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318Annexe A. Corrig´es des exercices
Soitj: (S(2)\{p},d3)→(S(2),d3) l"injection de (S(2)\{p},d3) dans son adh´erence (S(2)\{p},d3) qui est ´egale `aS(2). La compositionj◦?-1 est donc aussi une isom´etrie qui poss`ede un prolongement uniform´ement continu?ψ au compl´et´e ( ?R2,ˆρ) (Th´eor`eme 6.3 du Chapitre 4).
Les compositions??◦?ψ: (?R2,ˆρ)→(?R2,ˆρ) et?ψ◦??:S(2)→S(2)coinc¨ıdent
avec l"identit´e sur les sous-ensembles densesR2etS(2)\{p}. Par l"Exercice 10.8, elles sont donc ´egales `a l"identit´e et??est une bijection. Son inverse et elle sont uniform´ement continues. En fait, comme ˆρ(x,y) =ρ(x,y) =d3(?-1(x),?-1(y)), surR2, il vient ˆρ(x,y) =d3(??-1(x),??-1(y)) par densit´e et??est une isom´etrie. (v) Comme ˆ?:S(2)→(?R2,ˆρ) est un hom´eomorphisme, elle est continue. Enfin, comme la sph`ereS(2)est compacte dans (R3,d3), son image par ˆ?:
R2=??(S(2))
est compacte dans ( ?R2,ˆρ) (cf. Th´eor`eme 4.1 du Chapitre 4).5 Exercices du Chapitre 5Exercice 8.1 Soit{fn}une suite de fonctions dansC0(K),K?Rncompact. Montrer que si{fn}estuniform´ement ´equicontinueet que pour chaquex?K, la suite{fn(x)} dansRconverge vers une fonctionf:K→R, f n(x)→f(x), alors{fn}converge uniform´ement versf. (Une famille de fonctions{fα},fα:K→ R, estuniform´ement ´equicontinuesi, pour chaqueε >0, il existeδ >0 tel que ?α,?y,?y-x?< δ,|fα(y)-fα(x)|< ε.) Solution.(i) On montre d"abord quefest uniform´ement continue surK. Par hy- poth`ese la famille{fn}est uniform´ement ´equicontinue surKsi ?ε >0,?δ >0,?n≥1,?x,y?Ktel que?x-y?< δ,|fn(x)-fn(y)|< ε/3.
Pourx,y?Ktel que?x-y?< δet toutn≥1, on a
Commefnconverge simplement versf, il existeNxetNytels que ?n > Nx,|f(x)-fn(x)|< ε/3 et?n > Ny,|f(y)-fn(y)|< ε/3.
5. Exercices du Chapitre 5319
Donc, pour tousx,y?Ktel que?x-y?< δet toutn≥max{Nx,Ny}, on a |f(x)-f(y)|< ε/3 +ε/3 +ε/3 =ε ? ?x,y?Ktel que?x-y?< δ,|f(x)-f(y)|< ε etfest uniform´ement continue surK. (ii) Pour la convergence uniforme de{fn}versfsurK, on part de la continuit´e uniforme defsurK: ?ε >0,?δ >0,?x,y?Ktel que?x-y?< δ,|f(x)-f(y)|< ε/3 et on veut montrer qu"il existeNtel que ?n > N,?x?K,|fn(x)-f(x)|< ε. La famille de boules ouvertes{Bδ(x) :x?K}est un recouvrement ouvert de K. CommeKest compact, il existe une suite finiex1,...,xmdansKtel queK? m i=1Bδ(xi). Comme, il y a convergence simple,fn(xi)→f(xi) et il existeNitel que pour toutn > Ni,|fn(xi)-f(xi)|< ε/3. Donc, pourn > N= max{N1,...,Nm} ?n > N,?i,|fn(xi)-f(xi)|< ε/3.(5.1) Par ´equicontinuit´e uniforme de la famille{fn}surKet continuit´e uniforme def surK ?x-xi?< δ? ?n≥1,|fn(x)-fn(xi)|< ε/3 et|f(x)-f(xi)|< ε/3.(5.2) Enfin, en utilisant (5.2), pour chaquex?K, il existeitel que?x-xi?< δet on a pour le premier et le troisi`eme terme < ε/3 +|fn(xi)-f(xi)|+ε/3 par ´equicontinuit´e uniforme de la famille{fn}surKet continuit´e uniforme def surK. Enfin, de (5.1), on a pour le second terme ?n > N,?x?K|fn(x)-f(x)|< ε/3 +|fn(xi)-f(xi)|+ε/3 < ε/3 +ε/3 +ε/3 =ε. Par d´efinition,{fn}converge uniform´ement versfsurK.
