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Terminale S 2 F Laroche Suites numériques exercices corrigés http://laroche lycee free a Faux : Si la suite n v est arithmétique, 1 n n v v + − est constante

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Suites et séries numériques (exercices corrigés) Exercice 1(Irrationalité dee).On définit la suite de terme général u n= 1 +11! +12! ++1n!: En introduisant la suite de terme généralvn=un+1=n!, montrer que les suites (un)et(vn)sont adjacentes, en déduire que la suite(un)converge vers une

limite irrationnellePas de difficulté particulière pour l"adjacence (montrer que la suite(vn)décroît

se fait en calculantvn+1vn); si la limite est rationnelle, elle s"écritp=q, et par stricte monotonie on a u qce qui n"est pas possible.Exercice 2(Moyenne arithmético-géométrique).Soitaetbdeux réels stricte-

ment positifs; on définit deux suites(un)et(vn)par récurrence :u0=a,v0=b et, pour tout entier natureln, u n+1=un+vn2 etvn+1=pu nvn: Démontrer que ces deux suites convergent vers une limite commune (appelée moyenne arithmético-géométrique deaetb, et qu"on peut montrer être égale à2Ioù I=Z +1

0dtp(t2+a2)(t2+b2)

Ce résultat est à la base de l"algorithme de Gauss-Salamin de calcul de valeurs décimales approchées de.). 1 On voit que pour étudier la monotonie de(un)et celle de(vn), il faut étudier le signe deunvn. Maisun+1vn+1=12 (pu npv n)2. On en déduit facilement que les deux suites sont monotones bornées, donc convergent. Le " passage à la limite » dans u n+1=un+vn2

donne l"égalité des limites des deux suites.Exercice 3(Procédés de sommation : Césaro, Euler).On considère une suite

(un)n0de nombres réels ou complexes. On définit la suite(vn)n0par v n=1n+ 1(u0+u1+u2++un)

1. On suppose que la suite(un)converge vers0. Montrer que la suite(vn)

converge vers0.

2. On suppose que la suite(un)converge. Montrer que la suite(vn)converge.

C"est le théorème de Césaro.

3. Donner un exemple montrant que la réciproque de la propriété précédente

est fausse.

4. On suppose que la suite(un)est réelle et tend vers+1. Montrer que la

suite(vn)tend elle aussi vers+1.

5. La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie?

6. On définit maintenant, pourn1,

w n=12 n(n 0 u 0+n 1 u 1++n n u n)

Reprendre les questions précédentes en remplaçant(vn)par(wn)1. Soit >0, on fixe un rangN0tel que

8nN0junj =2

on a alors, pour toutnN0, jvnj 1n+ 1(u0+:::+uN01) +nN0+ 1n+ 12 Le majorant tend vers=2quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(jvnj ) 2

2. Remarquer que

v n`=1n+ 1((u0`) + (u1`) ++ (un`)) permet de se ramener au cas`= 0déjà traité.

3. Non, l"exemple classique étantun= (1)n.

4. SoitAun réel quelconque, on fixe un rangN0tel que

8nN0unA+ 1

on a alors, pour toutnN0, v n1n+ 1(u0+:::+uN01) +nN0+ 1n+ 1(A+ 1) Le minorant tend versA+ 1quandn!+1, il existe donc un rangN1 tel que (nN1) =)(vnA)

5. Et la réciproque est encore fausse...Prenons par exempleun=nsinest

pair,un= 0sinest impair. La suite(un)n"a pas pour limite+1, en revanche la suite(vn)a bien pour limite+1(on peut calculerv2net v

2n+1sans grande difficulté).

6. On reprend les calculs précédents, sans grands changements. Il est utile

de se souvenir que nX k=0 n k = 2 n et on aura également besoin de noter que, siN01, 12 nN 01X k=0 n k u k!n!+10 qui est simplement conséquence du fait que, pour chaquek, n k2 n!n!+10 (on a assez facilement n k n!+1n kk!, et on peut utiliser des croissances

comparées de suites de référence).Exercice 4(Oral Centrale).(à n"aborder que si on est assez à l"aise avec

l"exercice sur Césaro)

Soit(an)n02RNet

2]1;1[. Montrer

a n!n!+10()an+1 an!n!+10 3 Seule l"implication de droite à gauche est intéressante. Notons u n=an+1 an et essayons d"exprimeranà l"aide desup(l"hypothèse est que la suite(un) converge vers 0) :a1=u0+ a0,a2=u1+ a1=u1+ u0+

2a0, puis, par

récurrence : a n=un1+ un2+

2un3++

n1u0+ na0 Pour la suite de d"exercice, on constate que quandnest grandunet nsont petits. Mais c"est quand même un peu délicat à écrire. Soit >0; soitp0tel que

8kp0jukj

et, d"autre part, soitMtel que8k2Njunj M(la suite(un)converge, donc est bornée).

