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Chapitre 1
Intégrales doubles et probabilités
Dès lors que l"on traite d"un couple ou d"unn-uplet de variables aléatoires, l"intégration devient un
outil incontournable. Nous allons traiter ici de quelques exemples de calcul d"intégrales multiples et nous
introduirons l"utilité de ces calculs en théorie des probabilités.1.1 Qu"est ce qu"une intégrale double?
Soit une fonction réellefà deux variablesxety. Le graphe defest une surface qui représente les
valeursf(x;y)pour tous les couples(x;y)sur le domaine de définition de la fonction. On va considérer
que cette fontion est continue. A la rigueur, elle peut même être discontinue sur un nombre fini de points.
Soit maintenant une région quelconqueDdu plan etDson bord. On souhaite calculer le volume ducylindre sous le graphe defet dont les bords sont délimités parD. Ce volume notéIDpeut être négatif si
le graphe defest négatif et positif sinon. Pour calculerID, on va partitionner l"espace horizontal en petits
rectangles dont les côtés ont pour longueurxety. On va également noterMi: (xi;yi)le centre (on
peut en fait prendre n"importe quel point) des rectangles d"intersection non nulle avec le domaineD. Si
les rectangles sont suffisamment petits, le volume signé sous le graphe def(l"intégraleID) est approché
comme une somme de parallélélipèdes rectangles de volumexyf(xi;yi)et on obtient b ID=X M i2Df(xi;yi)xy;comme valeur approchée deID(Fig. 1.1).FIGURE1.1 -Le volume sous la courbe en 3D est approximé en calculant les volumes de parallélépipèdes rec-
tangles tels que celui représenté en gris. 1En fait, l"intégrale que l"on cherche est la limite de la quantité ci-dessus quand les rectangles de-
viennent de plus en plus petits : ID= lim(x;y)!0X
M i2Df(xi;yi)xy;et plutôt que de garder cette expression compliquée, on préfèrera l"écriture suivante :
I D=ZZ D f(x;y)dxdy:La somme est remplacée par les grands "s" de l"intégrale, et l"élément de surfacexypar l"élément
différentieldxdyqui rappelle le fait que l"on travaille avec une limite.1.2 Comment les calcule-t-on?
La difficulté du calcul d"une intégrale double va essentiellement dépendre de la complexité du domaine
Dsur lequel on cherche à intégrer et de la difficulté à calculer la primitive de la fonction à intégrer.
1.2.1 Domaines rectangulaires
Ce sont les cas les plus simples, nous allons détailler la manière de procéder. Exemple 1.Considérons la fonctionf(x;y) =x+x2y+ 3définie surR2(Fig. 1.2). Soit le domaine D=f(x;y)2R2t.q.1x1;0y2gqui correspond au rectangle[1;1][0;2]sur lequel on souhaite intégrer. On veut calculer I D=ZZ D (x+x2y+ 3)dxdy=Z 2 0 Z11(x+x2y+ 3)dx
dy:Le sens d"écriture indique ici que l"on va d"abord intégrer par rapport àxpuis ensuite intégrer par rapport
ày. On a :Z1
1(x+x2y+ 3)dx=12
x2+13 x3y+ 3x 1 1=23 y+ 6:Le résultat de cette intégrale dépend deycar cette variable était dans ce cas considérée comme une
constante. L"intégrale est finalement calculée avec : Z 2 0 Z1 1 (xx2y+ 3)dx dy=Z 2 0 23y+ 6 dy=13 y2+ 6y 2 0 =403
On peut se poser la question de l"ordre d"intégration. On aurait en effet pu poser l"intégrale de la
manière suivante : I D=ZZ D (x+x2y+ 3)dxdy=Z 1 1 Z2 0 (x+x2y+ 3)dy dx:Cela sous-entend que l"on aurait commencé à calculer l"intégrale en fonction dey. Le résultat aurait été le
même (preuve laissée en exercice) grâce au théorème suivant dont nous admettrons l"existence :
2Théorème 1:
Théorème de Fubini pour des domaines rectangulaires SoitD= [a;b][c;d]un domaine rectangulaire deR2etfune fonction réelle, continue, de deux variables, alorsfest intégrable surDet l"on a : I D=ZZ D f(x;y)dxdy=Z d c Zb a f(x;y)dx dy=Z b a Zd c f(x;y)dydx:Le choix de l"ordre d"intégration est souvent conduit par la facilité avec laquelle les intégrales s"en-
chainent. -6 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -2 -1.5 -1 -1 -0.5 -0.5 0 0 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 2 2 2.5 2.5 3 3 3.5 3.5 4 4 4.5 4.5 5 5 5.5 5.5 6 6 6.5 6.5 7 7 7.5 7.5 8 8.5 9 9.5 10 11 11.5 2.6 2.6 2.7 2.7 2.8 2.8 2.9 2.9 2.9 3 3 3.1 3.1 3.1 3.2 3.2 3.3 3.3 3.4 3.4 0.05 0.1 0.150.2 0.25
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.750.8 FIGURE1.2 -Isolignes des fonctions des exemples 1. et 2. et domaines d"intégration.
Exemple 2.Soit la fonctiong(x;y) = exp(xy); x0;y0(Fig. 1.2). On souhaite l"intégrer sur le rectangleD= [1;2][0;3]. On a alors I D=ZZ D exydydx=Z 2 1Z 3 0 exeydydx=Z 2 1 exdxZ 3 0 eydy=e1e21e3:On voit ici que lorsque la fonction à intégrer peut s"écrire sous la fome d"un produit de fonctions à une
variable le calcul de l"intégrale double se ramène au produit de deux intégrales simples.1.2.2 Domaines non rectangulaires
Dans la plupart des cas, les domaines d"intégration sont des surfaces de forme variable. Nous allons
montrer comment calculer des intégrales doubles dans ce cas.