1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers
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1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers
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Exposé 63 : Limite à l'infini d'une fonction à valeurs réelles notion de limite finie ou infinie en un point Definition : f admetλ pour limite en+∞ (resp −∞ ) si
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E tudier la limite, lorsque x tend vers l'infini, de x( / x 2+ -x), où est un paramètre réel E x ercice £ alculer lim xª 0 x " 1 x et tracer le g raphe de la fonction
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Limite infinie d'une fonction à l'infini Limites de fonctions usuelles en un réel Dans les tableaux qui suivent, les limites des fonctions f et g sont prises soit en
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Remarque : Lorsque x tend vers +∞ , la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote La distance MN tend vers 0 2) Limite infinie à l'infini Intuitivement
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Si g a une limite quand x tend vers l'infini, alors f en a une aussi et on a lim ( ) lim ( ) x x f x g x →∞ →∞ = Une proposition analogue est valide pour x tendant
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Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur Si f(x) =
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limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini • limite infinie d'une fonction en un point • limite de somme, produit, quotient et composes de fonctions • asymptote
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Limites et asymptotesA Limites et infiniSoit f une fonction.1- Limite infinie en l'infiniLorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit
que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors limx∞ fx=∞.On définit de manière similaire : •
limx∞ fx=-∞ ( f (x) devient inférieur à - A), • limx-∞fx=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif)•
limx-∞ fx=-∞. Résultats à retenir•en +∞ : pour tout entier n supérieur à 0 limx∞ xn=∞; limx∞ x=∞. •en -∞ : si n est un entier positif pair, alors limx-∞ xn=∞; mais si n est un entier positif impair, alors limx-∞ xn=-∞.2- Limite finie en l'infiniLorsque f (x) peut être rendu aussi proche qu'on le désire d'un réel L pour x suffisamment
grand, on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors limx∞ fx=L.On définit de manière similaire
limx-∞ fx=L. Résultat à retenir Pour tout entier n supérieur à 0, limx∞ 1 xn=0 et limx-∞ 1 xn=0.Asymptote horizontaleLorsque
limx∞ fx=L ou limx-∞ fx=L, la courbe représentative de f admet la droite d'équation y = L comme asymptote horizontale; cela signifie que lorsque x tend vers +∞ ou vers -∞, la courbe se rapproche de plus en plus de la droite.3- Limite infinie en x0Lorsque f(x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment proche d'un
réel x0, on dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers x0. On écrit alors limxx0 fx=∞.On définit de façon similaire
limxx0 fx=-∞.Résultats à retenir•sur ]0; +∞[,
limx0 1 x=∞, on écrit alors limx0+ 1 x=∞.KB 1 sur 3
•sur ]-∞; 0[, limx0 1 x=-∞, on écrit alors limx0- 1 x=-∞.Asymptote verticale Lorsque
limxx0 fx=∞ ou limxx0 fx=-∞, la courbe représentative de f admet la droited'équation x = x0 comme asymptote verticale.4- Asymptotes obliquesSoit f une fonction de courbe C dans le plan muni d'un repère.Soit D la droite d'équation y = ax + b.
La droite D est une asymptote à la coube C en +∞ si limx∞ fx-axb=0. La droite D est une asymptote à la coube C en -∞ si limx-∞ fx-axb=0.Exemple :Soit f définie par
fx=x-3 1 x sur ℝ*.Lorsque x tend vers +∞,
1 x tend vers 0, f(x) est donc très voisin de x - 3.Montrons que la droite d'équation y = x - 3 est une asymptote à la courbe représentative de f.
fx-x-3=x-3 1 x-x-3=1 x. Comme limx∞ 1 x=0, on a limx∞ fx-x-3=0 et la droite d'équation y = x - 3 est bien une asymptote à la courbe représentative de f.B Limites et opérations1- Sommeslimite de fL1L +∞-∞+∞limite de gL2±∞+∞-∞-∞limite de f+gL1+L2±∞+∞-∞???
2- Produitslimite de fL1L≠0±∞0
limite de gL2±∞±∞±∞limite de fgL1L2±∞ (règle des signes)±∞ (règle de signes)???
3- Quotientslimite de fL1L±∞L≠0±∞0
limite de gL2≠0±∞L0±∞0 limite de f/gL1 / L20±∞ (règle des signes)±∞ (règle des signes)??????KB 2 sur 3
Remarque On a 4 formes indéterminées qui sont de la forme ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞
∞ et 0 0.4- Exemples d'applications1)Calculer
limx1+ -4 x-1 et limx1- -4 x-1.Le numérateur est constant égal à - 4. Quand x tend vers 1+, le dénominateur tend vers 0+ et donc
limx1+ -4 x-1=-∞. Quand x tend vers 1-, le dénominateur tend vers 0- et donc limx1- -4 x-1=∞.