Supposonsn > p0; on peut alors majorer

janj (1 +j j+:::+j jnp01) +M(j jnp0++j jn1) +ja0jj jn et donc, en utilisant des sommes géométriques : janj 1 j j+Mj jnp01 j j+ja0jj jn

Comme0 j

j<1, la suite(j jn)converge vers 0, il existe donc un rangn0à partir duquel janj 1 j j+1 j j et au début, on aurait pu prendre(1 j

j)=2à la place de, on conclut.Exercice 5.Classer par ordre de prépondérance (avec la relation) les suites

de termes généraux : (lnn)3,ln(n3),3nn

3,2n,en=2,(ln(lnn))n,nln(lnn),nlnn.Evidemment, on n"a pris que des suites qui divergent vers+1, ce qui ne facilite

pas les choses. Les deux premières sont des puissances de logarithmes à constante près, les trois suivantes géométriques (même si l"une est quelque peu " tamisée » par une puissance den, cela n"est que marginal, pas croissances comparées. La

6ème et la 7ème sont a priori plus énigmatiques, il vaut mieux les écrire sous

4 forme exponentielle-logarithme si on veut y voir clair. On s"aperçoit alors que la

6ème est " rapide » (inutile d"ailleurs de passer aux logarithmes/exponentielles

pour voir qu"elle croît plus vite qu"une suite géométrique), la 7ème plus lente. Tout en étant plus rapide qu"une puissance fixe den. Bon, eh bien, avec tout ça, on a fait le plus gros, il ne reste plus que quelques éléments de réflexion pour aboutir à ln(n3)(lnn)3nlnnnln(lnn)en=22n3nn

3(ln(lnn))nExercice 6.Classer par ordre de prépondérance (avec la relation) les suites

de termes généraux : 1n

4,lnnn

5,2n1 + 3

n,2ln(lnn),ln(lnn)lnn+n,lnn2 n+n2, tan(1=n)1 + cos

3(1=n),(cos(1=n))sin(1=n)1lnn2

n+n22n1 + 3 nlnnn 51n

4(cos(1=n))sin(1=n)1tan(1=n)1 + cos

3(1=n)ln(lnn)lnn+n2ln(lnn)Exercice 7.Trouver une suite réelle(un)telle que

2un2nen écrivant tout sous forme exponentielle, on peut avoir l"idée de

u n= expnln(n)

et on vérifie que ça marche.Exercice 8.On noteCle cercle trigonométrique,Sn(resp.Tn) la longueur du

polygone régulier à2ncôtés inscrit dansC(resp. circonscrit àC). On montre alors : S n= 2n+1sin2 n; Tn= 2n+1tan2 n Donner un équivalent deTnSn.Cet énoncé est basé sur la méthode d"Archi-

mède de calcul de valeurs approchées de.On développetanuetsinuà l"ordre 3 au voisinage de0. On a le droit de

remplacerupar=2n, qui converge vers0. 5 Exercice 9.Oral MinesDonner un développement asymptotique à deux termes de la suite de terme général1n tan(=4+1=n)tan(=4 + 1=n) =1 + tan(1=n)1tan(1=n)

1 + 1=n+o(1=n)11=n+o(1=n)

= 1 + 2=n+o(1=n) et donc 1n tan(=4+1=n)= exp ln(n)

1 + 2=n+o(1=n)

1n exp

2ln(n)=n+o(ln(n)=n)

12ln(n)=n+o(ln(n)=n)

1n 2lnnn

2+olnnn

2 d"où le développement cherché. Exercice 10.Etudier la convergence des suites dont les termes généraux sont donnés ci-dessous : n lnn(lnn)n; tan4 1n n (2R2R+) n 2 arccos1n ( >0) ;nsin(n+ 1)1 ( >1) Exercice 11.Donner un équivalent simple, lorsquen!+1, de cos n2ln(1 + 1=n) .On développe : n 2ln 1 +1n =n12 +13n+o1n et on tient compte decos(n+a) = (1)ncosaet decos(b=2) = sin(b)ce

qui permet de trouver l"équivalent :(1)n=(3n).Exercice 12.Soitxun nombre réel; on note`la limite de la suite(un)de

terme généralun=1 +x=nn. Déterminer un équivalent deun`.On a u n= exp(nln(1 +x=n)) = exp xx22n+on!+1 1n =exexp x22n+on!+1 1n

On retrouve`=ex, et

u n` x22nexExercice 13.Soient(un)et(vn)deux suites à termes réels strictement po- sitifs. On suppose queunvn. Montrer que, si(un)a pour limite+1, alors

ln(un)ln(vn).Rappelons que la simple hypothèseunvnn"implique pasln(un)ln(vn).Il suffit d"écrire

ln(un) = ln(vn) + lnunv n = ln(vn)(1 +n) où la suite de terme général n=lnunv nln(vn) a beaucoup de raisons de converger vers0.7 Exercice 14.Déterminer un développement asymptotique à la précision1=n3 de la suite donnée par son premier terme réelx0et la relation de récurrence

8n2Nxn+1=exp(xn)n+ 1:

Indication : commencer par chercher un équivalent dexn, puis utiliser cet équi-

valent pour trouver un développement plus précis, etc...On commence par remarquer que la suite est à termes réels strictement positifs

(au moins à partir du rang 1), on en déduit

8n2 0xn1n

Donc la suite converge vers0. Doncexp(xn1)tend vers1quandn!+1, donc x n1n Donc x n=1n exp1n1+o1n1 1n exp1n +o1n 1n 1 +1n +o1n

et on continue, mais c"est de plus en plus long...Exercice 15.Oral MinesMontrer qu"il existe un unique réel, notéf(k), solution

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