Précisions sur les conjectures au secondaire Comment vaincre l'inertie des élèves devant une conjecture? Direction de la formation générale des jeunes
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Précisions sur les conjectures
au secondaire devant une conjecture? Direction de la formation générale des jeunes6HŃPHXU GH O·pGXŃMPLRQ SUpVŃROMLUH HP GH O·HQVHLJQHPHQP SULPMLUH HP VHŃRQGMLUH
0LQLVPqUH GH O·eGXŃMPLRQ HP GH O·(QVHLJQHPHQP VXSpULHXU
Animatrices
Sophie Genest
ͻEnseignante de mathématique
au secondaireͻCollaboratrice aux programmes
de mathématiqueͻIntérêt marqué pour la
compréhension chez les élèvesGeneviève Dupré
ͻConseillère pédagogique en
prêt de service /domaine de la mathématiqueͻIntérêt marqué pour la
résolution de problèmes 2Plan de la présentation
ͻConjecture et Programme de formation
ͻPistes d'enseignement liĠes ă la conjectureͻTâches de conjecture
ͻCréation de situations de conjecture
3Conjecture et
Programme de formation
Définition
5PEFQ, Premier cycle, p. 245.
PFEQ, Deuxièmecycle, p. 31.
Composantes de la compétence 2
PEFQ, Premier cycle, p. 245.
PFEQ, Deuxièmecycle, p. 31.
Composantes de la compétence 2
liées à la conjecturePistes d'enseignement
ͻConcrĠtiser l'idĠe de conjecture
9Pistes d'enseignement
ͻFaǀoriser l'apprentissage par l'edžploration ͻFavoriser la " culture de l'argumentation ͩ ͻCompléter des conjectures formulées partiellement 10Faǀoriser l'apprentissage par l'edžploration
Travailler à partir de :
Situations de manipulations
Problèmes ouverts
Réseaux de concepts
11 12J'amĠliore ma dĠmarche et mon
raisonnementde façon autonome.Réflexion approfondie
J'Ġǀaluela pertinence lors
d'une sĠance plĠnière.Évaluation des stratégies
un sous-groupe.Partage des stratégies
Je pense et j'Ġcris de façon
autonome.Réflexion préliminaire
Je vérifie les conjectures et
je les précise.AnalysePistes d'enseignement
13Plan d'action et essais
Réflexion préliminaire
Vocabulaire et réseau de
conceptsVérification de la
comprĠhension de l'ĠnoncĠRessemblances et différences
entre les conjecturesComparaison
Pistes d'enseignement
Pistes d'amĠliorationRétroaction
Généralisation, raisonnement
déductif ou inductif, preuve par analogieConstruction d'une preuǀe
Faǀoriser la ͨ culture de l'argumentation ͩͻJustifier ses réponses
14Quelestl'intrus?
15 16 formed'uneexpressionalgébrique. 17Compléter une conjecture
expression algébrique. ____________________.18Compléter une conjecture
ComplĠtez l'ĠnoncĠ suiǀant ͗ La somme des degrĠs des sommetsd'un graphe est ͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺ .
19Compléter une conjecture
Tâches de conjecture
20Tâches
de conjectureDégager un lien, donner des
exemples variés, comparer, justifierFormulation (émission)
Raisonnement déductif, analogie,
raisonnement inductif, preuve, généralisation, argumentationValidation
21Contre-exemple,
Raisonnement par contradiction
Réfutation
Tâches
de conjecture 22Contre-exemple,
Raisonnement par contradiction
Réfutation
fonction. A-t-elle raison? deux nombres opposés dans une distribution statistique, la moyenne ne change pas. 23Tâche de conjecture : réfutation
Source :MEES, Précisions sur les types de raisonnement à exploiter en mathématique au secondaire;
Exemples de démarche illustrant les différents types de raisonnement.Tâches
de conjectureRaisonnement déductif, analogie,
raisonnement inductif, preuve, généralisation, argumentationValidation
24Tâche de conjecture : validation
deux nombres négatifs est toujours négative. Expliquez pourquoi. polygone rĠgulier est toujours paire. L'affirmation d'Emma est-elle vraie ou fausse? Expliquez pourquoi. 25Tâches
de conjectureDégager un lien, donner des
exemples variés, comparer, justifierFormulation (émission)
26perpendiculaires à celle-ci. Formulez une conjecture décrivant le lien qui existe entre les pentes des droites tracées. contraintes? 27
Tâche de conjecture : formulation (émission)
Dialogue intérieur
ͻQuels sont les concepts ou les éléments à mettre en relation?ͻComment les trouver ou les calculer?
