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Corrig´es d"exercices pour les TD 1 et 2

SoitE=C0([0,1];R) etA={f?E;f(x)≥0 pour toutx?[0,1]}.

1.Montrer que les applications qui `a tout ´el´ement (f,g)?E2associent respectivement

d ∞(f,g) = sup{|f(x)-g(x)|;x?[0,1]}, d

1(f,g) =?

1 0 |f(x)-g(x)|dx d´efinissent des distances surE.

2.D´ecrire◦Aet

Apour la distanced∞.

3.D´ecrire◦Aet

Apour la distanced1.

Solution .

1.C"est une question de cours.

2.On voit d"abord facilement queAest ferm´e pour la distanced∞card∞est la distance de la convergence

uniforme, et une limite uniforme de fonctions positives estbien sˆur positive. Montrons que◦Aest ´egal `a

l"ensemble

B={f?E;f(x)>0 pour toutx?[0,1]}.

Soitf?Bet soitr= min{f(x);x?[0,1]}>0 (rest bien d´efini carfest continue sur le segment [0,1]). AlorsB(f,r)?A: pour toutg?Etel qued∞(g,f)< r, et pour toutx?[0,1], g(x)≥f(x)-r≥0, de sorte queg?A.Inversement, sif?◦A,il exister >0 tel queB(f,r)?A.Alors n´ecessairement g:x?→f(x)-r/2 appartient `aAcard∞(f,g) =r/2< r, et donc pour toutx?[0,1], g(x)≥0?f(x)≥r/2>0. Ainsif?B.On a finalement bien montr´e que◦A=B.

3.Montrons queAest ´egalement ferm´e pour la distanced1. Soit (fn) une suite d"´el´ements deA

convergeant vers un certainf?E.Raisonnons par l"absurde en supposant quef /?A, c"est-`a-dire qu"il existex0?[0,1] tel quef(x0)<0. Par continuit´e def, il existeδ?]0,1[ tel que pour tout x?[0,1]∩]x0-δ,x0+δ[, f(x)<1

2f(x0). Soitε=-δ2f(x0)>0.Sachant que de plusf(x)≥0 pour tout

x, on a alors pour toutn, 1 0 |fn(x)-f(x)|dx≥? ce qui contredit le fait quefn→fpour la distanced1. Cette contradiction montre quef?A,etAest donc ferm´e.

Montrons queAest d"int´erieur vide pour la distanced1. Supposons par l"absurde qu"il existef?◦A,

et soit (fn) la suite de fonctions continues d´efinie par: ?f n(0) =-1 f n(x) =f(x) pourx?[1/n,1] f nest affine sur [0,1/n].

Alorsfn→fpour la distanced1car

d

1(fn,f) =?

1/n 0 nmax(1,max{|f(x)|;x?[0,1]})→0.

Comme il exister >0 tel queB(f,r)?A, en appliquant la d´efinition de la limite avecε=r, on obtient

l"existence d"un entiern0tel que pour toutn≥n0,d1(fn,f)< r, et donc en particulierfn?A. Pourtant

aucunfnn"appartient `aA, puisquefn(0) =-1 pour toutn. Cette absurdit´e montre bien queAest d"int´erieur vide. 1 SoitEl"espace vectoriel des suites r´eelles born´ees. PourU= (un)?EetV= (vn)?E, on pose d ∞(U,V) = sup{|un-vn|;n?N}.

1.V´erifier que ceci d´efinit une distance surE.

2.SoitAl"ensemble des suites r´eelles born´ees croissantes. D´ecrire l"adh´erence deApour la distanced∞.

Aest-il ouvert pour cette distance ? Quel est son int´erieur ?

3.SoitBl"ensemble des suites r´eelles born´ees strictement croissantes. Quel est son adh´erence pour la

distanced∞?

Solution .

1.C"est `a nouveau une question de cours.

2.Montrons queAest ferm´e pour la distanced∞. Soit (Up)p= ((upn)n)pune suite d"´el´ements deA

convergeant vers un certainU= (un)?Elorsquep→+∞. On remarque d´ej`a que cela implique que

pour toutn,upn→unlorsquep→+∞. En effet, pour toutε >0 fix´e, il existep0?Ntel que pour tout

p≥p0, d Alors, comme (upn)nest croissante pour toutp, on a pour tousnetp, u p

An"est pas ouvert car la suite nulleUest un ´el´ement deAnon int´erieur `aA: supposons queUest

int´erieur `aA. Il existe doncr >0 tel queB(U,r)?A.La suiteV= ((-1)nr/2)nappartient donc `aA card∞(U,V) =r/2< r; or cette suite n"est pas croissante, ce qui fournit une contradiction.

