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MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier
2013-2014Grenoble
TD n o1 : suites num´eriques Rappel important :il existe un cours de L1 en ligne, intitul´e "M@ths en L1gne",`a l"adresse :http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/Plusieurs des exercicesci-dessous en sont d"ailleurs tir´es. Il est crucial, pour toute la partie du cours sur les s´eries
num´eriques, d"ˆetre `a l"aise avec les suites num´eriques, les notions de limite et de continuit´e
et les d´eveloppements limit´es. V´erifiez donc cette aisance `a l"aide des QCM, exercices, cours
et compl´ements du site.Exercice 1 : Quelques exemples
Donner des exemples des situations suivantes :
1. Une suite d´ecroissante positive ne tendant pas vers 0.
2. Une suite born´ee non convergente.
3. Une suite positive non born´ee ne tendant pas vers +.
4. Une suite non monotone qui tend vers 0.
5. Deux suites divergentes ()et ()telles que ()soit convergente.
Exercice 2 : Des suites d´efinies par r´ecurrence Soitune fonction continue de [01] dans [01] telle que(0) = 0,(1) = 1 et ]01[ ()1. On d´efinit par r´ecurrence une suite ()≥0:
?0[01]0 +1=()
Montrer que la suite ()≥0converge et donner sa limite.2. On d´efinit par r´ecurrence une suite ()≥0:
?0= 12 0 +1= 2 Montrer que la suite ()≥0converge et donner sa limite.Exercice 3 : Applications contractantesSoitun intervalle ferm´e deR,une application dedans lui-mˆeme etun nombre r´eel
de [01[. On suppose quev´erifie : Montrer que la suite ()d´efinie par0et+1=() converge, et que sa limite est l"unique point fixe de. On pourra commencer par montrer que ()est une suite deCauchy.
Exercice 4 : Limite d"un produit
Rappeler la d´emonstration du r´esultat suivant. Soient()et()des suites de nombres complexes. Si()et()convergent, alors ()converge etlim= (lim)(lim). Exercice 5 : Calcul de limites `a l"aide des fonctions usuelles Calculer la limite, si elle existe, des suites suivantes.1.=+ 1
3 + 2 2.=10 1013.=1 + 1 4.=4? log? 11 2? +12? 5.=!
6.= tan(1)cos(2+ 1)
7.=(+ 1)2
(+ 1)33 8.=3 +log(2)
log9.=log(2+ 32)
log(13)10.=(2
n1)Exercice 6 : D´eveloppements limit´es
Donner un d´eveloppement limit´e pour ()(lorsquetend vers l"infini) avec un reste en (12), dans chacun des cas suivants :1.=+ 1
3 + 22.=log?11
+12??113.=11
⎷+ 2 4.=? 1 +1 +2Exercice 7 : Borne sup´erieure, borne inf´erieurePour chacun des ensembles suivants, d´eterminer s"il est major´e, s"il est minor´e, s"il a
un maximum, s"il a un minimum, et le cas ´ech´eant d´eterminer ses bornes sup´erieures et inf´erieures.1.=(1)N
2.=(1)N?
3.=(1)N?4.=?+1
+2N? 5.=?1 1N??Exercice 8 : Suites extraites
Soit ()une suite complexe.
1. Montrer que si les suites extraites (2)et (2+1)convergent vers la mˆeme limite,
alors ()converge.2. Montrer que si les suites extraites (2), (2+1)et (3)convergent, alors ()
converge aussi.Exercice 9 : Une somme t´el´escopique
1. D´eterminer trois r´eelstels que pour toutRdiff´erent de 0, 1 et1 on
ait :1 (21)=1+++ 12. En utilisant cette relation pour= 23, d´eterminer pour chaque entier2
une expression simple de =21 (21)=12(221)+13(321)++1(21)3. En d´eduire que la suite ()converge et d´eterminer sa limite.
Exercice 10 : Suites adjacentes
1. Pour chacun des couples suivants, montrer que les suites ()et ()sont adja-
centes. (a)=? =112et=+1.
(b)=? =113et=+12. (c)0= 0,0= ,+1=+2et+1=.
