cours du mercredi 1/3/17 Chapitre V Fonctions arcsin, arccos, arctan 1 Définitions 1 1 arcsin Proposition 1 1 La fonction sin : [−π/2, π/2] → [−1,1] est une
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[PDF] Chapitre V Fonctions arcsin, arccos, arctan 1 Définitions 2 Propriétés
cours du mercredi 1/3/17 Chapitre V Fonctions arcsin, arccos, arctan 1 Définitions 1 1 arcsin Proposition 1 1 La fonction sin : [−π/2, π/2] → [−1,1] est une
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Cours magistral 4 : Réciproques des fonctions trigonométriques sin(arccos(x ))? Ce que l'on sait cos(arccos(x)) = x et cos2 (y) + sin 2 arctan(tan(x)) = x Vx ∈ ]-π 2 ,+π 2 1 Représentez la fonction x ↦→ arcsin(sin(x)) 2 Représentez la
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2 π 2 Pour tout x ∈ [−1, 1] : cos Arcsin x = sin Arccos x = 1 − x2 x Arcsin x d' après le théorème de dérivabilité d'une réciproque, Arctan est dérivable sur
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arcsin(x)+arccos(x)= y + arcos(cos( π 2 − y)) = π 2 III La fonction arctan: la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur l'intervalle ] −π 2
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arctan(x) avec l'équivalence : y = arctan(x) ⇔ x = tan(y) Exemples : arcsin(1) = 2 π , car sin( 2 π ) = 1 arccos( 2 1 ) = 3 π , car cos( 3 π ) = 2 1 ; arctan(-1) = -
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ter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch,sh,th,arccos,arcsin,arctan,argch, argsh,argth Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de
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Fonctions Arcsin,Arccos,Arctan Professeur : Christian CYRILLE 18 décembre 2015 1 Théorème de la bijection Soit f une fonction numérique d'une variable
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2 + kπ[,k ∈ Z 1 + tan2(x) = 1 cos2(x) arccos(x) ] - 1; 1[ -1 / 1 - x2 arcsin(x) ] - 1; 1[ 1 / 1 - x2 arctan(x) R 1 1 + x2 Opération Dérivée f + g f + g f · g f · g + f · g
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+π/2 dont l'image par sinus vaut x (Arcsin est une fonction) On a donc les Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x Ensemble de définition [−1;1] [ −1;1] R R
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cours du mercredi 1/3/17
Chapitre V Fonctionsarcsin;arccos;arctan
1 Définitions
1.1arcsin
Proposition 1.1La fonctionsin : [=2;=2]![1;1]est une bijection. On notearcsin : [1;1]![=2;=2]la fonction réciproquei.e.si1 x1, alorsy= arcsinx,siny=xET=2x=2. Par exemple, arcsin(p3 2 )6= 2=3mais==3.Démonstration de la proposition :
8=2x=2;sin0x= cosx0,
>0si=2< x < =2. Doncsinest strictement croissante sur[=2;=2]. En particulier, la fonctionsin : [=2;=2]![1;1]est injective. Surjecti- vité : commesin(=2) =1et commesin=2 = 1, d"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout1y1, il existe=2x=2tel quesinx=y.q.e.d.1.2arccos Proposition 1.2La fonctioncos : [0;]![1;1]est une bijection. On notearccos : [1;1]![0;]la fonction réciproquei.e.si1x1, alorsy= arccosx,cosy=xET0x.1.3arctan
Proposition 1.3La fonctiontan : [=2;=2]!Rest une bijection. On notearctan :R![=2;=2]la fonction réciproquei.e.six2R, alorsy= arctanx,tany=xET=2< x < =2.2 Propriétés
