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comme produit et somme d'entiers de K, N(α) et T(α) sont encore des entiers de K , qui sont entiers parce qu'ils j=0 vjXj deux polynômes dont les coefficients sont des entiers algé- briques (avec un = 0 et vm = 0) et W(X) = U(X)V (X) = ∑nm

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CH IX SOMME ALGEBRIQUE 1 Définition Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions entre nombres relatifs Exemple A = ( – 4 ) +

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indices, utilisant les symboles ∑ (somme) et ∏ (produit) Pour le reste, vous aurez simplement à réviser votre cours de terminale sur les nombres complexes

calcul algbrique

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8 oct 2020 · 1) Si x est algébrique sur k, alors k(x) coıncide avec la sous-alg`ebre k[x] Plus précisément plus une somme de monômes en les Xi − xi de degré > 0, le terme constant valant dans ce brique fermée de kn Démonstration

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la plus simple expression, 38 - Calculsnumériques,3g, 65 algé- briques, 101 somme g des deux nombres donnés 5 et 4 Dans la SOUSTRACTION, ce ré-

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tout sous-espace analytique fermé de X est une variété algé- brique, est un autre exemple du même type Le but principal du présent mémoire est d'étendre

VincentPilaud

Mars2004

1Extensionsdecorps

etonnoteL=Kcetteextension. [M:K]=[M:L][L:K]. a2LtelqueL=K(a). contenantKetA.Onabiens^urK[A]½K(A). {x2K[a],9P2K[X];P(a)=x {x2K(a),9P;Q2K[X];P(a)

Q(a)=x

1 {eet¼sonttranscendantssurQ, {P1

10n!esttranscendant.

qj¸Kqn. 1

10n!esttranscendant.

1.Eestunsous-corpsdeL,

deK.

Q(a1;a2)½Ket[Q(a1;a2):Q]>[Q(a1):Q].

2.Soitpunnombrepremierimpairet!=e2i¼

cyclotomique. 2 8 :¾:K¡!C

¾(x+y)=¾(x)+¾(y)8x;y2K

¾(xy)=¾(x)¾(y)8x;y2K

¾(r)=r8r2Q

dupolyn^omeminimaldeµ.

1.Onnote¦(X)=Pd

d X i=0p i¾(µ)i=¾(dX i=0p iµi)=¾(0)=0 plusdmorphismesdeconjugaison. i(d¡1X k=0a kµk)=d¡1X k=0a kµki

N(x)=¾1(x)¾2(x):::¾d(x)

T(x)=¾1(x)+¾2(x)+:::+¾d(x)

Notonsquepourx2Q;N(x)=xd.

8x2K;N(x)2QetT(x)2Q

8x;y2K;T(x+y)=T(x)+T(y)

8x;y2K;N(xy)=N(x)N(y)

8x2K;N(x)=0,x=0

¯p

2.SoitQ(3p

3®.

2.3Anneaudesentiersd'uncorpsdenombres

estµacoe±cientsentiersrelatifs. di,etk=Qd i=0di,alorsQ®(X)=Pd

1=¯;¯2;:::;¯plesracinesdeP¯.

AlorsQ(X)=Qp

Dem^emeR(X)=Qp

i=1¯diP®(X dansQ. (a)Sid´2ou3[mod4],alorsOQ(p d)=Z[pd], (b)Sid´1[mod4],alorsOQ(p d)=Z[1+p d 2].

K,jN(²)j=1.

1.N(²)=§1=²:Qd

i=2¾i(a)estencore dansOK.Donc²estbieninversibledansOK.

²2O£

Exemples5.1.SoitQ(ip

d)uncorpsquadratiqueimaginaire.Alors: (a)Sid=1,alorsO£ Q(ip d)=U4, (b)Sid=3,alorsO£ Q(ip d)=U6, (c)Sid=2f1;3g,alorsO£ Q(ip d)=f§1g.

2.SoitQ(p

Q(pd)=f§¸njn2

Zg. 4

2.5Discriminantsetbasesentiµeres

Q-espacevectoriel.