2. On d´efinit `a pr´esent les suites ()et ()par=?
=11 !et=+1!. (a) Montrer que ces suites sont adjacentes. Leur limite commune est not´ee(c"est exp(1) =1). (b) Montrer quen"est pas rationnel (on pourra raisonner par l"absurde : en sup- posant que=, on peut noter que, pour toutN, on a! ! !; choisirtel que!soit entier permet alors de conclure).Exercice 11 : Moyennes de C´esaro
Soit ()≥1une suite de nombres complexes. On note : 1 =1 (1++)1. Montrer que si ()converge dansC, alors ()converge vers la mˆeme limite.
2. Exhiber une suite ()divergente telle que ()converge.
3. Soit ()une suite de nombre r´eels strictement positifs telle que+1
converge.Montrer que (1)converge vers la mˆeme limite.
Exercice 12 : Limite sup´erieure et limite inf´erieure Soit ()≥0une suite born´ee de nombres r´eels. On d´efinit les suitesetpar :N = inft.q.et= supt.q.
1. Montrer que ()et ()convergent. La limite deest appel´eelimite inf´erieure
de la suite()et est not´ee liminf. Celle deest appel´eelimite sup´erieure de la suite()et est not´ee limsup.2. Montrer qu"il existe une sous-suite de ()convergeant vers liminfet une autre
convergeant vers limsup . Cela donne donc une autre d´emonstration du th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.3. Montrer que ()converge si et seulement si ()et ()convergent dansRvers
la mˆeme limite. MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier2013-2014Grenoble
TD n o2 : S´eries `a termes positifsExercice 13 : Nature de s´eries
D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral : 1.= 5+ 1;2.=2+2
32+ 1;
3.=1 n + 1; 4.=1 n1+ 1;5.=ln?
1 +1 (1); 6.=-4 + sin;
7.=1ln(1 +1
)+ 1;8.=ln 9.=? 1 +1 (1);10.=-;
11.=-⎷
12.=? 11 (2); 13.=! (1);14.=ln
(1) (discuter selon la va- leur du r´eel);15.= tan?1
1;16.=2?
1 nsin1cos1? ln(11)? 2?Exercice 14 : Transformation I
Soit ()une suite de nombres positifs telle que?converge.Montrer que la s´erie?
+ 1converge. Exercice 15 : S´erie `a terme g´en´eral d´efini par une r´ecurrenceSoit ()la suite d´efinie par0= 1 et+1=sin
+ 1. Montrer que pour toutNon a[01], puis montrer que la s´erie?converge. Exercice 16 : S´eries `a terme g´en´eral positif d´ecroissant Soit ()une suite positive d´ecroissante telle que?converge. Montrer que pour tout0 il existeNtel que pour tout on ait ()?. En d´eduire que
tend vers 0 quandtend vers +. Donner un exemple de suite positive ()telle que?converge etne tend pas vers 0.Exercice 17 : Transformation II
Soit ()une suite `a termes positifs, et notons=1
1 +2.1. Montrer par des exemples que la divergence de
?ne permet pas de d´eterminer la nature de?. On suppose dans la suite que?converge et on va montrer que?diverge.2. Traiter le cas o`u2ne tend pas vers +.
3. Traiter le cas o`u2+en appliquant l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a?
=0 1212.Exercice 18 : Transformation III - d´eriv´ee logarithmique Soit ()une suite r´eelle positive. Pour toutN?on note=-1? =0
Comparer la nature des s´eries
?et? (indication : on pourra consid´erer log+1log). MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier2013-2014Grenoble
TD n o3 : s´eries `a termes quelconquesExercice 19 : Natures de s´eries
D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :1.=(1)
ln;2.=(1)
1 +(1)?
3.=(1)
+ (1);4.=(1)
+en fonction deC;5.=(1)
?+ (1);6.= sin?(1)7.= 1?
1(1);8.=cos(3)
ln();9.=(1)cos()
ln(ln()).Exercice 20 : Lin´earisations
Rappeler la formule d"Euler sur les polynˆomes trigonom´etriques puis d´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :1.=sin3()
2.=sin()cos()
o`uNsont fix´es etetde parit´es diff´erentes ou bien si3.=sin()
Exercice 21 : Comparaison avec une int´egrale
En utilisant la comparaison avec une int´egrale, ´etudier en fonction deRla nature des s´eries suivantes : 1.?1(ln); 2.?1(ln)(ln(ln)).
Indication : on pourra dans le premier cas calculer la d´eriv´ee de(ln).Exercice 22 : Petits "o"
Soit () une suite `a termes r´eels.
