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[PDF] Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

26 jui 2013 · 3 2 Application aux calculs de limites Définition 3 : On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x ↦→ sin x et x ↦→ cos 

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17 nov 2017 · La fonction cos est paire : ∀x ∈ R, cos(−x) = cos x Ccos admet l'axe des ordonnées pour axe de symé- trie Limites utiles - ROC Limites qui 

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Limites remarquable Fonctions trigonométrique lim x→0 sin(x) x = 1 lim x→0 1 − cos(x) x2 = 1 2 lim x→0 arcsin(x) x = 1 lim x→0 tan(x) x = 1 Fonctions 

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Le cosinus du nombre réel x est l'abscisse de M et on note cos x - Le sinus du 2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0 π 6 π 4 π 3 π 2

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La fonction f(x) = sin(1/x) admet-elle une limite en 0? 3 Calculez limx0 cos(πx) 1 2x f) lim x1/2 (2x2+x1) tan(πx) g) lim x0 cosx 1 x2 h) lim x0 ln(cos(3x))

[PDF] 1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) = b) La fonction cosinus

Limite en +∞ : lim x→+∞ ex = +∞ et lim x→+∞ −e−x = 0 donc, par somme de limites, lim x→+∞ b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x) = ex + e −x 2

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Quelle est la limite lorsque h tend vers 0 (à gauche et à droite) du quotient ( ) sin h h ? Lorsque Une autre limite utile : celle de (cos(h)-1)/h en 0 Quelle est la 

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Limites de fonctions - 1 / 1 - limites en – ∞ et en un réel a cos x x Calculer lim x → +∞ f ( x ) Pour toux x ∈ IR+ * , on a : - 1 ≤ cos x ≤ 1 , donc – 1 x ≤

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Limite de sinx / x 5 L'aire du triangle OAD est (cos sin )/2 ; celle du secteur OAC est /2 et enfin l'aire du triangle OBC est (1 tan )/2 Nous remarquons que

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Dérivabilité

sin :R-→[-1 ; 1] x?-→ sin(x) cos :R-→[-1 ; 1] x?-→ cos(x) sin et cos sont dérivables donc continues surR. sin? x= +cosx cos? x= -sinx

Dérivées de la composée

Soit uune fonction dérivable sur I sin ◦u :x u?-→u(x) sin?-→ sin [u(x) cos ◦u :x u?-→u(x) cos?-→ cos [u(x) sin ◦uet cos ◦usont dérivables sur I et

•?x?I,(

sin ◦u)?(x) = + u?(x) cos [u(x)]

•?x?I,(

cos ◦u)?(x) =- u?(x) sin [u(x)]

Exemple

:f(x)= sin ?2x+π 3? ?f?(x)= 2cos ?2x+π 3?

Valeurs remarquables

x 0 π6 π4 π3 π2 sinx 0 12 ⎷22 ⎷32 1 0 cosx 1 ⎷32 ⎷22 12 0 -1

Formules élémentaires

sin et cos sont bornées?-1? sin x?1 -1? cos x?1,?x?R

•?x?R, sin2x+cos2x=1

De sinus

àcosinus

sin ?π2-x? cos xet cos ?π2-x? sin x

Les fonctions

sinus et cosinus

Intervalle d"étude

sin et cos sont

2π-périodique

et respectivement impaire et paire , on peut restreindre leur intervalle d"étude à l"in- tervalle[0 ;π] On complète ensuite sur[-π; 0]par symétrie. x sin ?x sinx 0 π2 0- 00 11 00 x cos ?xcosx 0π 11 -1-1

π20

Périodicité et parité

1) sin et cos sont

2π-périodique

•?x?R,

sin (x+ 2π sin x

•?x?R,

cos (x+ 2π cos x 2)

La fonction

sin est impaire ?x?R, sin (-x) = -sin x C sinadmet l"origine O pour centre de symétrie

La fonction

cos est paire ?x?R, cos (-x) = cos x C cosadmet l"axe des ordonnées pour axe de symé- trie

Limites utiles - ROC

Limites qui reviennent aux

nombres dérivés en 0 limx→0sinx x=limx→0sinx-sin0 x-0=sin?(0) =cos(0) =1 limx→0cosx-1 x=limx→0cosx-cos0 x-0=cos?(0)=-sin(0)=0

Application

: limx→0sin(2x) x=limx→02×sin(2x) 2x=2

Courbes représentatives

Les courbes de sin et cos sont des sinusoïdes.

On déduit la sinusoïde de cos par une translation de vecteur?u=-π

2?ıde la sinusoïde de sin.-11

-π-2π

Période 2π

?u O sinx cosx

PAULMILAN

DERNIÈRE IMPRESSION LE17 novembre 2017 à 12:12TERMINALE S

Compléments

Les angles associés

Ox -xπ

2-xπ

2+x

π-x

π+x

cos(-x) =cos(x) sin(-x) =-sin(x) cos(π+x) =-cos(x) sin(π+x) =-sin(x)cos(π-x) =-cos(x) sin(π-x) =sin(x) cos?π 2-x? =sin(x) sin ?π2-x? =cos(x) cos?π 2+x? =-sin(x) sin ?π2+x? =cos(x)

Formules d"addition

Avec sinus on panache :sin

(a+b) = sin acos b+ cos asin b sin (a-b) = sin acos b- cos asin b

Avec cosinus on ne panache pas :cos

(a+b) = cos acos b- sin asin b cos (a-b) = cos acos b+ sin asin b

Formules de duplication

sin (2a) =2 sin acos a

•cos

(2a) = cos 2a- sin 2a =2 cos

2a-1=1-

2 sin 2a

La fonction tangente(La grande oubliée)

On pose

tan :x?-→ tan (x) = sin x cos x

Df={x?R,

cos x?=0}=R-?π

2+kπ,k?Z?

La fonction tan est dérivable surDf:tan?

x=?sin cos? (x) =cos2+sin2x cos2x=1 cos2x=

1+tan2x

La fonction tangente est

strictement croissante surDf

La fonction

tan est

π-périodique

car : ?x?Df, tan(x+π) =sin(x+π) cos(x+π)=-sinx -cosx=sinx cosx=tanx

La fonction

tan est impaire : tan(-x) =sin(-x) cos(x)=-sinx cosx=-tanx C tanest symétrique par rapport à l"origine O On peut donc restreindre l"étude à l"intervalle :

0 ;π

2?

Tableau de variation

x tan?x tanx 0π 2 00

π41

lim x→π

2-sinx=1

lim x→π2-cosx=0+?????Par quotient lim x→π

2-tanx= +∞

x=π

2est asymptote verticale àCtan

On obtient la courbeCtansuivante :

-1 -2 -3 -4 -51 234
Otanx

PAULMILAN

TERMINALE S

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