Exercice 8.2
Soit (X,d) un espace m´etrique compact, l"ensemble X d´ef={A:∅?=A?XetAferm´e} et?A? X,?x?X, dA(x)d´ef= infa?Ad(a,x).
320Annexe A. Corrig´es des exercices
(i) Montrer que les fonctionsx?→dA(x) :X→R+et (A,B)?→ρX(A,B)d´ef= sup x?X|dA(x)-dB(x)|:X × X →R+ sont bien d´efinies. (ii) Montrer que pour toutA? X,d-1
A{0}=A.
(iii) Montrer queρXest une m´etrique surX. (iv) Montrer que (X,ρX) est un espace m´etrique complet.
Solution.(i) Pourx?X, on a
?a?A, d(a,x)≥0 et le sous-ensemble{d(a,x) :a?A}deRest born´e inf´erieurement par 0. Donc est l"applicationdA:X→R+est bien d´efinie. Les sous-ensembles ferm´esAetBdu compactXsont des compacts. Comme les applicationsdAetdBsont lipschitziennes, elles sont continues et leur images d A(X) etdB(X) sont compactes et donc born´ees. En particulier, sup x?XdA(x) + sup Comme|dA(x)-dB(x)|est born´e sup´erieurement x?X|dA(x)-dB(x)| ?R et l"applicationρX:X × X →R+est bien d´efinie. (ii) Par d´efinition,d-1
A{0}={x?X:dA(x) = 0}. En particulierA?d-1
A{0}. Par d´efinition de l"infimum, pour toutn≥1, il existean?Atel que d n. La suite{an} ?Aest doncd-Cauchy dansX. CommeXest compact,Xest complet et il existey?Xtel quean→y. Pour toutr >0, il existeNtel que ?n > N, d(an,y)< r?Br(y)∩A?=∅?y? A.
On a d´emontr´e queA?d-1
A{0} ?
A. CommeAest ferm´e,A=Aetd-1
A{0}=A=
A.
5. Exercices du Chapitre 5321
(iii) Pour montrer queρXest une m´etrique, on doit v´erifier les trois axiomes. Pour (M1). SiA=B, alorsdA=dBetρX(A,B) = 0. SiρX(A,B) = 0, alors ?x?X, dA(x) =dB(x).
En utilisant le fait qued-1
A{0}=Aetd-1
B{0}=B, il vient
??a?A, dB(x) = 0?A?d-1
B{0}=B
?b?B, dA(x) = 0?B?d-1
A{0}=A?
?A=B.
Pour (M2)
X(A,B) = sup
x?X|dA(x)-dB(x)|= sup x?X|dB(x)-dA(x)|=ρX(B,A).
Pour (M3) etA,B,CdansX,
x?X|dC(x)-dB(x)|+ sup x?X|dB(x)-dA(x)| ?sup x?X|dC(x)-dB(x)|+ sup x?X|dB(x)-dA(x)|. (iv) Soit une suite de Cauchy{dAn}pour des ferm´esAn,∅?=An?X. CommeXest compact,C0(X) est un espace de Banach par le Th´eor`eme 2.3 (iv). Il existe doncf?C0(X) tel quedAn→f. On veut d´emontrer qu"il existe un ferm´e A,∅?=A?Xtel quef=dA. On prend comme ferm´e A d´ef={x?X:f(x) = 0}.
On fixex?X. Alors, commeAnest compact non-vide
?n,?an?An, d(an,x) = infz?And(z,x) =dAn(x) ?limn→∞d(an,x) = limn→∞dAn(x) =f(x). Donc la suite{an} ?Xest born´ee. Par compacit´e deX, il existe une sous-suite, encore indic´ee parn, qui converge vers un pointy?X: a n→y?d(y,x) =f(x). En particulier,f(y) = 0, puisque dans l"in´egalit´e =0, le dernier terme est z´ero etdAnest Lipschitz continue de constante 1. En passant `a la limite
322Annexe A. Corrig´es des exercices
Par d´efinition ofA,An"est donc pas vide. Donc, ?x?X,?y?Atel quef(x) =d(y,x)≥infz?Ad(z,x) =dA(x) ?x?X, f(x)≥dA(x). On d´emontre maintenant l"in´egalit´e dans l"autre sens. Soitx?Xet ley?A tel quef(x) =d(y,x) : →0+|dAn(x)-dAn(y)|???? →0 puisquedAnest Lipschitz de constante un. Enfin, le premier et troisi`eme termes tendent vers 0 par convergence uniforme. Commef(y) = 0, il vient Comme la fonction limitefest ´egale `adApour unA,∅?=A?X,Xest bien complet.
