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Vecteurs et colinéarité - Feuille d'exercices Un des exercices corrigés sur la chaîne Maths en tête (voir QR Code) est susceptible de tomber en évaluation

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Démontrer que pour tous points A, B, C et D on a : Corrigé : Plusieurs façons de procéder mais l'idée ici est de décomposer grâce à la relation de Chasles CA

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3) Démontrer la relation de colinéarité entre les vecteurs CD et AB 4) En déduire la longueur du vecteur CD en cm Page 2 Maths – Seconde 

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(1) Par D on trace la parallèle à BC qui coupe AC en E Donner les relations de colinéarité entre a) les vecteurs CE et AC b) DE et CB Justifier JJJG

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3 mai 2012 · Associativité de la somme de trois vecteurs On donne trois vecteurs bbu Exercice 2 : Relation de Chasles Colinéarité ABC est un triangle, 

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Correction Prenons deux vecteurs ( ; ) ux y et ( '; ') v x y colinéaires Par définition de la colinéarité, il existe un nombre réel k tel que v ku =

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(il est pertinent de s'aider de l'exercice corrigé qui est au-dessus ) Testons cette colinéarité, et calculant tout d'abord les coordonnées des vecteurs : AB

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Exercice 2 : déterminer les coordonnées d'un point (6 points) 1) Placer les points 1) On teste la condition de colinéarité de deux vecteurs : 3×4 - 2×6 = 12 – 12 

pdf VECTEURS E 4B - BDRP

Dans chaque cas on considère trois vecteurs u v et w et on souhaite montrer que u et w sont colinéaires a u = 3 v v = -2 w b u = 3 v w = -2 v 3 u = v-2 w d 3u = 4 v 5v = -7w R EXERCICE 4B 3 u et v sont deux vecteurs définis par : u = 2 AB – AC v = 6 AB – 3 AC Montrer que u et v sont colinéaires EXERCICE 4B 4

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Exercices sur les vecteurs

Exercice 1

ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O. (1) Compléter par un vecteur égal : a) ...AB= b) ...BC= c) ...DO= d) ...OA= e) ...CD= (2) Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier : a) OB OC= b) [][]ABDC= c) OA OC= d) OAOC= e) AB DC= f) milOA= C g) milmilBDAC= h) AA BB=

Exercice 2

En utilisant le quadrillage, dire pour

chaque égalité si elle est vraie ou fausse : (1) ABEF= (2) CDAB= (3) DADB= (4) EDBD (5) AEBF= (6) EFDC=

Exercice 3

Soit ABC un triangle quelconque.

(1) Construire : le point

N tel que ; ANBC=

le point P tel que PA ; BC= le point M tel que . BMAC= (2) Montrer que []milANP=[]milBPM=N=, et CM. []mil (3) Quel est le rapport des aires des triangles ABC et MNP ? Justifier !

Exercice 4

Sur la figure ci-contre, formée de

parallélogrammes juxtaposés, déterminer : (1) un représentant de DB (2) trois représentants de AE (3) un représentant de FG d'origine B (4) un représentant de CF d'extrémité E (5) un représentant de 0 (6) un représentant de AF

Exercice 5

(1) Reproduire le parallélogramme ABCD ci-dessus dans votre cahier puis construire les points E, F, G, H et I définis par : CEAC= ; BF ; DG ; AC= AC= AHBC= ; IA. AC= (2) Quelle est la nature des quadrilatères BCEF et DGEC. (3) Que représente le point A pour le segment [] ? IC

Exercice 6

Calculer les sommes vectorielles indiquées en

utilisant la figure ci-contre : (1) AEAO+ (2) AEDF+ (3) BDBAAO (4) OCFC (5) DOBCAE++ (6) ABAD+

Exercice résolu 7

Déterminer la somme des vecteurs sur chacune des figures suivantes et expliquer votre démarche. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

Exercice 8

(1) Sur les figures (1) à (8) de l'exercice 7, construire uv (2) Sur les figures (9) et (10) de l'exercice 7, construire uvw (3) Sur les figures (11) et (12) de l'exercice 7, construire ua, et wa. Quelle est la relation entre v et w ? b= vbc= c= ,u

Exercice résolu 9

Sur la figure ci-dessus, formée de parallélogrammes juxtaposés, déterminer un représentant de (1) ADCF+ (2) GCAC+ (3) HEBC+ (4) DEDH (5) GJBF+ (6) DIJI+ (7) FGAI (8) IFFJ (9) AIAEFJ++ (10) AFHDBD++ (11) JEFGID+ (12) GJDABI+ (13) FDIACGFH++ (14) EDAHCFFH++

