederons par r´ecurrence sur l"entiernde la d´efinition. On poseH?nl"hypoth`ese suivante : Toute partie deNqui est en bijection avec [1...n] est major´ee. Sin= 0, l"ensemble [1...n] est vide et aucun autre ensemble n"est en bijection avec lui. De plus, il est clairement major´e dansN(par exemple par 0). Ainsi,H?0est vraie. Montrons que, pour tout entierk, si on aH?kalors on a aussiH?k+1: SupposonsH?ket soitφune bijection de [1...k+1] dans une partieEdeN. Si on restreintφ`a [1...k], on obtient une bijection de [1...n] dnasE\{φ(k+1)}. D"apr`es l"hypoth`ese de r´ecurrence cette derni`ere partie est major´ee et appelons-enMun majorant. On a alors deux possibilit´es : - Siφ(k+ 1)≥M, alorsφ(k+ 1) est un majorant deE.

De toute fa¸con,Eest major´ee.

Cela prouveHk+1sous l"hypoth`eseHket, par le principe de r´ecurrence, cela prouve que toute partie finie deNest major´ee. Nous avons donc montr´e l"´quivalencei)?ii).

Montrons `a pr´esent l"implicationiii)?ii).

4 SiEest vide, alors tout entier naturel, par exemple 0, en est un majorant. xdeE, autrement ditMest un majorant deE.

On a donc bien l"implication voulue.

Reste l"implicationii)?iii).

Supposons donc queEest une partie major´ee deN. L"ensemble de ses majorants est une partie non vide deNet poss`ede donc un plus petit ´el´ement que nous notonsM.

´el´ement deE, ce qui montre queEen a un.

SiMn"est pas dansE, alors on ax < Mpour toutxdeE. SiMn"´etait pas ´egal `a qui n"est pas le cas. On doit donc avoirM= 0 et tout ´el´ementxdeEest un entier naturel v´erifiantx <0. Comme aucun entier naturel ne v´erifie cette in´egalit´e,c"est queEest vide.

On a donc bien montr´e l"implication voulue.

Finalement, on a bien l"´equivalence des assertionsi),ii) etiii).? Corollaire1.3Toute partie d"une partie finie deNest elle-mˆeme finie. Corollaire1.4La r´eunion de deux parties finies deNest aussi une partie finie de N. Plus g´en´eralement, la r´eunion denparties finies deN, pour un entier natureln, est aussi une partie finie deN. Proposition1.5SoitEune partie finie deN. Alors, il existe un entier natureln et une bijection strictement croissanteφde[1...n]dansE. De plus, l"entiernet la bijectionφsont uniques. En fait, cela revient `a classer les ´el´ements deEdans l"ordre croissant (ce qu"on sait bien sˆur possible par exp´erience). PreuveCommen¸cons par prouver l"unicit´e d"une telle application. Supposons qu"on ait une bijection strictement croissanteφ1de [1...n1] dans une partie finieEdeNet une bijection strictement croissanteφ2de [1...n2] dans cette mˆeme partieE. On doit lequel on aieφ1(k)?=φ2(k), alors appelonsk0le plus petit de tous ces entiers. Ainsi, pour toutk?[1...n1], on aφ1(k) =φ2(k). Si on avaitn1> n2, alorsφ2(n1+1) serait dansE, donc on pourrait trouverk0dans [1...n1] tel queφ1(k0) =φ2(n1+ 1). Mais, commek0est dans [1...n1], on a aussiφ1(k0) =φ2(k0) et les deux entiersk0et 5 n1+1 devraient avoir la mˆeme image parφ2. Comme ils sont diff´erents et queφ2est injective, on aboutirait `a une contradiction. Pour prouver l"existence de la bijection, on peut proc´ederpar r´ecurrence sur un majorant deE. On pose doncHn: Pour toute partieEdeNmajor´ee parn, il existe un entiern0et une bijection strictement croissante de [1...n0] dansE. H

