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Une suite (un) converge vers une limite réelle finie l si un peut être aussi Si (un ) et (vn) sont deux suites convergentes et si à partir d'un certain rang, on a 

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Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites 4 1 Quelques définitions Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou 

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est à termes strictement positifs, mais converge vers zéro Démonstration de la proposition 7 1 En posant wn = vn − un, on se ramène à montrer que si une suite 

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Exercice 1 Soit (un)n∈N une suite de R Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un)n converge vers un réel l alors (u2n)n et (u2n+1)n convergent  

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une suite (un) dont on sait calculer les termes et qui converge vers π Alors, par Soient (un) et (vn) deux suites convergentes de limites respectives l et l Alors

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2) Définition de la convergence d'une suite 3) Propriétés On dit que la suite ( un) de nombres réels converge vers la limite l ∈ IR quand n tend vers l'infini, 

[PDF] 1 Suites convergentes

La suite (un)n de nombres réels converge vers l ∈ R si et seulement si ∀ε > 0, { n ∈ N, un − l > ε} est fini Preuve En effet, si ε > 0 et si l'ensemble {n ∈ N, un 

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Une suite qui ne converge pas vers une limite finie est appelée suite divergente Exemple Soit (un) la suite définie par un= 1 n pour n > 0

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Proposition 1 9 Si une suite (un) converge vers l alors toute suite extraite de (un) est convergente et converge vers l Nous pouvons maintenant définir les valeurs  

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CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43

2MSPM - JtJ 2023 Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

4.1 Quelques définitions

Définitions :

• Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : u n+1 u n ou: • Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal

à son précédent : u

n+1 u n ou: • Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante. • De manière analogue, on définit une suite strictement croissante, strictement décroissante ou strictement monotone lorsque l'inégalité qui lie ses termes est stricte. • Une suite est constante si tous ses termes sont égaux.

Exemples :

a) La suite 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... est une suite croissante. b) La suite 1, 1 2 1 3 1 4 , ... est une suite strictement décroissante. c) Observer la croissance de la suite u n = n4 , n IN Cette suite n'est ni croissante ni décroissante. On dira cependant que cette suite est strictement croissante à partir de son terme de rang 4. d) La croissance ou la décroissance d'une suite (u n ) peut être déterminée par l'étude du signe de u n+1 - u n

La suite (u

n ) donnée par u n = n 2 - n + 3 est strictement croissante, car pour tout n IN u n+1 u n

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 44

2MSPM - JtJ 2023 e) La suite (u n ) donnée par u 1 =1 u n+1 =u n 3 2 pour n1 est décroissante, car u n+1 u n

Exemples :

Exercice 4.1 :

Les suites (u

n ) suivantes sont-elles croissantes ? décroissantes ? a) u n =1 1 n , nIN b) u n =1+ (1) n n , nIN c) u n 3 n 2 n+1 , nIN d) u n =cos n 2 , nIN e) u 0 =3 u n+1 =u n 2 3 , n0

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 45

2MSPM - JtJ 2023

Définitions :

• Une suite (u n ) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que chaque terme de la suite est inférieur ou égal à ce nombre. Dans ce cas, le nombre M est appelé un majorant de la suite. • La borne supérieure de la suite est le plus petit majorant de cette suite. • Une suite (u n ) est minorée s'il existe un nombre réel m tel que chaque terme de la suite est supérieur ou égal à ce nombre. Dans ce cas, le nombre m est appelé un minorant de la suite. • La borne inférieure de la suite est le plus grand minorant de cette suite. • Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :

La suite: 1 ; 1,1 ; 1,11 ; 1,111 ; 1,1111 ; ... est une suite strictement croissante qui n'atteindra jamais la valeur 2. Elle est dite majorée par 2. Trouver d'autres majorants de cette suite et quel pourrait être le plus petit de tous les majorants ?

Théorème :

Toute suite majorée possède un plus petit majorant. De même, toute suite minorée admet un plus grand minorant.

Preuve :

Nous admettons ce théorème sans démonstration. Vous le démontrerez qu'une fois votre maturité en poche.

Exercice 4.2 :

Reprendre les suites de l'exercice précédent ; sont-elles majorées ? minorées ? Indiquer les éventuelles bornes.

Indication : esquisser rapidement ces suites.

Exercice 4.3 :

Soit u

n la suite définie pour tout entier n > 0 par : u 1 = 0,1 ; u 2 = 0,11 etc... u n = 0,1...1 (n chiffres 1) a) Montrer que cette suite est strictement croissante. b) Cette suite semble-t-elle converger vers une valeur ? c) Montrer que u n peut s'écrire comme une somme de termes qui forment eux-mêmes une suite géométrique. d) Trouver le terme général de la suite u n e) Déterminer la borne supérieure de cette suite. f) Qu'en est-il de la suite 1 ; 1,1 ; 1,11 ; ...

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 46

2MSPM - JtJ 2023

Exercice 4.4 : On considère la suite u

n nIN* définie par u n 2n7 3n+2 a) Montrer que (u n ) est strictement croissante. b) Démontrer que cette suite admet -1 pour minorant. c) Quelle est la borne inférieure de la suite ?

Exercice 4.5 :

Démontrer que 1/2 est un minorant de la suite

n 2 n 2 +1 nIN*

Exercice 4.6 :

On considère la suite u

n nIN* définie par : u 1 =2 u n+1 =2u n , n1 a) Écrire les quatre premiers termes de cette suite, puis les exprimer en puissance de 2. b) Déterminer puis démontrer par récurrence le terme général de la suite u n nIN* c) Exprimer u n+1 u n en fonction de n. d) En déduire que cette suite est croissante et majorée.

Exercice 4.7 :

On considère la suite s

n nIN de terme général : s n n n 2 +1 +n n 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46