Proposition 2.1a)L esfonctions arctanetarcsinsont impaires maisarccos n"est pas paire; 1 b)les fonctions arctanetarcsinsont strictement croissantes et la fonction arccosstrictement décroissante. c) les fonctions arcsinetarccossont continues sur[1;1], la fonctionarctan est continue surR. d)arcsinest dérivable sur]1;1[et81< x <1;arcsin0x=1p1x2,arccos est dérivable sur]1;1[et81< x <1;arccos0x=1p1x2,arctan est dérivable surRet8x2R;arctan0x=11+x2; e)arcsin(0) = 0,arcsin(1=2) ==6,arcsin(1=p2) ==4,arcsin(p3=2) = =3,arcsin(1) ==2;arccos(0) ==2,arccos(1=2) ==3,arccos(1=p2) = =4,arccos(p3=2) ==6,arccos(1) = 0,arctan(0) = 0,arctan(1) = =4,arctan(1) ==4,arctan(p3) ==3,limx!1arctan(x) ==2;3 Quelques formules concernantarctan
Proposition 3.1a)arctan1 + arctan2 + arctan3 =;
b)arctan(1=2) + arctan1=5 + arctan1=8 ==4; c)4arctan(1=5)arctan(1=239) ==4; d)2arctan(1=3) + arctan(1=7) ==4; e)limn!1Pnk=0(1)k2k+1==4. Démonstration :a,b,c,d) : on utilise quetan(x+y) =tanx+tany1tanxtanyet donc que :tan(x+y+z) =tanx+tany+tanztanxtanytanz1tanxtanytanytanztanxtanz. Par exemple pour a) : tan(arctan1 + arctan2 + arctan3) =1+2+31:2:311:22:31:3= 0. Doncarctan1 +
arctan2 + arctan3 =k,k2Z. Or, la fonctionarctanest strictement croissante majorée par=2donc :0Chapitre VI Intégration
1 Intégrales des fonctions en escaliers
Soientab2R.
Définition 1On dit qu"une fonctionf: [a;b]!Rest en escaliers s"il existe =fa=t0< ::: < tn=bgune subdivision de l"intervalle telle que pour tout0in1,fest constante (égale à une certaine constanteci2R) sur l"intervalle ouvert]ti;ti+1[. Dans ce cas, on dit que la subdivisionest adaptée àf. Exemple :soitI[a;b]un intervalle. On poseI: [a;b]!Rla fonction telle queI(x) =8
:1six2I,0six62I.
La fonctionIest en escaliers.
Exercice 1L"ensembleE([a;b])des fonctions en escaliers sur[a;b]est un sous-Respace vectoriel deR[a;b]l"espace des fonctions :[a;b]!R. Les fonctionsI,Iintervalle ouvert deR, forment une famille génératrice de l"espaceE([a;b].Remarques :
a) on a f([a;b]) =fci: 0in1g[ff(ti) : 0ing; en particulier fne prend qu"un nombre fini de valeurs et est bornée; b) si 0sont des subdivisions de[a;b](on dit que0est une subdivision plus fine que), alors siest adaptée àf, fonction en escaliers,0aussi. Définition 2Soitfune fonction en escaliers sur[a;b]. Le nombre : n1X i=0(ti+1ti)ci où =fa=t0< ::: < tn=bgest une subdivision adaptée àfetf]ti;ti+1[= c i, est indépendant de la subdivision adaptée àfchoisie. On le note : Z b af : 3 Démonstration de l"indépendance vis à vis de la subdivision : Siest une subdivision adaptée àf, notonsI=Pn1i=0(ti+1ti)cila somme correspondante. Siet0sont des subdivisions adaptées,00= [0est une subdivision adaptée àfet plus fine queet0. Il suffit donc de montrer queI=I00=I0. Posons00=fx0;:::;xmgpour certains a=x0< ::: < xm=bdans[a;b]. Alors =fxi0;:::;xingpour certains indices0 =i0< ::: < in=m. On a alors en notantcjla valeur constante de fsur]xij;xij+1[: I =X j(xij+1xij)cj X ji j+11X i=ij(xi+1xi)cj X i(xi+1xi)c00i=I00(oùc00iest la valeur constante defsur]xi;xi+1[). De même,I0=I00.q.e.d.Exercice 2SoitIun intervalle contenue dans[a;b]. On aRb
aI=l(I)la longueur de l"intervalleI. 4quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13