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Feuilled'exercices:

Suitesnum´eriques.

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Exercice

1.Onconsiderelasuite(u

n )deniepar: 8n2N u n n p n!:

1)Montrerque:ln(u

n )=1 n n Xk=2 ln(k).

2)Soitk2.Demontrerl'encadrement:

Z k k1 lnxdxlnkZ k+1 k lnxdx:

3)Endeduireunencadrementdelnu

n ,puisque:limu n =+1.

4)Pourtoutn2N

,onposev n =lnu n+1 u n

Etudierlesignede

v n .Endeduirelesensdevariationdelasuite(u n

Exercice

2.Soit(u

n );(v n )2[0;1] N telque(u n v n )convergevers1, montrerque(u n )et(v n )convergenttouteslesdeuxvers1.

Exercice

3.Soit(a;b)2R

xes.Trouverlessuitesreellesveriant: 1)u 0 =a;u 1 =b;u n+2 =1 2(u n+1 +u n 2)u 0 =a;u 1 =b;u n+2 =p u n+1 u n

Exercice

4.Soitx2R

xe.Determinerleslimitesdessuitessui- vantes: u n =E(nx) n;v n n Xk=1 E(kx) n 2 ;w n n Yk=1 1+k n 2

Onpourrautiliserlesresultatssuivants:

n Xk=0 k=n(n+1) 2; n Xk=1 k 2 =n(n+1)(2n+1) 6. xx 2

2ln(1+x)x;8x>1.

Exercice

5.Pourtoutn2N

,onposeS n n Xk=1 1 p ketu n =S n p n.

1)Parrecurrence,montrerque8n2N

:S n p n1+p n.

2)Parrecurrence,montrerque8n2N

:S n 2p n+12.

3)Lasuite(S

n )est-elleconvergente?

4)Montrerquelasuite(u

n )convergeetdeterminersalimite.

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Exercice

6.Soit(u

n )2R N .Montrerque: 1)(u 2n );(u 2n+1 )convergentverslam^emelimite=)(u n )converge 2)(u 2n );(u 2n+1 );(u 3n )convergent=)(u n )converge.

Exercice

7.Soit(u

n )unesuitemonotonequiadmetunesous-suite (u '(n) )convergente,montrerque(u n )estaussiconvergente.

Soit(x

n )2R N convergenteetLsalimiteonsupposequeL=2Z

1)MontrerqueE(L) n 2)Endeduireque(E(x

n ))eststationnairepuis.convergeversE(L)

Exercice

8.Soitm2N

xe,onposeu n (m)= nm X k=n+1 1k

1)Montrerqueu

n (m)estmonotonepuisqu'elleconverge, soitL(m)salimite.

2)MonterqueL(pq)=L(p)+L(q)8(p;q)2N

2

Exercice

9.Onposeu

n =cos(n);v n =sin(n)

1)Exprimeru

n+1 ;v n+1 enfonctiondeu n ;v n

2)Montrerquesi(u

n )convergealors(u n )et(v n )convergentvers0

3)Conclureque(u

n )et(v n )nepeuventpasconverger

Exercice

10.Calculapprochedeal'aidedelamethodede

Viete.

1)Soit0< 2 n

6=08n2N.

Montrerquelessuites2

n sin 2 n et2 n tan 2 n sontadja- centes.

Calculerleurslimitescommunes.

2)Soit(u

n );(v n )2R N deniespar: u 0 =p 2;v 0 =4 u n+1 =p 2+u n ;v n+1 =2v n

Montrerque:limv

n p 2u n 2 2

1cos=2sin

2 2

Exercice

11.Suitesadjacentes.

1)Soit(a;b)2R

telquea2)Soit(a;b)2R

telqueaMPSI-Maths

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Exercice

12.Nombredenombresnecomportantpas13.

SoitT n

1)MontrerqueT

n+2 =10T n+1 T n

2)CalculerT

n enfonctionden.

3)Onnotex

n =(p 3+1) 2n+1 ,y n =(p 31)
2n+1 ,etz n =[x n

Montrerquez

n =x n y n

4)Endeduireque2

n+1 divisez n

Exercice

13.Moyennearithmico-geometrique.

Soit(a;b)2(R

2 telquea>b,onpose: (a 0quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46