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Cours magistral 4 : Réciproques des fonctions trigonométriques sin(arccos(x ))? Ce que l'on sait cos(arccos(x)) = x et cos2 (y) + sin 2 arctan(tan(x)) = x Vx ∈ ]-π 2 ,+π 2 1 Représentez la fonction x ↦→ arcsin(sin(x)) 2 Représentez la 

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2 π 2 Pour tout x ∈ [−1, 1] : cos Arcsin x = sin Arccos x = 1 − x2 x Arcsin x d' après le théorème de dérivabilité d'une réciproque, Arctan est dérivable sur

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arcsin(x)+arccos(x)= y + arcos(cos( π 2 − y)) = π 2 III La fonction arctan: la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur l'intervalle ] −π 2

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arctan(x) avec l'équivalence : y = arctan(x) ⇔ x = tan(y) Exemples : arcsin(1) = 2 π , car sin( 2 π ) = 1 arccos( 2 1 ) = 3 π , car cos( 3 π ) = 2 1 ; arctan(-1) = -

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ter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch,sh,th,arccos,arcsin,arctan,argch, argsh,argth Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de 

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2 + kπ[,k ∈ Z 1 + tan2(x) = 1 cos2(x) arccos(x) ] - 1; 1[ -1 / 1 - x2 arcsin(x) ] - 1; 1[ 1 / 1 - x2 arctan(x) R 1 1 + x2 Opération Dérivée f + g f + g f · g f · g + f · g

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+π/2 dont l'image par sinus vaut x (Arcsin est une fonction) On a donc les Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x Ensemble de définition [−1;1] [ −1;1] R R

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f: [´π 2 2 ]ÝÑ[´1,1] xÞÝÑx f f(´π 2 ) =´1f(π 2 ) = 1 f [´π 2 2 ][´1,1] [´1,1][´π 2 2 f: [´π 2 2 ]ÝÑ[´1,1] xÞÝÑx 2 2 ] y=x) 2 2 x xÞÑx[´π 2 2 @xP[´1,1],´π 2 2 2 2 xP[´1,1]

´(x)P[´π

2 2 ] (´(x)) =´((x)) =´x ´(x) 2 2

C8]´1,1[

@xP]´1,1[,()1(x) =1

1´x2

xP]´1,1[ α=(x) αP]´π 2 2 [ α=x

α ()1(α) =(α)‰0 x()1(x) =

1

2α+2α= 1 αą0

α=a

1´2α α=x α=?

1´x2

()1(x) =1

1´x2

]´1,1[ ]´1,1[xÞÑ1

1´x2

C8]´1,1[

C8]´1,1[

]´1,1[()1

ĕ (O,⃗i,⃗j)

2 2 ´1 2 1 2 ´1 2 1 2 [0,π]ÝÑ[´1,1] xÞÝÑx [´1,1][0,π] [0,π]ÝÑ[´1,1] xÞÝÑx @xP[´1,1],@yPR,(y=(x)ðñyP[0,π] y=x)

C8]´1,1[

@xP]´1,1[,()1(x) =´1

1´x2

xP]´1,1[ α=(x) αP]0,π[ α=x

α ()1(α) =´(α)‰0 x()1(x) =

1

´α=´1

1´2α=´1

1´x2

ĕ (O,⃗i,⃗j)

[0,π] ĕ ´1 1 2 ´1 1 2 (0,π 2 @xP[´1,1],(x) +(´x) =π f A(x0,y0)ðñI x0@hP R,( (x0+hPI)ùñf(x0+h)+f(x0´h) 2 =y0) xP[´1,1] (x)P[0,π] ((x)) =x π´(x)P[0,π] (π´(x)) =´((x)) =´x

π´(x) =(´x)π´(x)P[0,π]

Ox π

2 ⃗j @xP[´1,1],(x)+ (x) =π 2 (x) = (´(x)) +π 2 xP[´1,1] (x)P[0,π] 2

´(x)P[´π

2 2 2

´(x))

2 ((x))´(π 2 ((x)) = 1ˆ((x))´0 =x 2

´(x) =(x)

(x) +(x) =π 2 2 2 [ÝÑR xÞÝÑx

R]´π

2 2 @xPR,@yPR,(y=(x)ðñyP] 2 2 y=x) 2 2 x @xPR,´π 2 2 R

´8=´π

2 +8=π 2 C8R @xPR,()1(x) =1 1 +x2 xPR α=(x) αP]´π 2 2 [ α=x

α 1(α) = 1 +2α‰0 x

()1(α) =1

1 +2α=1

1 +x2 2 2 2 2 @xą0,(x) +(1 x 2 @xă0,(x) +(1 x 2 xą0

αP]0,π

2 2

´αP]0,π

2 2

´α) =1

α=1

x 2

´α=(1

x x 2 xă0 ´xą0 (´x)+(1

´x) =π

2

´(x)´(1

x 2 (x) +(1 x 2

R]0,π[ ]0,π[ÝÑR

xÞÝÑx @xPR,@yPR,(y=(x)ðñyP]0,π[ y=x) 2 2 R

´8=π +8= 0

C8R @xPR,()1(x) =´1 1 +x2 @xą0,(x) +(1 x 2 @xă0,(x) +(1 x ) =3π 2 xą0

αP]0,π

2 2

´αP]0,π

2 2

´α) =1

2

´α)=α=1

α=1

x 2

´α=(1

x x 2 xă0

αP]π

2 ,π[ 3π 2

´αP]π

2 (3π 2

´α) =1

(3π 2

´α)=α=1

α=1

x 3π 2

´α=(1

x ) (x) +(1 x ) =3π 2quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13