Déterminer le point O sur la figure tel que :

1 2

AOCFFGIA=+

Déterminer le point P sur la figure tel que :

1 2

EPADGCAB=++

Exercice 10

Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à l'aide d'une figure. (1) ()aa= (2) ()vuuv= (3) ()uvwuv+=w (4) ()aeraer=+ (5) 2()22abab= (6) 2uvuuv++=+ (7) ()326uu= (8) () 51
33
2zz= 0

Exercice résolu 11

Sur la figure ci-dessus, construire le point

(1) I tel que 2EIAB= (2) J tel que GJ AB= (3) K tel que 5 2 CKAB= (4) L tel que 1 2 LCCD= (5) M tel que 3 2 MAEF= (6) N tel que 2 3 NHDC= (7) P tel que EP 2EFCD=+ (8) Q tel que

2ABCD=

HQ

Exercice 12

Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points M, N, P, Q définis par : 12 23

AMABAD=+

31
23

BNBDAC=

31
42

CPADABBC=+

1 2

23ABQDCDBC+=

Exercice 13

A et B étant deux points distincts donnés, construire si possible les points inconnus Q, R, S, T, U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles correspondantes : (1) AQABQB=+ (2) ARRB= (3) 5ASBS= (4) 32BTATAB= (5) 0AUBU+= (6) 0AVVB+= (7) 2AWWB= (8) 2XAXBAB+= (9) 1 2

23AYBYAB=

(10) 22AZBZBA+= 0

Exercice 14

A et B étant deux points distincts donnés, construire les points M et P tels que : 23 et AMAB=

50PABP=

Exercice 15

A, B et C étant trois points non alignés donnés, construire si possible les points inconnus U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles correspondantes : (1) UAUBUCBC++= (2) 0AVVBVC= (3) 2AWBWCWAB= (4) 30XAXBXC++= (5) 232AYBYCYAB+= (6)

32AZZBCZAZBC=+

Exercice résolu 16

En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de colinéarité suivantes : (1) et ...AEAB= ...ABAE= (2) et ...GDJP= ...JPGD= (3) et ...CLQN= ...NQCL= (4) et ...DHAF= ...FAHD= (5) et ...GRIQ= ...IQGR= (6) et ...OHOE= ...OEOH= (7) et ...BPLG= ...PBLG= (8) et ...QIIE= ...IQEI= (9) et ...JEJQ= ...JQJE= (10) et ...MKKG= ...GKMK= (11) et ...DNHR= ...HRND= (12) et ...LARB= ...RBAL= (13) et ...FLNE= ...NELF= (14) et ...KJBP= ...PBJK= (15) et ...AAAM= ...BBIJ= (16) et ...IOAR= ...RAOI= (17) et ...BKCL= ...BKLC= (18) et ...GGAD= ...ADGG=

Exercice 17

Dans chacun des cas suivants, déterminer une relation de colinéarité entre et , puis faire une figure : AB AC (1) 2ABBC= (2) CBAB= (3) ACBC= (4) 23BACBAC= (5) 3 4 ACBC= (6) 15 36

ABCBAC=+

Exercice résolu 18

Soit A et B deux points distants de 1,5 cm.

(1) Construire le point C tel que 5 2 BCAB= (2) Construire le point D tel que 4 3 ADAB= (3) Compléter et démontrer la relation de colinéarité : . ...CDAB= (4) En déduire la longueur du vecteur CD en cm.

Exercice 19

Soit ABC un triangle quelconque et D le point défini par :

3ADABAC=

(1) Construire le point D. (2) Exprimer AB en fonction de AD et . AC (3) Exprimer AC en fonction de et . AB AD (4) Exprimer AD en fonction de AC et . BC

Exercice 20

Soit ABCD quadrilatère quelconque, M le milieu de [AB], N le milieu de [BC],

P le milieu de [CD] et Q le milieu de [AD].

(1) Montrer que 1 2 MNAC= et 1 2 QPAC= (2) En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.

