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Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire
1. Intégrales doubles1
1.1. Description hiérarchisée du domaine.
. . 11.2. Intégrale double
. . . . . . . . . . . . . . 21.3. Théorème de Fubini
. . . . . . . . . . . . 21.4. Un cas particulier
. . . . . . . . . . . . . 31.5. Propriétés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Changement de variables
. . . . . . . . . 41.7. Coordonnées polaires
. . . . . . . . . . . 42. Intégrales triples6
2.1. Description hiérarchisée du domaine
. . 62.2. Changement de variables. . . . . . . . . 62.3. Coordonnées cylindriques
. . . . . . . . . 62.4. Coordonnées sphériques
. . . . . . . . . 63. Calculs divers8
3.1. Aire ou volume
. . . . . . . . . . . . . . . 83.2. Masse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3. Centre d"inertie
. . . . . . . . . . . . . . . 93.4. Moments d"inertie
. . . . . . . . . . . . . 103.5. Colbert, lycée numérique
. . . . . . . . . 10Figures1 Intégrale double
. . . . . . . . . . . . . . . 22 Théorème de Fubini
. . . . . . . . . . . . . 33 Coordonnées Polaires
. . . . . . . . . . . 54 Intégrale double en polaires
. . . . . . . . 55 Intégrale triple
. . . . . . . . . . . . . . . . 76 Coordonnées Cylindriques. . . . . . . . . 87 Intégrale triple en cylindriques
. . . . . . 98 Coordonnées Sphériques
. . . . . . . . . 109 Intégrale triple en sphériques
. . . . . . . 1110 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale
d"une f onctioncon tinuede 2 v ariablessur une partie f erméebornée d uplan, ou d"une f onctioncon tinuede 3 v ariablessur une partie f erméebornée de l" espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique ettous les théorèmes seront admis.1. Intégrales doubles
1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée de2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée de2:
l"existence de 2 réelsaetbet de 2 applications continues sur[a;b], notéesuetvtels quea < bet8x2[a;b],u(x)6v(x), avec
(x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)]Ce qui peut s"illustrer par la figure1 , page suivante.On fera attention à ne pas commettre l"erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2
variables indépendamment les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple :On va prendre le domaine du plan défini par :y>0; x>y; x61. Il est élémentaire de faire une figure de ce domaine, qui est un triangle. En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :8 >><>>:x2[0;1]y2[0;x]Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 2Intégrales doubles et triplesy
xΔ a b x u(x)v(x)OFigure 1 -Intégrale double1.2. Intégrale double defcontinue sur, un fermé borné de2Définition :fcontinue sur, un fermé borné de2, si on dispose d"une description hiérarchisée
de, on appelle intégrale double defsur:I =
f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x)u(x)f(x;y) dy1CCCCAdxEn un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées
Exemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x+y61 On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine :8 >><>>:x2[0;1] y2[0;1x];ce qui donne : I = D xydxdy=Z 1 0Z 1x 0 xydydx I = Z 1 0x (1x)22 dx="x(1x)36 1 0 +Z 1 0( 1x)36 dx=" (1x)424 1 0 =1241.3. Théorème de Fubini : inversion des bornesThéorème :
Si on a par ailleurs : (x;y)2,8
>><>>:y2[c;d] x2[(y);(y)]avecc < det8y2[c;d],(y)6(y), alors : I = f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx=Z d c0BBBB@Z
(y) (y)f(x;y) dx1CCCCAdyCeci est illustré sur la figure2 , page suivante.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 3y
xΔ cd y(y)(y)OFigure 2 -Théorème de Fubini : inversion de l"ordre des intégrationsOn peut ainsi changer l"ordre d"intégration, le calcul est différent, mais le résultat est le
même.1.4. Un cas particulier
On va se placer dans un cas très particulier puisque : (x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[c;d] Le domaine est un rectangle. Et d"autre part :8(x;y)2; f(x;y)='(x) (y) Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle : I = f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx Z b a Zd c '(x) (y)dy! dx=Z b a (x)Z d c (y)dy! dx Z b a '(x) Zd c (y)dy! dx= Zd c (y)dy! Zb a '(x)dx Z b a '(x)dxZ d c (y)dyAinsi, dans ce cas :
'(x) (y)dxdy=Z b a '(x)dxZ d c (y)dy1.5. Propriétés
a/ LinéaritéThéorème :f ;gcontinues sur, un fermé borné de2, on dispose d"une description hiérarchisée de
.etdeux réels. Alors : f(x;y) +g(x;y)dxdy= f(x;y) dxdy+g(x;y) dxdyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 4Intégrales doubles et triplesb/ Positivité
Théorème :fcontinue,positive, sur, un fermé borné de2, on dispose d"une description hiérar-
chisée de. Alors : f(x;y)dxdy>0 c/ Additivité selon les domainesThéorème :fcontinue, sur1et2, deux fermés bornés de2, on dispose d"une description hiérar-
chisée de1et2. De plus1\2estau plusune courbe. Alors :1[2f(x;y) dxdy=
1f(x;y) dxdy+
2f(x;y) dxdy
Cela permet d"exploiter d"éventuelles symétries (de la fonction et du domaine). Théorème :Sifest continue etpositivesur, avec, de plus, D, alors :...Df(x;y) dxdy6...
f(x;y) dxdy1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts de2.