6 6 6 4¾

1(¸1)¾1(¸2):::¾1(¸d)

2(¸1)¾2(¸2):::¾2(¸d)

d(¸1)¾d(¸2):::¾d(¸d)3 7 7 7 5)2

2N(¦0(µ))

i,etdonc:

¢[1;µ;µ2;:::;µd¡1]=(det2

6 6 6

411:::1

1µ2:::µ2.

d¡11µd¡12:::µd¡1 d3 7 7 7 5)2=Y

1·i·j·d(µi¡µj)2

Or¦(X)=Qd

i=1(X¡µi),etdonc

0(X)=dX

j=1Y i6=j(X¡µi)et¦0(µj)=Y i6=j(µj¡µi) etdoncenprenantlanorme,

N(¦0(µ))=dY

j=1Y i6=j(µj¡µi)=(¡1)d(d¡1) 2Y basesduQ-espacevectorielK.

Posons®j=Pd

i=1ci;i¯i.Alors:

I=fn1®1+:::+nd®djn1;:::;nd2Zg

j=Pd i=1ci;i¯iet¯j=Pd i=1c0 quedet([ci;j]1·i;j·d)det([c0 5

Exemples6.1.SoitQ(p

d)uncorpsquadratique.Alors: (a)Sid´2ou3[mod4],alorsOQ(p d)=Z(pd),donc¢(Q(pd))=4d, (b)Sid´1[mod4],alorsOQ(p d)=Z(1+p d

2),donc¢(Q(pd))=d.

2pp¡2

A+B=fa+bja2A;b2Bg

A:B=fqX

i=1a l'inverse.

2.SoientU(X)=Pn

i=0uiXietV(X)=Pm deconjugaison.Onposef(X)=Pn i=0®iXietg(X)=Qd j=2(Pn i=0¾j(®i)Xi).

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VincentPilaud

Mars2004

1Extensionsdecorps

Q(a)=x

10n!esttranscendant.

10n!esttranscendant.

1.Eestunsous-corpsdeL,

Q(a1;a2)½Ket[Q(a1;a2):Q]>[Q(a1):Q].

2.Soitpunnombrepremierimpairet!=e2i¼

¾(x+y)=¾(x)+¾(y)8x;y2K

¾(xy)=¾(x)¾(y)8x;y2K

¾(r)=r8r2Q

1.Onnote¦(X)=Pd

N(x)=¾1(x)¾2(x):::¾d(x)

T(x)=¾1(x)+¾2(x)+:::+¾d(x)

Notonsquepourx2Q;N(x)=xd.

8x2K;N(x)2QetT(x)2Q

8x;y2K;T(x+y)=T(x)+T(y)

8x;y2K;N(xy)=N(x)N(y)

8x2K;N(x)=0,x=0

2.SoitQ(3p

3®.

2.3Anneaudesentiersd'uncorpsdenombres

1=¯;¯2;:::;¯plesracinesdeP¯.

AlorsQ(X)=Qp

Dem^emeR(X)=Qp

K,jN(²)j=1.

1.N(²)=§1=²:Qd

²2O£

Exemples5.1.SoitQ(ip

2.SoitQ(p

Q(pd)=f§¸njn2

2.5Discriminantsetbasesentiµeres

Q-espacevectoriel.

1(¸1)¾1(¸2):::¾1(¸d)

2(¸1)¾2(¸2):::¾2(¸d)

2N(¦0(µ))

¢[1;µ;µ2;:::;µd¡1]=(det2

411:::1

1µ2:::µ2.

1·i·j·d(µi¡µj)2

Or¦(X)=Qd

0(X)=dX

N(¦0(µ))=dY

Posons®j=Pd

I=fn1®1+:::+nd®djn1;:::;nd2Zg

Exemples6.1.SoitQ(p

2),donc¢(Q(pd))=d.

2pp¡2

A+B=fa+bja2A;b2Bg

A:B=fqX

2.SoientU(X)=Pn

Alorsf(X);g(X)2OK[X]etf(X)g(X)P(d¡1)n

02B)B½(A+B))(A+B)jB¾

A=PGCD(A;B)A0

B=PGCD(A;B)B0¾

SiAjBCetAestpremieravecB,alorsAjC.

A+B=<1>

AD=BC¾

Alors¢(A)j¢(B).

Sideplus¢(A)=¢(B),alorsA=B.

¢()=(det2

1(a®1)¾1(a®2):::¾1(a®d)

2(a®1)¾2(a®2):::¾2(a®d)

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