La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures de D Bertrand sur la fonction modulaire Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 9, no 1
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JOURNAL DETHÉORIE DESNOMBRES DEBORDEAUXGUYDIAZ
deD.Bertrandsurlafonctionmodulaire Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 9, no1 (1997),p. 229-245 © Université Bordeaux 1, 1997, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l"accord avec les condi- tions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti- lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 229-La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures de D. Bertrand sur la fonction modulaire par Guy DIAZ
RÉSUMÉ. Est-il
possible d'utiliser les propriétés de la fonction modulaire j pour avancer un peu en direction de la conjecture des quatre exponentielles ?Sur ce
thème, le texte propose plusieurs conjectures équivalentes et quelques résultats partiels.ABSTRACT. Is it
possible to use the properties of the modular j-function in order to make some progress on the four-exponential conjecture ? We here present several equivalent conjectures in this direction, as well as some partial results.0 - Introduction.
La conjecture des quatre exponentielles (premier problème deSchneider,
1957,voir [7] p. 139) est un des grands problèmes de la transcendance depuis quarante ans (au moins). L'attaque frontale par la méthode classique de
Gel'fond-Schneider n'a rien
donné, jusqu'ici.Lors d'une conférence à Madras
en janvier 1996,D. Bertrand a
proposé différentes conjectures, liées à la fonction modulaire J ; une réponse po- sitive à ces conjectures permettrait d'obtenir un cas particulier des quatre exponentielles, ce qui serait déjà une belle avancée. Il n'est pas a priori très naturel de passer par J pourétudier la fonction
exponentielle ; mais c'est pourtant bien un tel détour qui a permis d'obtenir l'indépendance algébrique de 7r et e7r (travaux de Y.V.Nesterenko,
voir [4]) ! Mon objectif ici est d'expliciter quelques conjectures intermédiaires, plus faibles que la conjecture des quatre exponentielles mais plus fortes que le cas particulier visé par D. Bertrand. En variant les formulations on finira peut-être par trouver un chemin d'accès !Sur ce thème on trouvera de nombreuses
remarques et variations dans les articles de D. Bertrand et M. Waldschmidt ( ~2~, [9], (10~ ), en particulier l'analogue elliptique de la conjecture des quatre exponentielles, ainsi qu'uneMots clés :Transcendance. Fonction modulaire.
Quatre exponentielles.
Manuscrit
reçu le 24 février 1997 230conjecture "mixte" sur le produit du groupe multiplicatif par une courbe elliptique (dont un cas particulier a été obtenu dans [1]).