0est vraie car il n"y a rien a v´erifier pour montrer la stricte croissance d"une appli-

cation ayant au plus un ´el´ement au d´epart. Soitkun entier pour lequelHkest vraie et soitEune partie deNmajor´ee park+1. Alors, siEne contient pask+ 1,Eest major´ee parket l"hypoth`ese de r´ecurrence nous fournit la bijection d´esir´ee. SiEcontientk+1, alors consid´eronsE\{k+1}. C"est une partie deNmajor´ee park. Par hypoth`ese de r´ecurrence, on a un entiern0et une bijection strictement croissante etψ(n0+ 1) =k+ 1, on obtient une bijection strictement croissante de [1...n0+ 1] dansE. Ainsi, on a bienHk+1et le principe de r´ecurrence permet de conclure la validit´e de H npour toutn. La proposition en d´ecoule.? D efinition1.2SoitEune partie finie deN. L"entiernpour lequel il existe une bijection (strictement croissante) de[1...n]dansEs"appelle lecardinal(ou le nombre d"´el´ements) deE. On le note#EouCardE. Proposition1.6SoitEune partie infinie deN. Alors il existe une unique bijection strictement croissante deNdansE. Ici encore, cela revient a ranger les ´el´ements deEdans l"ordre croissant. PreuveMontrons d"abord l"unicit´e. Supposons qu"on ait deux bijections strictement croissantes et distinctesφ1etφ2deNdans une de ses partiesE. Soit alorsnle plus petit entier pour lequelφ1(n)?=φ2(n). Quitte `a les intervertir, on peut supposer que

1(n)< φ2(n). Appelons alorsn?l"ant´ec´edent deφ1(n) parφ2. Commeφ2(n?)< φ2(n)

et queφ2est strictement croissante, cela veut dire quen?< n. Mais alors, par d´efinition den, on aφ1(n?) =φ2(n?) =φ1(n). Cela contredit l"injectivit´e deφ1, ce qui est contradictoire. On a donc bien l"unicit´e de la bijection strictement croissante deNdansE. Montrons maintenant l"existence de cette bijection. Construisons en fait sa bijection r´eciproque. Pour tout ´el´ementideE, posonsEφ(i2).

V´erifions queφest bijective. L"injectivit´e d´ecoule du fait queφest strictement crois-

sante. Montrons par r´ecurrence queφest surjective. Il est d´ej`a clair que sii0est le plus petit ´el´ement deE, l"ensembleEφ(j) =φ(i) + 1 =k+ 1. Par le principe de r´ecurrence, tous les entiers sont dans l"image deφqui est ainsi surjective. L"applicationφest une bijection strictement croissante deEdansNet sa bijection r´eciproque est elle strictement croissante deNdansE, ce qui montre l"existence d"une telle bijection.

Cela termine la preuve de la proposition.?

1.2 Topologie deR

Nous nous interessons ici aux propri´et´es analytiques de l"ensemble des nombres r´eels.

Bornes sup´erieure et inf´erieure

D efinition1.3SoitEune partie deR. On dit qu"un r´eelMest unmajorantdeE si on a, pour toutx?E,M≥x. On dit qu"un r´eelmest unminorantdeEsi on On dit que la partieEestmajor´eesi elle a un majorant, qu"elle estminor´eesi elle a un minorant et qu"elle estborn´eesi elle est `a la fois major´ee et minor´ee. D efinition1.4SoitEune partie deR. On dit qu"un r´eelMest laborne sup´erieure deEsiMest un majorant deEet si tout majorantM?deEv´erifieM?≥M. De mˆeme, on dit qu"un r´eelmest laborne inf´erieuredeEsimest un minorant de Exemple1.2.1Si une partieEdeRposs`ede un ´el´ementMplus grand que tous les autres, alors elle n"est pas vide (elle contientM), elle est major´ee (parM), et sa 7 borne sup´erieure estM(car, commeM?E, tout majorant deEdoit ˆetre≥M). De

mˆeme, si une partie deRposs`ede un plus petit ´el´ement, alors ce plus petit ´el´ement

est sa borne inf´erieure.

L"ensembleZn"est ni major´e, ni minor´e.

