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arcsin(x)+arccos(x)= y + arcos(cos( π 2 − y)) = π 2 III La fonction arctan: la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur l'intervalle ] −π 2
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arctan(x) avec l'équivalence : y = arctan(x) ⇔ x = tan(y) Exemples : arcsin(1) = 2 π , car sin( 2 π ) = 1 arccos( 2 1 ) = 3 π , car cos( 3 π ) = 2 1 ; arctan(-1) = -
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2 + kπ[,k ∈ Z 1 + tan2(x) = 1 cos2(x) arccos(x) ] - 1; 1[ -1 / 1 - x2 arcsin(x) ] - 1; 1[ 1 / 1 - x2 arctan(x) R 1 1 + x2 Opération Dérivée f + g f + g f · g f · g + f · g
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+π/2 dont l'image par sinus vaut x (Arcsin est une fonction) On a donc les Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x Ensemble de définition [−1;1] [ −1;1] R R
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2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)Les fonctions trigonométriquesx
?sin(x),x?cos(x),x?tan(x)n"étant pas monotones surR(la fonctionx ?tan(x)n"est même pas définie surRtout entier), pour construire des fonctions inverses (on dit aussi fonctions réciproques) aux fonctions trigonométriques, on est obligé de se restreindre à des intervalles de monotonie de ces fonctions (on prend en général des intervalles de monotonie maximaux).I.La fonction arcsin:la fonctionx
?sin(x)est monotone (strictement croissante) sur l"intervalle[-π2,π
2].On définit alors son inverse, arcsin:[-1,1]
2,π
2],x?arcsin(x).
Il faut retenir que:
1. ledomaine de définitionde la fonction arcsinus est[-1,1]
2.y=arcsin(x)
sin(y)=xet-π 2 ?y?π 2 Les graphes de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. En utilisant les règles de dérivation de fonctions composées, on montre que la fonctionx ?arcsin(x)est dérivable sur]-1,1[et que arcsin(x))?=11-x2⎷
II.La fonction arccos:la fonctionx
?cos(x)est monotone (strictement décroissante) sur l"intervalle [0,π]. On définit son inverse, arccos:[-1,1] ?[0,π],x?arccos(x).Il faut retenir que:
1. ledomaine de définitionde la fonction arccos est[-1,1]
2.y=arccos(x)
?(cos(y)=xet0?y?π)2.5 Techniques d"intégration29
Les graphes de ces deux fonctions se déduisent l"un de l"autre par symé- trie orthogonale par rapport à la droite d"équationy=x. En utilisant les règles de dérivation de fonctions composées, on montre que la fonctionx ?arccos(x)est dérivable sur]-1,1[et que arccos(x))?=-11-x2⎷
Remarque:En utilisant les définitions des fonctionsarcsin,arccoset les formules trigonométriques usuelles, on montre: ?x?[-1,1],arcsin(x)+arccos(x)=π 2En effet, pourx?[-1,1], posonsy=arcsin(x).
Nous avons-π
2 ?y?π2et sin(y)=x. Or on a sin(y)=cos(π
2-y).Comme0?π
2 -y?π, on obtient arcsin(x)+arccos(x)=y+arcos(cos(π 2 -y))=π 2.III.La fonction arctan:la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur l"intervalle]-π
2 2[.