Montrons par l"absurde que l"int´erieur deAest l"ensemble vide. Soit (un)?◦A: il exister >0 tel que

B((un),r)?A.En particulier les suites (un+(-1)nr/2)net (un+(-1)n+1r/2)nappartiennent `a A, et sont donc croissantes. On obtient donc pour toutn, ?u u c"est-`a-dire, pour toutn, u Il existe doncr >0 tel que pour toutn?N, un+1≥un+r.En particulier pour toutn,un≥u0+nr. La suite (un)nne peut donc ˆetre born´ee, ce qui est absurde. Ainsi◦A=∅.

3.Montrons que

Best l"ensembleAdes suites r´eelles born´ees croissantes. On montre d"abord de la mˆeme fa¸con qu"au d´ebut de la question 2 que B?A, c"est-`a-dire qu"une limite de suites strictement croissantes est croissante. R´eciproquement, soit (un)?A.Soit, pourp?N?, u p n=un+1 pn+1? i=11i2.

Comme la s´erie

i≥11/i2converge, et comme la suite (un)nest born´ee, la suite (upn)nest born´ee pour toutp. De plus la suite (upn)nest strictement croissante pour toutp, car pour toutnon a u n+1 pn+1? i=11i2< un+1+1pn+2? i=11i2. Enfind∞((upn)n-(un)n)→0 lorsquep→+∞car d ∞((upn)n-(un)n) = sup? 1 pn+1? i=11i2;n?N?

1p+∞?

i=11i2=1pπ 26.
La suite (un)nest donc limite d"une suite d"´el´ements deB: elle appartient `a

B. Finalement, on a montr´e

que B=A. 2

1.Existe-t-il un hom´eomorphisme de l"espace (Rn,d2) sur lui-mˆeme qui transforme la boule unit´e ouverte

en la boule unit´e ferm´ee ?

2.Existe-t-il un hom´eomorphisme de (R,| · |) sur (]-1,1[,| · |) ?

Solution .

1.Non, car un hom´eomorphisme transforme les ouverts en ouverts, et donc si un tel hom´eomorphisme

existait la boule ferm´ee devrait ˆetre ouverte, ce qui est faux. Pour prouver qu"un hom´eomorphisme transforme les ouvertsen ouverts, soitfun hom´eomorphisme

de (Rn,d2) sur lui-mˆeme et soitOun ouvert deRn. Alorsf-1´etant continue, l"image r´eciproque deO

parf-1est un ouvert; or l"image r´eciproque deOparf-1est exactement l"image deOparf, carfest la bijection r´eciproque def-1, et doncf(O) est ouvert.

2.Oui, l"applicationf:x?R?→2

πarctan(x), de bijection r´eciproquey?]-1,1[?→tan(π2y), convient. Soitf:R→Rune application continue strictement croissante. On munitRde la valeur absolue.

1.Montrer quef(R), l"image def, est un ouvert deR.

2.Montrer quef-1, la bijection r´eciproque def, est bien d´efinie et continue surf(R).

3.Montrer que l"applicationd:R2→Rqui `a (x,y)?R2associe

d(x,y) =|f(x)-f(y)| d´efinit une distance surR.

4.Montrer que cette distance d´efinit les mˆemes ouverts que lavaleur absolue.

5.Les distancesdet

(x,y)?R2?→ |x-y|

sont-elles n´ecessairement ´equivalentes ? Si oui, donnerune justification, sinon, un contre-exemple.

Solution .

1.Soity=f(x)?f(R),et soitε= min{f(x+ 1)-f(x),f(x)-f(x-1)}.Alorsε >0 carfest

strictement croissante, et pour toutz?Rtel que|z-y|< ε, tandis que z > y-ε≥f(x)-(f(x)-f(x-1)) =f(x-1).

En particulierz?]f(x-1),f(x+1)[, et donc, d"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires appliqu´e `a

la fonction continuef, on en d´eduit quez?f(]x-1,x+ 1[)?f(R).Ceci ´etant valable pour toutztel que|z-y|< ε,on a montr´e queB(y,ε)?f(R), et on en d´eduit quef(R) est ouvert.

2.La fonctionf´etant strictement croissante, elle est bijective deRsurf(R).Sa bijection r´eciproquef-1

est donc bien d´efinie. Montrons qu"elle est continue surf(R); la d´emonstration est tr`es proche de celle de

la question1: soity=f(x)?f(R), et soitε >0 fix´e. Soitη= min{f(x+ε)-f(x),f(x)-f(x-ε)}>0.

Alors pour toutz?f(R) tel que|z-y|< η,

tandis que z > y-η≥f(x)-(f(x)-f(x-ε)) =f(x-ε).

