3) Démontrer la relation de colinéarité entre les vecteurs CD et AB 4) En déduire la longueur du vecteur CD en cm Page 2 Maths – Seconde
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Vecteurs et colinéarité - Feuille d'exercices Un des exercices corrigés sur la chaîne Maths en tête (voir QR Code) est susceptible de tomber en évaluation
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Démontrer que pour tous points A, B, C et D on a : Corrigé : Plusieurs façons de procéder mais l'idée ici est de décomposer grâce à la relation de Chasles CA
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(1) Par D on trace la parallèle à BC qui coupe AC en E Donner les relations de colinéarité entre a) les vecteurs CE et AC b) DE et CB Justifier JJJG
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Dans chaque cas on considère trois vecteurs u v et w et on souhaite montrer que u et w sont colinéaires a u = 3 v v = -2 w b u = 3 v w = -2 v 3 u = v-2 w d 3u = 4 v 5v = -7w R EXERCICE 4B 3 u et v sont deux vecteurs définis par : u = 2 AB – AC v = 6 AB – 3 AC Montrer que u et v sont colinéaires EXERCICE 4B 4
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Maths Seconde EXERCICES : VECTEURS
Exercice 1
Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : 1)AB AC CB
2)BC BA BD BC
3)AB AC BC BA
4)2AC CB BA
5)2AB BC CA
Exercice 2
Développer et simplifier les expressions suivantes : 1)12( )3u u v v
2)21()54u u u v
3)11( ) ( )23u v u v
Exercice 3
Soit ABC un triangle. On considère les points D et E tels que 32AD AB
et 32DE BC
Montrer que
32AE AC
Que peut-on en conclure sur les points A, E et C ?Exercice 4
Soient ABCD est un parallélogramme et les points F, I et E définis par : 23AF AB
, I milieu de [BC],E symétrique de I par rapport à B.
1) Faire une figure.
2) Exprimer
CE en fonction de CB . (Justifier)3) Exprimer
DF et DF en fonction de CB et de AB4) En déduire que les points E, F et D sont alignés.
Exercice 5
Soient A et B deux points distants de 1,5 cm.
1) Construire le point C tel que
52BC AB
2) Construire le point D tel que
43AD AB
3) Démontrer la relation de colinéarité entre les vecteurs
CD et AB4) En déduire la longueur du vecteur CD en cm.
Maths Seconde CORRECTION EXERCICES : VECTEURSExercice 1
1)0AB AC CB
2)BC BA BD BC AD
3)AB AC BC BA AB
4)2AC CB BA CB
5)23AB BC CA AB
Exercice 2
1)172( )33u u v v u v
2)2 1 7 1()5 4 20 4u u u v u v
3)1 1 1 5( ) ( )2 3 6 6u v u v u v
Exercice 3
Soit ABC un triangle. On considère les points D et E tels que 32AD AB
et 32DE BC
3322
33()22
3 3 3 2 2 2 3 2AE AD DE
AE AB BC
AE AC CB BC
AE AC CB CB
AE ACLes vecteurs
AE et AC sont colinéairesDonc les points A, E et C sont alignés
Exercice 4
Soient ABCD est un parallélogramme et les points F, I et E définis par : 23AF AB
, I milieu de [BC], E symétrique de I par rapport à B.1) Faire une figure.
2) Exprimer
CE en fonction de CB . (Justifier) On sait que le point I est le milieu du segment [BC] Alors 12CI IB CB
On sait que le point E est le symétrique du point I par rapport au point B càd B est le milieu
de [EI] Alors IB BE1 1 3(1 )2 2 2CE CB BE CB IB CB CB CB CB
Donc 32CE CB
3) Exprimer
DF et DF en fonction de CB et de ABDF DA AF
Or ABCD est un parallélogramme donc
DA CD et 23AF AB
23DF CB AB
DE DC CE
Or ABCD est un parallélogramme donc
DC AB et 32CE CB
23DE AB CB
4) En déduire que les points E, F et D sont alignés.
la question précédente, on remarque que :2 2 3 2()3 3 2 3DF CB AB CB AB DE
Donc les vecteurs
DF et DE sont colinéaires les points E, F et D sont alignés. Maths Seconde CORRECTION EXERCICES : VECTEURSExercice 5 1) et 2)
3) 5423
54123
29
6
CD CB BA AD
CD AB AB AB
CD AB CD AB4) On sait que
296CD AB
la longueur du vecteur CD est 296 plus grande que celle du vecteur AB Donc