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(Une droite n'étant qu'une courbe particulière) Exemple 1 : Soient f et Étudier, sur [0 ; +∞[, les positions relatives des courbes Cf et Cg SOLUTION : Pour cela
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Df et Dg On note Cf et Cg leur courbe représentative dans ce repère Étudier la position relative de Cf et Cg sur I revient à comparer, pour tout x de I, f (x) à g(x) , ce Point méthode Pour étudier la position de C par rapport à la droite D
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Représentation graphique de R, des droites F, G et des vecteurs ( une équation de la tangente T1 `a Cg au point d'abscisse 1 et étudier la position relative de
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l'ordre croissant, puis on place les 0 et ensuite on met le signe de a à droite du 0 4 Déterminer l'intersection ou la position relative des courbes Cf et Cg 1
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1- Etudier le signe de f(x) en fonction des valeurs de x et en déduire la position relative de Cf par rapport Cg et de la droite D d'équation y=1 3- Après avoir réalisé une étude de signe, déterminer les positions relatives de courbes Cf et Cg
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Courbes, dérivées et positions relatives Année scolaire 2012/2013 4) Étudier la position relative de la courbe et de la droite Exercice 3 : Etude algébrique de
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Pour étudier son signe, on détermine le discriminant Pour étudier la position relative de la courbe C et de la tangente T, on cherche le signe de la différence P(x) – (– 9x + 18) = x3 – 3x2 f(x) – 1 = 0 et la droite d'équation y = 1 coupe C 10
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convexe et inversement si f est concave ) (page 115) • Étudier la position relative d'une droite (d'équation y “ ax ` b) et d'une courbe Cf par l'étude de la
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Position relative d'une courbe
et d'une tangenteSoit f la fonction définie sur par fx=x
3 3x 23x1.1- Calculer f '(x) et en déduire les variations de f .
2- Soit Cf la courbe représentative de f.
a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de C f. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à C f en A.3- Étudier la position relative de la courbe Cf et de la droite T.
(en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)-g(x))
Position relative d'une courbe
et d'une tangenteSoit f la fonction définie sur par fx=x
3 3x 23x1.1- Calculer f '(x) et en déduire les variations de f .
f '(x) = x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1). f '(x) est un trinôme du second degré qui admet deux racines -1
et 3. Comme le coefficient de x2 est positif, f '(x) est positif à l'extérieur des racines et positif
entre les racines. On peut construire le tableau de variations suivant :2- Soit Cf la courbe représentative de f.
a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à C f en A. a) L'ordonnée de A est f (1) = -8/3. b) Une équation de T est donnée par y = f '(1)(x - 1) + f (1). Comme f '(1) = -4 et f (1) = -8/3, on obtient l'équation y = -4x + 4/33- Étudier la position relative de la courbe C
f et de la droite T.(en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)-g(x))
dx=x 3 3x23x14x43=x
3 3x 2x13 Pour étudier le signe de d(x), on peut envisager deux méthodes : utiliser une factorisation ouétudier les variations de la fonction d.
Méthode 1
On remarque que d(1) = 0 car la courbe et la tangente passent par le point A d'abscisse 1. Celadonne l'idée de mettre (x-1) en facteur, c'est à dire d'écrire d(x) sous la forme (x-1)(ax2+bx+c).
Or (x-1)(ax2+bx+c) = ax3 + bx2 + cx - ax2 - bx - c = ax3 + (b-a)x2 + (c-b)x - c. Pour que cette expression soit égale à d(x), il suffit que a=13 ba=1 cb=1 c=1 3 soit { a=13 b=2 3 c=1 3