On reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue sur un intervalle I si elle peut être Remarque : Ce théorème ne montre que l'existence mais pas l' unicité Exemple : Montrer que la fonction f(x) = cos x admet un point fixe sur [0; 2 π ]
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[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles - Institut de
Soit f : I → R une fonction, et soit x0 ∈ I On dit que f est dérivable en x0 si la limite lim mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) dérivable en un point Proposition ce qui montre que f est continue en x0 La réciproque
[PDF] Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle Lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en a et que ∞= − Donc la courbe de f admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale Exemple 2
[PDF] Dérivabilité
alors f n'est pas dérivable en x0 et la courbe Cf admet une tangente verticale au point d'abscisse x0 Exemple : • Puisque la fonction f définie sur R par f(x) = x2
[PDF] Dérivabilité
Soit I ⊂ R un intervalle, x0 ∈ I et f une fonction réelle d'une variable réelle définie sur I (donc en x0) Montrer que f est dérivable en x = 0 1 ̸= −1,(0 est un point anguleux) donc f n'est pas dérivable en 0 ; pourtant f est continue en 0 1
[PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles - Mathématiques à
On reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue sur un intervalle I si elle peut être Remarque : Ce théorème ne montre que l'existence mais pas l' unicité Exemple : Montrer que la fonction f(x) = cos x admet un point fixe sur [0; 2 π ]
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · Remarque : Parfois la fonction f n'admet pas une limite en a, mais admet une Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la point de I On dit que la fonction f est dérivable en a si et seulement si le taux
[PDF] Chapitre 16 Dérivabilité des fonctions numériques
Une fonction dérivable en un point peut donc être localement approximée par une fonction x n'est pas dérivable à droite en 0, et sa courbe admet une tangente verti- On est maintenant en mesure de démontrer le théorème suivant dont
[PDF] DÉRIVABILITÉ - Christophe Bertault
Définition (Dérivabilité en un point ou sur une partie de , tangente) Soient f : D − → une Exemple La fonction valeur absolue · n'est pas dérivable en 0 à montrer qu'elle est dérivable, à la dériver, puis à montrer que sa dérivée est de
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1) Soit la fonction f définie sur ℝ par ( ) = f alors f est dérivable sur ℝ et Méthode : Démontrer qu'une fonction valeur absolue n'est pas dérivable
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![[PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles - Mathématiques à](https://pdfprof.com/Listes/18/11885-18Continuite_derivabilite.pdf.pdf.jpg "[PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles - Mathématiques à")
ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maxima. Les commandes en ligne sont précédée de (%i) en
police courrier. Ce logiciel est disponible sur internet (google: calcul formel maxima)I - Continuité
1/ Définition
Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Soit un réel a
appartenant à I. La fonction f est continue en a si ax→limf(x) = f(a) Par extension, f est dite continue sur I si elle est continue en tout réel a de I.Remarques :
- Si f est continue en a, alors f doit être définie sur un " voisinage » de a de la forme ]a-ε ;a+ε[, ε>0.
- f est continue à droite en a si f est définie sur un " voisinage » de a de la forme [a ;a+ε[, ε>0 et
+→axlimf(x) = f(a). - On reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue sur un intervalleI si elle peut être tracée sans
lever le crayon. Corollaire 1 : L'image d'un intervalle fermé borné [a ;b] par une fonction continue est un intervalle fermé borné [m ;M]. De plus la fonction atteint ses bornes.Corollaire 2 :
- En appliquant les propriétés sur les opérations avec les limites, le produit, la somme de fonctions
continues est continue (voir le cours sur les limites). - Les fonctions polynômes, cos x et sin x, ex sont continues sur Ë. - La fonction x est continue sur [0 ;+õ[, ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition.-Les fonctions construites algébriquement à partir des fonctions usuelles sont continues sur leur
ensemble de définition. ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 2/10 Exemple : Montrer que la fonction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est continue en 0 puis sur [0;+ (%i) f(x):=x^2*log(x); (%i) limit(f(x)), x, 0, plus); (%i) plot2d([x^2*log(x),[x,0,2]);2/ Application : Existence de solutions pour l'équation f(x) = k
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ;b]. Alors, pour tout réel λ compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris dans [a ;b] tel que f(c) = λ.Justification graphique :
Remarque
: Ce théorème ne montre que l'existence mais pas l'unicité. Exemple : Montrer que la fonction f(x) = cos x admet un point fixe sur [0; 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x cos(x)x (%i20) plot2d([cos(x),x],[0,%pi/2]); (%i25) find_root(x=cos(x), x, 0, %pi/2); ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 3/10II Nombre dérivé
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, un réel a ? I, et h un réel non nul (a+h ? I).
f est dérivable en a si le taux d'accroissement f(a+h)-f(a) h admet une limite finie l quand h tend vers 0. l est appelé le nombre dérivé de f en a et on note f'(a)=l.Interprétation géométrique : Tangente
Si f est dérivable en a, la tangente (Ta) à Cf au point A d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a).Une équation de (T
a) est : (Ta) y = f'(a) (x-a) + f(a)Interprétation numérique
Si f est dérivable en a, on a f(a+h) = f(a) + f'(a) h + h ε(h) avec 0lim→hε(h) =0 • f(a) + f'(a) h + h ε(h) est appelé développement limité d'ordre 1 de f en a.• Si h voisin de 0, on a f(a+h) ≈ f(a) + f'(a) h, approximation affine de f(a+h) au voisinage de a.
Exemple d'application :
1/ Démontrer que la f
onction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est dérivable en 0. (%i) limit(f(x)/x,x,0,plus);2/ Déterminer la meilleure approximation affine de (1+x)
n pour x voisin de 0. (%i20) diff((1+x)^n,x); (%i28) taylor((1+x)^n,x,0,1); ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 4/10III Fonction dérivée
Définition : Lorsque f est dérivable en tout point de l'intervalle I, on dit que f est dérivable sur I et on
note f'(x) la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x.1/ Dérivées des fonctions usuelles
Le tableau ci-dessous sera complété au cours de l'année f(x)= f'(x)= f dérivable sur k x xn (n?N* xα (α ? Ë) x cos x sin x tan x ex ln x2/ Opérations et fonctions dérivées
• Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur I alors u+v, k × u (k?Ë) et uv le sont aussi et :
(u+v)' = u' + v' (ku)'=k u' (uv)'= u'v + uv' Si u et v sont dérivables sur I et v non nul sur I, 1 v et u v sont dérivables sur I et : ( 1 v )'=- v'v² ( u v )'= u'v-uv' v²