1. Donner un exemple tel que?converge et?2diverge.
2. On suppose maintenant que?et?2convergent et queest une application de
RdansRdeux fois d´erivable en 0, telle que(0) = 0. Montrer que?() converge.Exercice 23 : Calcul de sommes
Montrer que les s´eries suivantes convergent et calculer leurs sommes : 1. =3?3-+2+ 2-+3?2.∞?
=1 2+ 2 !3.∞? =0cos()! Exercice 24 : Formule de Taylor avec reste int´egral On notela fonctionln(1 +) d´efinie sur ]1+[ et on fixe]11].1. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral=(1)-1
(o`u?1) converge.2. Montrer que sa somme v´erifie
=1(1)-1 = ln(1 +)3. En d´eduire la somme de
=1(1) et de∞? =212.Exercice 25 : Calcul de
?1-1Soitun nombre r´eel, avec1.
1. Montrer que?
et? -1convergent.2. Donner des expressions ferm´ees (c"est-`a-dire sans signe?) de
=0 et? =1 -13. En d´eduire la valeur de?
?1-1.4. Montrer que les s´eries suivantes convergent et calculerleurs sommes :
(a) =1? (2)3-+ (3)2-?(b)∞? =1(22)3-Exercice 26 : Attention `a la semi-convergence
Soit ?une s´erie convergente `a termes complexes. Montrer que la s´erie?n converge.Exercice 27 : Un pot-pourri
Soientetdeux r´eels. On consid´ere la s´erie?avec=n +n.1. On suppose 1. Pour quelles valeurs dela s´erie est-elle absolument convergente?
2. Mˆeme question pour1.
3. On suppose=1. Pour quelles valeurs dela s´erie est-elle convergente?
4. Repr´esenter dans le plan les points de coordonn´ees () tels que la s´erie est absolu-
ment convergente, convergente, divergente.Exercice 28 : R`egle de Raabe-Duhamel
Soit ()une suite de r´eels strictement positifs. On suppose qu"il existe 0 et 1 tels que : +1 = 1+?1?1. Pour toutN, on pose=. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral lnn+1
nconverge.2. En d´eduire la nature de la s´erie de terme g´en´eral.
Exercice 29 : Attention `a l"ordre de sommation.
On consid`ere la s´erie semi-convergente
(1) . Montrer que pour toute limite [+], on peut trouver une bijection:NNtelle que la s´erie? ()converge vers. MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier2013-2014Grenoble
TD n o4 : Int´egrabilit´e des fonctions `a valeurs positivesExercice 30 : Rappels de primitives
Pour chacune des int´egrales suivantes,
- d´eterminer les intervallestels que l"int´egrale soit bien d´efinie lorsqueetsont dans - calculer alors la valeur de l"int´egrale, - d´eterminer siest compact ou non, - si sup(resp. inf) n"appartient pas `ad´eterminer la limite de l"int´egrale, si elle existe lorsquetend vers sup(resp. lorsquetend vers inf). 1. avecN 2.? (), avecpolynˆome de degr´e 3.? avecC 4.? 5. 1 6. 13 7. 1 1+2Exercice 31 : Une fraction rationnelle
1. D´eterminer trois r´eelstels que pour tout 0 :
1 (+ 1)(+ 2)=++ 1++ 22. Calculer pour 0 :
1 (+ 1)(+ 2)3. Quelle est la limite lorsque+de()? Que peut-on donc dire de l"int´egrale
impropre?+∞ 1 (+1)(+2)?Exercice 32 : Changement de variable
Soit[0+[. Calculer() =?
0 chpuis d´eterminer la limite de() lorsque Exercice 33 : Int´egration par partiesD´eterminer une primitivede la fonction : [0+[[0+[ 2-En d´eduire que l"int´egrale impropre
0()converge, et d´eterminer sa valeur.
Exercice 34 : Nature d"int´egrales impropres
D´eterminer la nature de chacune des int´egrales impropressuivantes. 1. 1ln 2. 1 0ln 3. 0ln 4. 1sin 2+ 1; 5. 01 +2sin;
6. 1ln 7. 0 (+ 22+ 4+ 1);8.
1 (33+ 12+ 1);
9. 1 2-; 10. 2 (ln)3; 11.12 + sin+ sin2
34+2;12. -2; 13. 1 0ln 1; Exercice 35 : Limite et convergence de l"int´egrale