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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

SOMMES,PRODUITS,COEFFICIENTS BINOMIAUX

1 SOMMES

Pour touszm,...,zn??avecm?n, on noten

k=mz kla sommeForme ditein extenso de la somme????zm+zm+1+...+zn. Par exemple, pour toutα??: n k=11 k=1+12+13+...+1n-1+1n,2n? p=3p=?3+?4+...+?2netn k=mα=α???? k=m+...+α???? k=n= (n-m+1)×α.

Plus généralement, pour toute famille(zi)i?Ide nombres complexes indexée par un ensembleFINII, la somme de tous

leszi,idécrivantI, est notée? i?Iz i. Par exemple :? i?{1,4,9}z i=z1+z4+z9et parconvention des sommes vides:? i?∅z i=0. ij1 2···n 0 z01z02···z0n 1 z11z12···z1n m

zm1zm2···zmnL"ensembleIpeut êtreun ensemble de couples,auquel cas on additionne simplement les termes

d"un tableau à deux entrées. PourI=?0,m?×?1,n?= (i,j)|0?i?met 1?j?n , la somme? i?Iz iest alors plutôt notée?

0?i?m1?j?nz

ij. Curieux au premier abord, ce genre d"indexation est plus courant qu"il n"y paraît. Par exemple, quand on multiplie une somme demtermes et une somme dentermes, on obtient en développant une somme demntermes, mais qu"on peut écrire avec un seul?. m? i=1a i×n j=1b j= (a1+...+am)×(b1+...+bn) =a1b1+a1b2+...+ambn-1+ambn=?

1?i?m1?j?na

ibj. Théorème(Produit de deux?)Pour tousa1,...,am,b1,...,bn??:m i=1a i×n j=1b j=?

1?i?m1?j?na

ibj.

À présent, une question. À quelles lettres a-t-on droit quand on veut écrire une somme sous la forme d"un?? C"est

simple, on l"écrit in extenso, on regarde quelles variablesapparaissent dans cette écriture in extenso et on choisit pour indice

du symbole? N"IMPORTE QUELLE AUTRE LETTRE. Par exemple, pour 1+22+32+...+1002, on peut choisir n"importe quelle lettre : 100
n=1n 2=100 k=1k 2=100 i=1i 2=100 p=1p

2... tandis que pour 1+22+32+...+n2, la lettre "n» doit être écartée car elle

a déjà une signification dans la somme : n n=1n 2 =n k=1k 2=n i=1i 2=n p=1p 2...

Autre question. Quand plusieurs sommes apparaissent dans un même calcul, doit-on leur donner des indices différents?

Que penser par exemple des relations suivantes :

n k=1(ak+bk) =n k=1a k+n k=1b ketn k=1(ak+bk) =n i=1a i+n j=1b j? Les deux sont convenables et racontent en dépit des apparences la même histoire in extenso : (a1+b1)+(a2+b2)+...+(an+bn) = (a1+a2+...+an)+(b1+b2+...+bn). ...bla bla blan k=1z kbla bla bla...

Naissance de l"indicek

Mort dek— courte vie

que la vie d"un indice! L"indice d"une somme a en réalité une zone d"influence très restreinte commel"indique lafigure ci-contre.Unindice"mort » peut être recyclé à volonté. La seule chose qu"il faut éviter, c"est la schizophrénie, le fait qu"une même lettre possède plusieurs significations au même instant.

Nouvelle idée. Une somme peut toujours être écrite de différentes manières selon le choix qu"on fait de la lettre-indice.

Le passage d"une écriture à une autre est appeléchangement d"indiceet deux exemples vaudront mieux qu"un long discours.

n k=1z k=z1+z2+...+zn=n-1? p=0z p+1

Changement d"indicek=p+1

p01 2···n-2n-1k

1 23···n-1nn

k=0z k=z0+z1+...+zn=n p=0z n-p

Changement d"indicek=n-ppnn-1n-2···10k

01 2···n-1n

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Nous verrons parfois des changements d"indice plus compliqués. Ce qu"il faut toujours garantir, c"est qu"on n"a ni supprimé

ni ajouté aucun terme à la somme initiale — on a juste changé lenom de l"indice.

Il arrive souvent qu"on tombe au cours d"un calcul sur des sommes ditestélescopiquesde la forme···

k=···(zk+1-zk)qui se calculent merveilleusement bien. n? k=m(zk+1-zk) = (zn+1-zn)+ (zn?

Simplification-zn-1)+(zn-1????

Simplification-zm) =zn+1-zm.

Théorème(Simplification télescopique)Pour touszm,...,zn+1??:n k=m(zk+1-zk) =zn+1-zm.

On utilise souvent cette formule en sens inverse. Ce que la simplification télescopique raconte, c"est que pour comparer

z

metzn+1, il suffit de savoir comparer les termes " voisins »zketzk+1pour toutk??m,n?, puis de sommer.

Exemple

n? p=1ln! 1+1 p! =n p=1 ln(p+1)-lnp =ln(n+1).

ExempleLa sommen

k=1!

1k-1k+1!

vaut à la fois 1-1n+1etn k=11k(k+1), doncn k=11k(k+1)=1-1n+1.

Il est tentant de faire tendrenvers+∞dans ce résultat, i.e. de " sommer jusqu"à l"infini ». C"est autorisé quand, à l"issue

d"un calcul sur une somme finie, on observe que le résultat obtenu converge.

Définition(Sommes infinies)

Soit(un)n??une suite. Si elle existe et est finie, la limite limn→+∞n k=0u kest notée+∞? k=0u k.

Exemple

k=11 k(k+1)=1.

Retour à présent sur lessommes doubles. La somme des termes d"un tableau à deux entrées peut être calculée en sommant

par paquets d"abord sur les lignes, ou bien d"abord sur les colonnes.

Somme des termes d"un tableau carré :

1?i?n1?j?nz

ij, aussi notée?

1?i,j?nz

ij ij1 2···n 1 z11z12···z1n 2 z21z22···z2n n zn1zn2···znnn? j=1z 1j n? j=1z 2j n? j=1z nj n? i=1n j=1z ij n? i=1z i1n? i=1z i2 n? i=1z in"n? j=1n i=1z ij

Somme des termes d"un tableau

triangulaire avec diagonale :?

1?i?j?nz

ij ij1 2···n 1 z11z12···z1n 2 z22···z2n n znnn? j=1z 1j n? j=2z 2j n? j=nz nj n? i=1n j=iz ij 1? i=1z i12? i=1z i2 n? i=1z in"n? j=1j i=1z ij On traite de même le cas des sommes de la forme

1?i ij— tableaux triangulairesSANSdiagonale. Théorème(Permutation des?)Pour toute famille(zij)1?i,j?nde nombres complexes :

1?i,j?nz

ij=n i=1n j=1z ij=n j=1n i=1z ij,?

1?i?j?nz

ij=n j=1j i=1z ij=n i=1n j=iz ij,?

1?i ij=n j=2j-1? i=1z ij=n-1? i=1n j=i+1z ij. 2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Nous calculerons souvent des sommes doubles cette année.

Quand on ne sait pas quoi faire de deux sommes emboîtées, on les permute pour voir ce qui se passe!

Exemple

Soitn???. On ne voit pas trop comment on pourrait simplifier la sommen j=i1j=1i+1i+1+...+1npour tout i??1,n?. Il est en revanche facile de simplifier la somme de ces sommes. n? i=1n j=i1 j=?

1?i?j?n1j=n

j=1j i=11j=n j=11jj i=11=n j=11j×j=n j=11=n.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19