D etdeux fermés bornés de2, DU, et,V.
De plus :'(D)=.
On suppose que les points dequi ont plusieurs antécédents sont de surface nulle.On note :
(x;y)='(u;v),D(x;y)D(u;v)le jacobien de'en(u;v), et,D(x;y)D(u;v) la valeur absolue du jacobien.Alors :
f(x;y) dxdy= D g(u;v)D(x;y)D(u;v) dudvOn notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.On rappelle que :
D(x;y)D(u;v)=
xu
xv
yu
yv
Notons qu"on fait un changement de variable :
pour sim plifierle domaine, ce qui est nouveau ou pour sim plifierle cal culdes primitiv esemboîtées. Notons enfin quele domaine changeet doncsa description hiérarchisée aussi.1.7. Changement de variables en coordonnées polairesThéorème :On pose8
>><>>:x=cos y=sin(x;y)2D,(;)2, etf(x;y) =f(cos;sin)=g(;) D f(x;y) dxdy= g(;)dd= f(cos;sin)ddCeci est illustré sur la figure3 , page ci-contre.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 5y
x M xy OFigure 3 -Coordonnées PolairesDémonstration :En effetD(x;y)D(;)=xx
yy
cossin sin cos =>0La figure4 , ci-dessous, indique le mode de calcul. y x ρρ+dρθθ+dθdρρdθOFigure 4 - D f(x;y)dxdy= g(;)ddExemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x2+y261
On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine en polaires :8 >><>>:2[0;=2]2[0;1];ce quiCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 6Intégrales doubles et triplesdonne, compte tenu quexy=2cossin:
I = D xydxdy=Z =2 0Z 1 03cossindd
I = Z =2 0 cossindZ 1 03d="sin22
=2 0" 441 0 =18
2. Intégrales triples
2.1. Description hiérarchisée de, intégrale triple defcontinue surun fermé borné de
3 un fermé borné de3, une description hiérarchisée deest de la forme : (x;y;z)2,8 >>>>><>>>>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)] z2[(x;y);(x;y)] On peut avoir les variables dans un autre ordre, l"important est que les bornes de chacune ne soient définies qu"en fonction des précédentes. On définit alors l"intégrale triple defcontinue surpar : f(x;y;z) dxdydz=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)0BBBB@Z
(x;y) (x;y)f(x;y;z) dz1CCCCAdy1CCCCAdxLa figure
5 , page ci-contre, donne une description hiérarchisée du domaine.2.2. Changement de variables
Sous des hypothèses équivalentes à la dimension 2, (x;y;z) ='(u;v;w), (x;y;z)2D,(u;v;w)2, etf(x;y;z) =g(u;v;w), on a alors : D f(x;y;z) dxdydz= g(u;v;w)D(x;y;z)D(u;v;w) dudvdw On notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.2.3. Coordonnées cylindriques
8>>>>><>>>>>:x=cos
y=sin z=z(x;y;z)2D,(;;z)2, etf(x;y;z) =f(cos;sin)=g(;;z)On regardera la figure
6 , page 8 D f(x;y;z) dxdydz= g(;;z)dddzLe calcul du jacobien est facile
D(x;y;z)D(;;z)=et on a encore>0.
La figure
7 , page 9 , indique le mode de calcul.2.4. Coordonnées sphériques
On notera sur la figure
8la définition des coordonnées sphériques. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 7
Figure 5 -Intégrale tripleCette notation est la notation des mathématiciens : les physiciens utilisent l"angle entre Oz
et OM qui appartient donc à [0;]. Dans la formule, au niveau de la valeur absolue du jacobien, ils échangent ainsi sin'et cos'. Attention, parfois, ils changent aussi le nom des angles...8>>>>><>>>>>:x=coscos'
y=sincos'z=sin'(x;y;z)2D,(;;')2, etf(x;y;z) =g(;;')Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 8Intégrales doubles et triples
Figure 6 -Coordonnées CylindriquesOn regardera la figure8 , page10 . D f(x;y;z) dxdydz= g(;;')2cos'ddd'Le calcul du jacobien est facile :
D(x;y;z)D(;;')=2cos', et on a bien : cos'>0.
La figure
9 , page 11 , indique le mode de calcul. Les coordonnées sphériques du physicien sont illustrées sur la figure 10 , page 12Dans ce cas, le calcul du jacobien donne :
D(x;y;z)D(;;')=2sin, et on a bien : sin>0.
3. Calculs divers
3.1. Aire ou volume de
Il suffit de calculer
dxdypour l"aire d"une partie fermée bornée du plan et dxdydzpour le volume d"une partie fermée bornée de l"espace.Remarque :Dans le cas d"une courbe définie en coordonnées polaires et oùne change pas de signe
et oùdécrit, par exemple, [0;2], l"aire intérieure à la courbe est :12 Z 2 0 2()d.3.2. Masse
Si on a(x;y;z)la masse volumique du solide en un point donné,M =
(x;y;z)dxdydzCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 9
Figure 7 -
ZZZ D f(x;y;z)dxdydz=ZZZg(;;z)dddzdonne la masse. Pour une plaque, on peut faire un calcul équivalent avec la densité surfacique(x;y)
et une intégrale double,