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Resolution d'une equation dierentielle du type(E)y0+a(x)y=f(x)par la methode de la variation de la constante

Cas particuliers

L'ensemble des solutions de l'equation :

1.(H)y0=ayestSH=fx7!Keax;K2Rg

2.(E)y0=ay+bestSH=fx7!Keaxba

;K2Rg. On dit que(H)est l'equation homogene associe a(E).

Resolution de l'equation homogene

L'equation homogene(H)associee a(E)est(H)y0+a(x)y=0. Pour resoudre cette equation on considere une primitiveAdea. On remarque queA0(x)=a(x)et donceA[y0+A0(x)y]=0 (?). On poseF(x)=eA(x)y(x), on a alorsF0(x)=eA(x)y0(x)+A0(x)y(x).

Ainsi(?)F0(x)=0en integrant l'egalite, on obtient que l'ensemble des solution de l'equation(H)sont les fonctionsyHtelles que

y

H(x)=CeA(x)avecAprimitive deaetC2R.

Cas particulier :Si a(x) =a constante, (H) devienty0+ay=0, les solutions sont bien de la formeyH(x)=CeaxouC2R.

Resolution de l'equation(E)

Determination d'une solution particuliere

Soit on connait la forme de cette solution (voir tableau ci-dessous)

Soit on utilise la methode de la variation de la constante, on considerey(x)=C(x)eA(x)(ou iciCest une fonction dexplus une

constante). Par consequent,y0(x)=C0(x)eA(x)C(x)A0(x)eA(x)ouA0(x)=a(x)

Alorsy0+ay=C0(x)eA(x)=f(x)i.e.C0(x)=f(x)eA(x)il s'agit alors de determiner une primitiveCdex7!f(x)eA(x).

On obtient ainsi une solution particuliere de l'equation(E)qui estyp(x)=C(x)eA(x).

Forme des solutions particulieres dans des cas particuliers (seulement pour le cas ouy0=ay+f(x)ouaest

constante)Si f est du typealors il existe une solution particuliere du type f(x)=P(x);P polyn^ome de degre nQpolyn^ome de m^eme degre que P y(x)=Q(x)si a,0 y(x)=xQ(x)si a=0f(x)=ekxy(x)=Aekxsi k,a

y(x)=Axekxsi k=af(x)=cos(wx)ou f(x)=sin(wx)y(x)=Acos(wx)+Bsin(wx)f(x)=P(x)ekx;k2RQpolyn^ome de m^eme degre que P

y(x)=Q(x)ekxsi k,a y(x)=xQ(x)ekxsi k=af(x)=kcas precedentsm^eme forme que cas correspondant f(x)=somme des cas precedentssomme correspondante Determination de la forme generale de l'ensemble des solution L'ensemble des solution de l'equation(E)sont l'ensemble des fonctionsytelles que y(x)=yH(x)+yp(x)=CeA(x)+C(x)eA(x)ouC2R

Resolution des equations du second ordre

On considere l'equation(E)ay00+by0+cy=foua;b;cconstantes,a,0etfune fonction et(H)ay00+by0+cy=Oson equation

homogene associee. L'equation caracteristique associee a(E)estar2+br+c=0, son discriminant est =b24ac.

Solutions de l'equation homogene en fonction des solutions de l'equation caracteristiqueSigne deSolutions de l'equation carateristiqueEnsembleSHdes solutions de l'equation homogene>0deux racines reelles distinctes:r1=b+p

2aet r2=bp

2a(r1,r2)fx7!K1er1x+K2er2x;K1;K22Rg =0une unique raciner0=b2afx7!(K1x+K2)er0x;K1;K22Rg<0deux racine complexe distinctesr1=b+ip2aet r2=¯r1=bip2afx7!(K1cos(x)+K2sin(x))ex;K1;K22Rgen ecrivantr1=+iSolutions particuliere de l'equation(E)dans certains cas particuliersSi f est du typealors il existe une solution particuliere du type

f(x)=P(x);P polyn^ome de degre nQpolyn^ome degre n y(x)=Q(x)si c,0 y(x)=xQ(x)si c=0;b,0 y(x)=x2Q(x)si b=c=0f(x)=ekx;k2Ry(x)=Aekxsi kn'est pas solution de l'equation caracteristique y(x)=Axekxsi kest solution simple (casr1,r2et k=r1ou r2) y(x)=Ax2ekxsi kest solution double (cas our1=r2=r=k)f(x)=ekxcos(wx)ou f(x)=ekxsin(wx)

ouf(x)=k1ekxsin(wx)+k2ekxcos(wx)y(x)=ekx(Acos(wx)+Bsin(wx))si k+i!n'est pas solution de l'equation caracteristique

y(x)=xekx(Acos(wx)+Bsin(wx))si k+i!est solution de l'equation caracteristiquef(x)=kcas precedentcas correspondant

f(x)=somme des cas precedentssomme correspondante Determination de la forme generale de l'ensemble des solution L'ensemble des solution de l'equation(E)sont l'ensemble des fonctionsytelles que y(x)=yH(x)+yp(x)ouyHest la solution generale de l'equation homogene(H) et y pest une solution particuliere de l'equation(E)quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6