En particulierz?]f(x-ε),f(x+ε)[, et donc, d"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires appliqu´e `a

la fonction continuef, on en d´eduit quez?f(]x-ε,x+ε[),et doncf-1(z)?]x-ε,x+ε[, c"est-`a-dire

|f-1(z)-f-1(y)|< ε.On a donc v´erifi´e la d´efinition de la continuit´e pourf-1en tout point def(R).

3.Il est ´evident quedest sym´etrique, car pour (x,y)?R2,

d(x,y) =|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=d(y,x). 3 De plus, pour (x,y)?R2,d(x,y) = 0 si et seulement sif(x) =f(y),c"est-`a-dire, sachant quefest

strictement croissante, si et seulement six=y. V´erifions enfin l"in´egalit´e triangulaire: soientx,y,ztrois

r´eels. On a

o`u l"on a utilis´e l"in´egalit´e triangulaire surRmuni de la valeur absolue. Ceci prouve l"in´egalit´e triangulaire

pourdet ach`eve la v´erification:dd´efinit une distance surR.

4.SoitO?Run ensemble ouvert pour la distancedet soitx?O. Il existe doncε >0 tel que pour

y?R,d(x,y)< εentraˆıney?O,c"est-`a-dire que|f(x)-f(y)|< εentraˆıney?O.Mais par continuit´e

defenx, il existeη >0 tel que pour touty?R,|x-y|< ηentraˆıne|f(x)-f(y)|< ε.Finalement,

pour touty?R,|x-y|< ηentraˆıney?O.Cette construction deη´etant possible pour toutx?O, on

a donc montr´e queOest ouvert pour la valeur absolue| · |. Inversement, soitO?Run ensemble ouvert pour la valeur absolue, et soitx?O. Il existe doncε >0

tel que poury?R,|x-y|< εentraˆıney?O.Mais par continuit´e def-1enf(x), il existeη >0 tel que

pour touty?R,|f(x)-f(y)|< ηentraˆıne|x-y|< ε,c"est-`a-dire qued(x,y)< ηentraˆıne|x-y|< ε.

Finalement, pour touty?R, d(x,y)< ηentraˆıney?O.Cette construction deη´etant possible pour

toutx?O, on a donc montr´e queOest ouvert pour la distanced. Finalement, les ouverts pourdsont ouverts pour la valeur absolue et inversement:det la valeur absolue d´efinissent les mˆemes ouverts.

5.La distancedet celle d´efinie par la valeur absolue ne sont pas n´ecessairement ´equivalentes, comme

le montre l"exemple de la fonctionf:x?→arctan(x). En effet, cette fonction est continue strictement

croissante, mais il n"existe aucune constanteC >0 telle que pour tout (x,y)?R2, En effet, si une telle constante existait, on aurait pour toutn?N,n≥1,

puisque arctan(x) `a une limite finie en +∞(´egale `aπ/2). Ceci est absurde et montre l"impossibilit´e de

l"existence de la constanteC. En particulier,det (x,y)?→ |x-y|ne sont pas ´equivalentes pour ce choix

def. Montrer que{⎷n-⎷m; (n,m)?N2}est dense dansR.

Solution .La suite (⎷

n+ 1-⎷n)n?Ntend vers 0 lorsquentend vers +∞car n+ 1-⎷n=1⎷n+ 1 +⎷n.

Soitx?Retε >0 fix´e. On peut supposer quex >0, car le casx= 0 vient d"ˆetre trait´e, et six <0, on

pourra appliquer le r´esultat `a-x >0 puis ´echangernetm. Il existeN?Ntel que 0<⎷

N+ 1-⎷N < ε.

Soitk?Ntel quek(⎷

|x-(? On a donc approch´exavec une pr´ecision arbitraire par des ´el´ements de{⎷ n-⎷m; (n,m)?N2}, ce qui montre que cet ensemble est dense dansR.

SoitEetFdeux espaces m´etriques. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:

(i)f:E→Fest continue. (ii) Pour toutA?E,f(

A)?f(A).

(iii) Pour toutB?F,f-1(◦B)?◦ f -1(B). 4 Solution .Pour cet exercice on rappelle que par d´efinition, pourB?F, f -1(B) ={x?Etels quef(x)?B},

et doncx?f-1(B)?f(x)?B.Il ne faut pas confondre avec une ´eventuelle bijection r´eciproque def,

qui n"existe pas forc´ement ! (i)?(ii) SoitA?Eety?f( A).Il existe doncx?Atel quef(x) =y, et d"apr`es la caract´erisation

s´equentielle de l"adh´erence, il existe une suite (xn) d"´el´ements deAconvergeant versx. Par continuit´e

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