Exercice 21

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC et , , C. Montrer que . []'milAB=C =[]'milAB=0[]'milBCA'''AABBCC++=

Exercice 22

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC. Montrer que 1 3

AGABAC=+

1 3

BGBABC=+

et 1 3

CGCACB=+

11

Exercice 23

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC et , , CA. []'milAB=C =[]'milB= ...'GB= C =[]'milB= []'milBCA (1) Compléter les relations de colinéarité suivantes : ...'GAGA= ; GB ; . ...'GCGC= (2) En déduire que G est le centre de gravité du triangle . '''ABC

Exercice 24

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC et , , CA. []'milAB= []'milBCA (1) Construire les points P,Q et R tels que : a) GP, b) GQGBGC=+

GCGA=+

et c) GR. GAGB=+ (2) Montrer que : GP, GQGA= GB= et GR. GC= (3) Quelle est l'isométrie qui transforme le triangle ABC en le triangle PQR ?

Exercice 25

Soit G et 'G les centres de gravité de deux triangles ABC et DEF respectivement. (1) Montrer que : . 3'ADBECFGG++= (2) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles aient le même centre de gravité.

Exercice 26

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC.

(1) Montrer qu'il existe un point unique D tel que . 3DADBDCAB++= (2) Quelle est la nature du quadrilatère ABGD ?

Exercice 27

Soit ABC un triangle.

(1) Construire les points I, J et K tels que :

AIABAC=+

2BJBAAC=+

CKCACB=+

(2) Démontrer que les droites AI, BJ et CK sont concourantes en G, centre de gravité du triangle ABC. 12

Exercice 28

Soit G le centre de gravité d'un quadrilatère quelconque ABCD, c.-à-d. G est l'unique point vérifiant l'égalité :

0GAGBGCGD+++=

(1) Construire le point G après avoir démontré que : 1 4

AGABACAD=++

(2) Soit M le milieu de [AB] et P le milieu de [CD]. Donner une construction plus simple du point G après avoir démontré que . 0GMGP+= (3) Soit N le milieu de [BC] et Q le milieu de [AD]. Donner une construction encore plus simple du point G après avoir démontré que 0GNGQ+= (4) Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ ?

Exercice 29

Soit ABC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit à ABC et le milieu de 'A[]BC. On définit le point H par la relation vectorielle :

OHOAOBOC=++

(1) a) Démontrer que : . 2'AHOA= b) En déduire que H appartient à la hauteur issue de A dans le triangle ABC. (2) a) Démontrer de même que H appartient aux deux hauteurs issues de B et de C respectivement dans le triangle ABC. b) Quel théorème vient-on de démontrer de cette façon ? Rappeler comment on appelle le point H dans le triangle ABC. (3) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. En utilisant une caractérisation vectorielle de G, démontrer que : . Que peut- on en déduire pour les points O, G et H ? Enoncer le théorème démontré ainsi.

3OHOG=

Remarque : La droite passant par les points O, G et H est appelé droite d'Euler. (4) Montrer que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle. 13 (5) Montrer que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

Exercice 30

La figure ci-contre représente le pentagone régulier ABCDE de centre O, c.-à-d. O est le centre du cercle circonscrit à ce pentagone. (1) Montrer que //OAOBOD+ . Indication : OD est un axe de symétrie du pentagone ABCDE. (2) Montrer de même que //OEOCOD+ (3) En déduire que //OAOBOCODOEOD++++ (4) Montrer qu'on a également : //OAOBOCODOEOE++++ (5) En déduire que . 0OAOBOCODOE++++= (O est donc le centre de gravité du pentagone ABCDE.) (6) Utiliser le résultat précédent pour prouver que : a) et 0ACBDCEDAEB++++= b) 0ADBECADBEC++++=

Exercice 31

Soit ABC un triangle. On définit les points D, F et G par 2 3 ADAB= 1 4 AFBA= et . 5GCGA= (1) Par D on trace la parallèle à BC qui coupe AC en E. Donner les relations de colinéarité entre a) les vecteurs CE et AC b) DE et CB. Justifier. (2) Démontrer que GF et DE sont parallèles. Justifier !

Exercice 32

Soit un parallélogramme ABCD de centre O.

(1) Construire les points E et F tels que : 1 4 AEAC= et . 3AFFC= (2) Montrer que . AEEOOFFC=== (3) Montrer que BEFD est un parallélogramme. (4) Soit []milIA=D et []milJ. Montrer que IEJF est un parallélogramme. BC= (5) La droite BE coupe respectivement AD en G et CD en H. Montrer que : 2 3 AGAI= 14 1 4 BEBH= ]B

2HDDC=

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