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Chapitre 1, exercice 3
1.Vrai :la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.
Demonstration.Soientx1;x22Rtels quex1est rationnel etx2est irrationnel. Montrons que x1+x2est un nombre irrationnel.
Raisonnons par l'absurde et supposons quex1+x2est rationnel. Il existe alorsp2Z;q2N tels que x1+x2=pq
Puisque, par hypothese,x1est rationnel, il existep02Z;q02Ntels que x 1=p0q 0:On a donc
x2= (x1+x2)x1=pq
p0q0=pq0qp0qq
0: Doncx2s'ecrit comme le quotient de deux entiers, avec l'entier au denominateur qui est non- nul (qq06= 0). C'est donc un rationnel. C'est une contradiction avec nos hypotheses (x2etaitsuppose irrationnel); on a donc obtenu une absurdite.2.Faux :la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.
Demonstration.Pour montrer que l'armation est fausse, il sut de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle. Posonsx1= 10p2 etx2=p2. Ce sont deux nombres irrationnels :x2est irrationnel d'apres le cours etx1= 10 + (p2) est la somme d'un rationnel et d'un irrationnel; c'est donc un nombre irrationnel d'apres la premiere question.Ces deux nombres sont egalement positifs.
Pourtant,x1+x2= 10 doncx1+x2est un nombre rationnel.3.Vrai :la racine carree d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
Demonstration.Soitx1un nombre irrationnel positif. Montrons que sa racine carree est irrationnelle.