Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle Lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en a et que ∞= − Donc la courbe de f admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale Exemple 2
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[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles - Institut de
Soit f : I → R une fonction, et soit x0 ∈ I On dit que f est dérivable en x0 si la limite lim mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) dérivable en un point Proposition ce qui montre que f est continue en x0 La réciproque
[PDF] Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle Lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en a et que ∞= − Donc la courbe de f admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale Exemple 2
[PDF] Dérivabilité
alors f n'est pas dérivable en x0 et la courbe Cf admet une tangente verticale au point d'abscisse x0 Exemple : • Puisque la fonction f définie sur R par f(x) = x2
[PDF] Dérivabilité
Soit I ⊂ R un intervalle, x0 ∈ I et f une fonction réelle d'une variable réelle définie sur I (donc en x0) Montrer que f est dérivable en x = 0 1 ̸= −1,(0 est un point anguleux) donc f n'est pas dérivable en 0 ; pourtant f est continue en 0 1
[PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles - Mathématiques à
On reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue sur un intervalle I si elle peut être Remarque : Ce théorème ne montre que l'existence mais pas l' unicité Exemple : Montrer que la fonction f(x) = cos x admet un point fixe sur [0; 2 π ]
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · Remarque : Parfois la fonction f n'admet pas une limite en a, mais admet une Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la point de I On dit que la fonction f est dérivable en a si et seulement si le taux
[PDF] Chapitre 16 Dérivabilité des fonctions numériques
Une fonction dérivable en un point peut donc être localement approximée par une fonction x n'est pas dérivable à droite en 0, et sa courbe admet une tangente verti- On est maintenant en mesure de démontrer le théorème suivant dont
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Définition (Dérivabilité en un point ou sur une partie de , tangente) Soient f : D − → une Exemple La fonction valeur absolue · n'est pas dérivable en 0 à montrer qu'elle est dérivable, à la dériver, puis à montrer que sa dérivée est de
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1) Soit la fonction f définie sur ℝ par ( ) = f alors f est dérivable sur ℝ et Méthode : Démontrer qu'une fonction valeur absolue n'est pas dérivable
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Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité
Sur un intervalle
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert. Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire.Exemple
Montrer que f(x) = (x² + 3x) 8+x est dérivable sur ][+¥-;8 . La fonctio est le produit d'un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d'une racine continue sur ][+¥-;8 donc elle est dérivable sur ][+¥-;8 . Attention : vous remarquerez la différence entre l'exemple de la continuité et celui-ci : l'intervalle d'étude est totalement ouvert !En un point
Là encore, il n'y a qu'une chose à faire : connaître la formule et l'utiliser Une fonction est dérivable en a si et seulement si ax afxf ax- )()(lim est un nombre finiExemple
Montrer que la fonction f(x) = xx²est dérivable en 0§ On commence par calculer 0
)0()( x fxf puis on étudie sa limite en 0 : xxx xx x fxf==- 0 )0()( et 0lim 0=®xx
x § Ensuite on regarde si la limite trouvée est un nombre fini : 0 est bien un nombre fini. § On conclut : f est dérivable en 0 et f '(0) = 0Dérivabilité et conséquence graphique
Lorsqu'une fonction est dérivable en a, f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse a. En particulier, si f '(a) = 0, la tangente est horizontale. Lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en a et que ¥=-®ax
afxf ax )()(lim, la courbe de f admet au point d'abscisse a une tangente verticale . Visualisons pourquoi la tangente est verticale dans ce cas On sait que le coefficient directeur correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la droite . Sur le graphique suivant , on a tracé des droites de coefficient directeur de plus en plus grand , on s'aperçoit que ces droites s'approchent de la verticale , donc un coefficient directeur infini conduit à une droite verticale .La droite rose a pour coefficient : 0,5
La droite rouge : 1
La droite bleue :1,5
La droite verte : 3
Dérivabilité des fonctions
Exemple 1
Soit f(x) = 1²+x . Etudier la dérivabilité de f en 0 ()()()()11²11²11²
11²11²11²
0 )0()( x x xx x xx xx x x x fxf211²lim
0=++ ®x x donc 011²lim0=++®x
x x La fonctio est donc dérivable en 0 et f '(0) = 0 Donc la courbe de f admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontaleExemple 2
Soit f(x) = 1+x . Etudier la dérivabilité de f en - 1 1 1 1 1 1 )1()( xx x x fxf et + -®=+01lim 1x x donc +¥=-- +-®)1( )1()(lim 1x fxf xLa fonctio n'est pas dérivable en - 1
La courbe de f admet une tangente verticale au point d'abscisse - 1 .Exemple 3
Soit f(x) = 1-x . Etudier la dérivabilité en 1 11 1 1 )1()(=- x x x fxf si x > 1 et 11 1 1 )1()(-=- x x x fxf si x < 1 .Donc 11
)1()(lim 1-=- -®x fxf x et 11 )1()(lim 1=- +®x fxf x .La fonctio n'est pas dérivable en 1 car les limites à gauche et à droite sont différentes