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Les conjectures de Weil
Quant `al"influence de A. Weil, qu"il nous suffise de dire que c"est la n´ecessit´eded´evelopper l"outillage n´ecessaire pour formuler avec toute la g´en´eralit´evouluelad´efinition de la"cohomologie de Weil» et pour aborder la d´emonstration de toutes les propri´et´es formelles n´ecessaires pour ´etablir ses c´el`ebres conjectures en G´eom´etrie diophantienne, qui a ´et´eune des principales motivations de la r´edaction du pr´esent Trait´e(...).-EGA,Introduction.Andr´eWeil, en menant des calculs assez ´el´ementaires sur le nombre de solutions de certains
syst`emes d"´equations alg´ebriques dans les corps finis, a ´et´econduit `aformuler en 1949 une s´erie
de remarquables conjectures qui relient, pour une vari´et´ealg´ebriqueXd´efinie sur un corps
de nombres, le nombre de points deXsur un corpsfini et ses extensions d"une part, et despropri´et´es plutot topologiques de la vari´et´eanalytiqueX(C)d"autrepart. En ´etablissant ainsi
une relation entre une information de nature arithm´etique surXet la topologie, Weil a inaugur´e
toutun programme qui a servi de guide aux fondateurs de la g´eom´etrie alg´ebrique moderne, et
qui consiste sch´ematiquement `aexprimer, dans un langage purement alg´ebrique valable surunelarge classe de corps ou d"anneaux, les constructions que la g´eom´etrieet la topologiediff´erentielles
fournissent surC. Apr`es quelques indications heuristiques et historiques sur les conjectures de Weil dans le casg´en´eral, onend´emontrera une partie dans le cas des courbes, qui ´etait d´ej`abienconnude Weillui-
meme. Enfin, on tentera de montrer comment, dans le cas tr`es particulier et concret des courbes elliptiques, on peut construire `alamainune sorte de cohomologie ad hoc ayant des propri´et´esformelles suffisantes pour en d´eduire les conjectures. L"expos´edeces cas particuliers n"a pas,
bien sur,l"envergure grandiose et la profondeur de la dimension quelconque, mais il illustre d´ej`a,
on l"esp`ere, certains objets et certaines id´ees qui interviennent dans les d´eveloppements plus
ambitieux, tout en restant relativement ´el´ementaire.1´Enonc´eetorigine des conjectures1.1 Fonction zeta d"une vari´et´ealg´ebrique
Soitkun corps
1 quelconque.Onappellera ici vari´et´ealg´ebrique (projective)Xd´efinie sur kla donn´ee, pour un certain entiern≥1, d"une famille quelconque de polynomes homog`enes Pi dek[X 0 ,...,X n ]. Pourtout surcorpsKdek,ond´efinit alors l"ensembleX(K)despoints deXsurKcomme l"ensembles des points (x 0 :...:x n )del"espace projectifP n (K)v´erifiant P i(x 0 ,...,x n )=0pourtouti.´Etant donn´ee une vari´et´ealg´ebriqueXd´efinie sur le corpsk=F q aq´el´ements, on peut donc s"int´eresser `al"ensemble des points deXsur lescorpsk m =F q m.Or,pourchaquem,P n (k m est fini: |P n (k m )|=qm(n+1) -1 q m -1=1+q m +q 2m +···+q nm1. On ne parle ici que de corps et d"anneauxcommutatifs.Cette partie s"inspire du premier chapitre du cours
de Katz [Kat74] et de l"appendice C de Hartshorne [Har77]. Pour les notes historiques, le panorama dress´epar
Dieudonn´e[Die75] et l"expos´eintroductifdeKatz [Kat76] ont ´et´ed"ungrandsecours. 1 donc il en est a fortiori de meme pourX(k m ), et on a la majoration|X(k m n (k m )|.Cedont vont parler les conjectures de Weil, c"est pr´ecis´ement de ces nombres de points, que F.K.
Schmidt a eu l"id´ee de rassembler en une s´erie formelle appel´ee fonction zeta. D´efinition 1.1SiXest une vari´et´ealg´ebrique d´efinie surk=F q ,etN m le nombrede points deXsurk m =F q m,onappelle fonction zeta deXla s´erie: Z X (T)=exp? m=1 N m T m m? Exemple 1.1On peut facilement calculer la fonction zeta deP n .Elle s"´ecrit: logZ P n(T)= m=1 (1+q m +···+q nm )T m m logZ P n(T)= n k=0+∞ m=1 (q k T) m m logZ P n(T)= n k=0 -log(1-q k T) Z P n(T)=1 (1-T)(1-qT)···(1-q n T)On peut noter, et l"observation n"est bien sur pas innocente, que l"on obtient ainsi une fraction
rationnelle, ce qui est tout de meme remarquableau regard de la d´efinition de la fonction zeta.
On va essayer d"esquisser une motivation un peu plus forte de cette d´efinition quel"allureagr´eable del"exemple pr´ec´edent, et en particulier tenter de justifier le nom de"fonction zeta».
Pourcela, on va consid´erer l"ensembleX(K)despointsdeXsurune cloture alg´ebrique¯kdek, qui n"est rien d"autre que la r´eunion desX(k m ). AlorsG=Gal(¯k/k)op`ere surX(¯k)coordonn´ee par coordonn´ee. On appellera place deXtouteG-orbite de points deX(¯k). Une placeest ainsi une sous- vari´et´enonvided´efinie surket minimale. C"est un ensemble fini. Sipest une place deX,on note degpson cardinal, encore appel´edegr´e, et l"on appelle norme depl"entierNp=q degLe r´esultat suivant fait alors apparaıtre le lien avec les fonctions zeta que l"on rencontre en
th´eorie des nombres.Proposition 1La fonction zeta deXs"´ecritsous la forme d"un produit infini ´etendu `atoutes
les places deX: Z X (T)=? 1 1-T deg X (s)=Z X (q -s ),cette relation devient: X (s)=? 1