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On dit que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l' intervalle [2,5 ; 5] Page 2 2 sur 9 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www
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Fonctions croissantes On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y) En langage plus formel,
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On dit que la fonction f est croissante sur [6;8] et décroiante sur [8;15]∪[15;22] minimum de f est -3 atteint en 8 2) Synthèse du vocabulaire utilisé M Herbaut 1/4 Seconde 3) Démontrer le résultat précédent M Herbaut 4/4 Seconde
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f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive ou nulle On peut en fait démontrer ce résultat de deux façons On le fait En un point x0 où la dérivée seconde f// d'une fonction f change de signe, le graphe de cette
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Montrer que cette fonction est continue sur D Réponse : D'après la Par conséquent, P est strictement croissante, donc, d'après le théorème La première inégalité montre que f n'est pas décroissante, la seconde montre que f n'est pas
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Seconde Cours : variations de fonctions 1 I Sens de variation et extremums a) Sens de variation Fonction croissante La fonction f est croissante sur
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1) Fonction croissante Exemple 1 : f est croissante sur l'intervalle [−2 ; 4] Remarque : Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) augmentent x −
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Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de toutes On appelle alors dérivée seconde la dérivée de f , et on la note f I La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f est croissante sur I
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I
1) Fonction croissante. Fonction décroissante
ł Une fonction ࢌ est croissante :
C'est-à-dire sa courbe représentative monte la parcourt dans le sensł Une fonction ࢌ est décroissante :
C'est-à-dire sa courbe représentative descendłࢌ est constante:
Exemple 1 Exemple 2
La fonction ࢌ est croissante sur [0 ; 3] : La fonction ࢌ est décroissante sur [-1 ; 1]:
Sa courbe représentative monte Sa courbe représentative descendL lorsqu'on la parcourt dans le sens
de l'axe des abscisses entre ݔൌͲ etݔൌ͵ de l'axe des abscisses entre ݔൌെͳ etݔൌͳ
Mathématiquement cela se traduit par :
Pour tout nombre ࢇ et ࢈appartenant à un intervalle I, représentative Etudier lefonction, trouver le(s) intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction ࢌ est croissante, décroissante ou constante. se résumer dans un tableau de variation, si la courbe monte, descend ou est stable. Dans la première ligne on indique les valeurs importantes de ࢞ et dans la seconde les variations de ࢌ: on lit les flèches de gauche à droite si la flèche monte, la fonction est croissante, si elle descend, elle est décroissante, si elle est horizontale, elle est constante. Aux extrémités de chaque flèche, on indique les valeurs atteintes par la fonction ࢌ.La fonction ࢌ
[-4 ; 4], pour tout ݔde cet intervalle : Dans notre exemple 2. La fonction constante est toujours représentée par abscissesExemples :
࢞ െͳ 0 2,5 4 3 50 െͲǡͷ
En reprenant les trois exemples du I) 1), nous pouvons déduire des trois représentations graphiques :La fonction ݂ La fonction ݂
[0 ; 3]. Son tableau de variation est : [-1 ; 1]. Son tableau de variation est :ݔ 0 3
9S ; 3], -1 ; 1],
Les ordonnées montent de 3 à 9 les ordonnées descendent de 8 à 0 3 : La fonction ݂ est constante ; 3]. Son tableau de variation est :ݔ -4 4
ݔ -1 1
8La fonction ݂ -4 ; 4],
3 0 2 2En observant la courbe représentative ci-
contre, nous pouvons dire : - La fonction est définie sur [-1 ;4] - La fonction " monte » sur [-1 ;0] elle est donc croissante sur cet intervalle. - La fonction " descend » sur [0 ;2,5] elle est donc décroissante sur cet intervalle ; - La fonction " monte » sur [2,5 ;4] elle est donc croissante sur cet intervalle. suivant :1) Définitions
łLe maximum ࢌ sur un intervalle I est la plus grande valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle. łLe minimum ࢌ sur un intervalle I est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle. łextremum ࢌ sur un intervalle I est un maximum ou un minimum de cette fonction ࢌ intervalle. I.2) Exemples :
Reprenons les deux exemples précédents :
La plus grande valeur prise par ݂ sur
െ1 ; 4] est 5 et la plus petite estLe maximum de ݂ െ1 ; 4] est 5,
son minimum sur cet intervalle est െ0,5.La plus grande valeur prise par ݂ sur
[0 ; 3] est 9 et la plus petite est 0.Le maximum de ݂ ;3] est 9, son minimum sur
cet intervalle est 0.IV) Récapitulatif :
݂ -2 ; 3]:
1) Décrire les variations de la fonction ݂
2) Dresser son tableau de variation.
3) Quels sont les extremums de cette fonction ?
1)łLa fonction ݂ -2 ;-1]
ł݂ -1 ; 2]
łfonction ݂ ; 3]
2) Le tableau de variation est donc :
ݔ െ2 െ1 2 3
0 െ8
3) La plus grande valeur prise par ݂ sur
[-2 ; 3] est 5,5.Donc ࢌ admet en -1 un maximum qui est
5,5La plus petite valeur prise par ݂
[-2 ; 3] est -8.Donc ࢌ admet en 2 un minimum qui est -8
V) Les fonctions de référence
1) La fonction affine ࢞ࢇ࢞࢈
Expression
algébriqueCas où a<0 Cas où a>0
Définition :ࢇet ࢈
sont des réels alors la fonction une fonction affine définie sur Թ.Remarque : ࢇ est
le coefficient directeur et ࢈ l lPropriétés :
La représentation
graphique dune fonction affine est une droite.Si ࢈ൌ la fonction
est appelée fonction linéaireReprésentation graphique :
graphique est une droite décroissante.Représentation graphique :
Si ࢇ, la représentation
graphique est une droite croissante.Tableau de variation : ࢇ
Tableau de signe : ࢇ ǣ
Démonstration : Pour tous réels ݑ et ݒ tel que ݑݒ , ݒȂݑͲ
On a : ݒെݑͲ par hypothèse
łLorsqueࢇ
Le produit de deux nombres positifs étant positif : ܽłLorsque ࢇ
Le produit de deux nombres de signes différents étant négatif : ܽ2) La fonction carré ࢞࢞;
Expression
algébrique Représentation graphique Tableau de variation et tableau de signeDéfinition :La
fonction carré définie sur Թa pour expressionRemarque : Sa
courbe représentative s parabolePropriétés :
La représentation
graphique passe par lorigineLa fonction carré
est positive sur ԹReprésentation graphique :
Tableau de variation :
ݔ െλ 0 +λ
0La fonction carré est
croissante sur [0 ;+λ[Tableau de signe :ǣ
La fonction carré est positive
sur ԹDémonstration (non obligatoire)
Pour tous réels ݑ et ݒ tel que ݑݒon a ࢜Ȃ࢛łPour ࢛ et ࢜ dans [0 ; +λ [:
On a : ݒെݑͲ par hypothèse. La somme de deux nombres positifs est positive : ݒݑͲ
łPour ࢛ et ࢜ dans ]- ; 0 ]:
On a : ݒെݑͲ par hypothèse. La somme de deux nombres négatifs est négative : ݒݑͲ
Conséquences
Si ࢇ et ࢈ sont deux réels positifs tel que ࢇ࢈ alors ࢇ;࢈;
Si ࢇ et ࢈ sont deux réels négatifs tel que ࢇ࢈ alors ࢇ;࢈;