ͻYuels edžemples choisir pour m'aider ă ǀisualiser le lien existant? possibles? ͻComment vérifier que mon argumentation est suffisamment développée? ͻComment savoir si ma conjecture peut être démontrée? 28Tâche de conjecture : formulation (émission) 29
Source :MEES, Précisions sur les types de raisonnement à exploiter en mathématique au secondaire;
Exemples de démarche illustrant les différents types de raisonnement.Pistes d'enseignement
ͻRendre ludique la conjecture
30www.semainedesmaths.ulaval.ca Edžemple tirĠ d'une Ġpreuǀe ministĠrielle 31
question 16. Tâche de conjecture : formulation (émission)
Création desituations de
conjecture 32Création de situations de conjecture
Pour amener les élèves à compléter, réfuter, valider ouémettre des conjectures
ͻTravailler à partir des énoncés du programme 33pentagone.(Questiontypique) ͻComplĠtez l'ĠnoncĠ suiǀant ͗ La diffĠrence entre l'aire d'un _________________. 34
Exemple de modification
ͻYu'arriǀe-t-il ă l'aire d'un pentagone si on double la mesure de son apothème? ͻL'affirmation suiǀante est-elle vraie ou fausse? apothème double. double aussi. A-t-ilraison? 35Exemple de modification (suite)
et la figure formée en les reliant? 36Exemple de modification
PFEQ, Deuxièmecycle, p. 128.
Déployer un raisonnement mathématique
Voir l'actiǀitĠ de conjecture comme une résolution de problème. Laisser le temps audž Ġlğǀes de s'inǀestir. Accorder plus d'importance audž Ġtapes de la dĠmonstrationMichelle Cirillo, " Ten Things to Consider When Teaching Proof », Mathematics Teacher, vol. 103, no4, novembre2009,p. 250-257.
37Fréquence des expériences
Apprentissage par exploration
Culture de l'argumentation
Progression dans les tâches
proposéesAdoption de diverses méthodes
pédagogiques 38Apprivoiser la conjecture
Matériel didactique
Utiliser et partager les exemples de
la formationModifier les questions des manuels
et des cahiers d'edžercicesTravailler à partir des énoncés du
Programme de formation
39Exemples de tâches supplémentaires
mesures des angles dans un triangle rectangle. ComplĠtez l'ĠnoncĠ suiǀant ͗ Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30est égale à __________________________ . 40Compléter une conjecture
Compléter une conjecture
homologues, les aires totales ainsi que les volumes des solides semblables. ComplĠtez l'ĠnoncĠ suiǀant ͗ Le rapport entre les ǀolumes de solides semblables est égal __________________________ . 41deux nombres entiers est supérieur ou égal à chacun de ces deux nombres. 42
Tâche de conjecture : réfutation
43mathématique est élevée, plus il y a de possibilités de gagner.
A-t-ilraison?
une norme plus grande que ces deux vecteurs. A-t-elle raison?Tâche de conjecture : réfutation
le produit d'edžpressions edžponentielles ayant la mġme base, on conserǀe la base et on l'affecte d'un edžposant correspondant à la somme des exposants des facteurs. nombres impairs consécutifs commençant par 1 est un nombre carré. 44Tâche de conjecture : validation
45forme : où ܽdemi-mesure de l'adže horizontal et ܾ l'ellipse, si ܾܽ pourquoi.
Tâche de conjecture : validation
triangle? base de la rğgle d'une fonction edžponentielle et les coordonnées des points sur la courbe dans cette fonction? 46Tâche de conjecture : formulation (émission) d'une suite et la somme des ݊premiers termes de cette suite correspond à une fonction polynomiale de degré 2, soit la entre le neterme d'une suite et la somme des ݊premiers termes de cette suite.47