Soienta < bdeux r´eels. Alors l"intervalle]a;b[poss`edeacomme borne inf´erieure et bcomme borne sup´erieure. En effet, six?]a;b[, alorsa < x. R´eciproquement, si x > a, alorsxn"est pas un minorant de]a;b[(par exemple,min(a+x

2,a+b2)est dans

]a;b[et est strictement plus petit quex). minorant de Emajorant de Einf(E) sup(E)E : Il est clair que si une partieEdeRposs`ede une borne sup´erieure, alors celle-ci est C"est ´egalement vrai de la borne inf´erieure. Il est clair aussi que pour avoir une borne sup´erieure, une partie deRdoit ˆetre major´ee (sinon elle n"a aucun majorant) et non vide (sinon tout r´eella majore etRn"a pas de plus petit ´el´ement). De mˆeme, pour avoir une borne inf´erieure, une partie deRdoit

ˆetre minor´ee et non vide.

Nous admettrons le r´esultat suivant, qui est une propri´et´e fondamentale deR: Th eor`eme1.7Toute partie non vide et major´ee deRposs`ede une borne sup´erieure. Ce fait a des cons´equences que nous ne cesserons de d´ecouvrir sur l"analyse r´eelle. On utilisera fr´equemment la caract´erisation suivante dela borne sup´erieure : Proposition1.8SoitEune partie non vide et major´ee (resp. minor´ee) deR. Alors, sa borne sup´erieureM(resp. sa borne inf´erieurem) est l"unique r´eel qui 8 v´erifie les deux propri´et´es suivantes :i)MmajoreE(respmminoreE). ii) Pour tout? >0, il existex?Etel quex > M-?(respx < m+?). PreuveSoitEune partie non vide et major´ee deR,Msa borne sup´erieure. Alors Mest par d´efinition un majorant deE. Prenons? >0. AlorsM-? < Met donc M-?n"est pas un majorant deE. Il existe doncxdansEtel quex > M-?. R´eciproquement, supposons que nous ayons une partieEdeRet un r´eelMqui v´erifient les conditions i) et ii). Dans ce casMest un majorant deE. Si on avait un majorantM?< MdeE, alors, en posant?=M-M?, on aurait? >0 et donc un r´eelx?Etel quex > M-?=M?. Cela contredit le fait queM?est un majorant de E. Il n"y a donc pas de majorant deEstrictement inf´erieur `aM. DoncMest bien la borne sup´erieure deE. La preuve est analogue dans le cas de la borne inf´erieure.?

Topologie deR

D efinition1.5SoitEune partie deRetaun r´eel. On dit queaestint´erieur `a Eou queEest unvoisinage deas"il existe un r´eel strictement positifηtel que tout l"intervalle]a-η;a+η[soit inclus dansE. On dit queaest unpoint adh´erent`aEsi, pour tout r´eel strictement positifη, l"intervalle]a-η;a+η[a une intersection non vide avecE.

Il est imm´ediat qu"un point int´erieur `a une partie est un ´el´ement de cette partie et

que tout ´el´ement d"une partie en est un point adh´erent. On remarque en outre facilement qu"un pointaest int´erieur (resp adh´erent) `a une partieEsi et seulement si ce n"est pas un point adh´erent (resp int´erieur) `aR\E. Remarque1.9La borne sup´erieure d"une partie non vide et major´ee deRest un

point adh´erent `a la partie consid´er´ee. Il en est de mˆemede la borne inf´erieure d"une

partie non vide et minor´ee. En effet, soitEune partie non vide et major´ee deR,Msa borne sup´erieure. Si on se donneη >0, on sait qu"il existe un ´el´ement deEqui est strictement plus grand queM-η. Il est en outre inf´erieur `aM, donc se trouve dans l"intervalle]M-η;M], et a fortiori dans l"intervalle]M-η;M+η[. Ainsi, l"intersection de]M-η;M+η[ avecEest non vide. La preuve concernant la borne inf´erieure est analogue. D efinition1.6Une partieEdeRest diteouvertesi tous ses ´el´ements lui sont int´erieurs. 9

Une partie deRest diteferm´eesi elle contient tous les ´el´ements qui lui sont adh´erents.

Exemple1.2.2Prenons deux r´eelsa < b. Alors l"intervalle ouvert]a;b[est unequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40