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Chapitre3

Intégraledouble

Nousallons supposerleplanusu elR

2 munid'unr epèreorthono rmé(O,i,j).

3.1Aperçudeladéfinition for mellede l'intégraledouble

2 dontlescôt éssontpar allèlesauxaxes deco ordonnées.

Pardéfin ition,R=

(x,y)?R 2 /a?x?b,c?y?d Définition3.1.(Quadrillag edurectangl eR=[a,b]×[c,d](a1?i?n,1?j?m k ij (x i -x i-1 )(y j -y j-1 estappel éintégrabledoubledefsurRetes tnoté R f(x,y)dxdy. Définition3.4.SoitR=[a,b]×[c,d](a1?i?n,1?j?m k ij (x i -x i-1 )(y j -y j-1

Alors,lorsquemetntendentvers+∞,V

nm admetunelimi tedansR. Cettelimitee stappeléeintégrale doublede fsurRetno tée R f(x,y)dxdy.

Nousadmettro nslethéorèmesuivant.

Théorème3.6.SoitR=[a,b]×[c,d](aUnelist edepropriétésà connaî tre:

1.S oientfetgdeuxfonct ionsintégrablessurunrecta ngleferméRalors

R (f+g)(x,y)dxdy= R f(x,y)dxdy+ R g(x,y)dxdy.

2.So ientfunefo nctionintégrablesurunrect angleferméRetλ?R,alors

λf(x,y)dxdy=λ

R f(x,y)dxdy.

3.So ientfetgdeuxfonct ionsintégrablessurunrect angleferméRtellesque?(x,y )?R,f(x,y )?

g(x,y),alors: R f(x,y)dxdy? R g(x,y)dxdy

4.S ifestunef onctionin tégrablesurunrectanglef erméR,alorslafonction|f|estint égrablesur

Reton al'inég ali té

R f(x,y)dxdy R |f(x,y)|dxdy.

20Intégraledouble

3.2Successiond'intégralessi mples-ThéorèmedeFubini

SoitR=[a,b]×[c,d](aPourx?[a,b]fixé,lafonct ionf(x,•):[c,d]Rdéfinieparf(x,•)(y)=f(x,y)estintég rablesur[c,d].

Leno mbre

c d A(x)= c d f(x,t)dt. Enin tégrantlafonctionAsurl'in tervalle[a,b],onalaformule a b

A(x)dx=

a b c d f(x,y)dy dx.

Définition3.7.Dansl'exp ression

a b c d f(x,y)dy dxdela formul e(?)ci-dessus,onditque l'onad'abordintégré parrapportày,etensuiteparrapportàx.

Dema nièreanalogue,dansl' expression

c d a b f(x,y )dx dy,onditquel'onintègred'abordpar rapportàx,puisparrapportày. 2 (1?x?2,0?y?3)etlafonctionf définiesurRparf(x,y)=xy+y 2 +1.Ici,a=1,b=2,c=0etd=3. •ona c d f(x,y)dy= 0 3 (xy+y 2 +1)dy= 1 2 xy 2 1 3 y 3 +y y=0 y=3 9 2 x+12,enin tégrantd'abord parrapp ortày; •intégrantmaintenantlerés ultatprécédentparrapportàx,onobtient: a b 0 3 (xy+y 2 +1)dy dx= 1 2 9 2 x+12 dx= 9 4 x 2 +12x 1 2 =33-12- 9 4 75
4 intégrantparrapportày: -ona a b f(x,y)dx= 1 2 (xy+y 2 +1)dx= 1 2 x 2 y+(y 2 +1)x x=1 x=2 =y 2 3 2 y+1,enintégrant d'abordparrapportàx; -enin tégrantlerésultatci-dessu sparra pportày,onobtient: 0 3 1 2 (xy+y 2 +1)dx dy= 0 3 y 2 3 2 y+1 dy= 1 3 y 3 3 4 y 2 +y 0 3 =12+ 27
4 75
4 Dansl'exem ple3.8nousremarquonsqueles deuxintég rationssuccessivesdonnentlemêmerésultat. Cecin'estp aslefaitduhasar dmaisest dûauth éorèmesuivan tquenousadmettrons. Théorème3.9.(Théorèmed eFubinipour lesrectanglesfermés) SoitR=[a,b]×[c,d](aExemple3.10.SoitR=[1,2]×[0,2]?R 2 etf:RRdéfinieparf(x,y)=ye xy

CalculonsI=