Exercice 8.3
Soit Ω un sous-ensemble ouvert non-vide deRn. Montrer qu"il existe une suite croissante de compacts non videsKktel que Ω =?k≥1Kket, pour tout compact
K?Ω, il existek≥1 tel queK?Kk.
Solution.(i) Si∂Ω =∅, alors, comme Ω est ouvert, ?Ω =?Ω et Ω est donc un sous-ensemble non-vide `a la fois ferm´e et ouvert del"espace connexe R n. Ce n"est possible que si Ω =Rn. Dans ce cas on prend la suite de compacts qui satisfait toutes les conditions. (ii) Si∂Ω?=∅, alors Ω∩?Ω?=∅,?Ω et Ω ne sont pas vides et?Ω est ferm´e. La fonction distanced?Ω(x) dex`a?Ω est bien d´efinie. On prend Comme la norme et la fonction distance sont des fonctions continues,Kkest ferm´e. Par d´efinition,Kkest contenu dans la boule compacte
Bk(0) deRn. Les ensembles
K ksont donc compacts comme sous-ensembles ferm´es de compacts. Enfin, pour toutk≥1, ?x?Kk, d?Ω(x)≥1/k >0?x /??Ω?x?Ω?Kk?Ω.
5. Exercices du Chapitre 5323
1/k≥1/k?etKk?Kk?.
Enfin, soitK?Ω un compact. Comme la norme et la fonction distance sont des fonctions continues sur le compactK: ?xM?Ktel que?xM?= sup x?K?x||et?xm?Ktel qued?Ω(xm) = infx?Kd?Ω(x) et, commexm?K?Ω,d?Ω(xm)>0. Il suffit enfin de prendre un entierk≥ max{1,?xM?,1/d?Ω(xm)}ce qui entraˆıneK?Kk.
Exercice 8.4
Soit Ω un ouvert non-vide deRnet
C(Ω)d´ef={f: Ω→R|fcontinue sur Ω} l"espace des fonctions continues sur Ω, o`u Ω n"est pas n´ecessairement born´e. Soit {Kk}la famille des sous-ensembles compacts construite dans l"Exercice 8.3et pour toutf?C(Ω) etk≥1 on pose q k(f)d´ef= sup x?Kk|f(x)|.
Montrer que la fonction
d(f,g)d´ef=∞?k=11 2kq k(f-g)1 +qk(f-g) est une m´etrique surC(Ω). Solution.On v´erifie les trois propri´et´es d"une m´etrique. Pour (M1), sif=g, alors pour toutk,qk(f-g) = 0 etd(f,g) = 0. Dans l"autre sens,d(f,g) = 0 entraˆıne q k(f) = supx?Kk|f(x)|= 0 etf=gsur?k≥1Kk= Ω. (M2) est v´erifi´ee par d´efinition. Pour (M3) il suffit de reprendre la d´emonstration de l"Exercice 10.3 (iii) et (iv) du Chapitre 3. Par d´efinition,qk(f-g) = supx?Kk|f(x)-g(x)|et q k(f-g)
1 +qk(f-g)= 1-11 +qk(f-g).
1
1 +qk(f-g)≥11 +qk(f-h) +qk(h-g)
1
1 +qk(f-h) +qk(h-g) +qk(f-h)qk(h-g)
1 (1 +qk(f-h))(1 +qk(h-g)).
324Annexe A. Corrig´es des exercices
Donc q k(f-g)
1 +qk(f-g)=1-11 +qk(f-g)
(1 +qk(f-h))(1 +qk(h-g)) qk(f-h) +qk(h-g) +qk(f-h)qk(h-g) (1 +qk(f-h))(1 +qk(h-g)) qk(f-h) +qk(h-g) + 2qk(f-h)qk(h-g)quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
[PDF] 2007-2008 Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1