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Le cours sur les limites de fonctions est plus volumineux que le cours sur les limites de suites 2) Pour tout réel a et toute fonction rationnelle f définie en a, lim
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Les valeurs interdites d'une fonction rationnelle sont les racines de son dénominateur Les valeurs en lesquelles il est fréquent de rechercher la limite sont ses
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Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur Si f(x) =
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bien une fonction de ε et que cete fonction tend vers 0 avec ε R emarque C ontrairement Attention, toute fonction / n'a pas tou ours de limite (finie ou non) en a P ar exemple, la fonction x de la fraction rationnelle / E lle nous sera très utile
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Dans cette partie, on va définir la notion de limite d'une fonction en +∞, Lorsque tend vers +∞ ou −∞, une fonction rationnelle à la même limite
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Il faut connaître les limites des fonctions dites Dans chacun des cas suivants les fonctions f et g vérifient lim x->+∞ Fraction rationnelle (de polynômes) en ∞
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4 2: Limites à l'infini de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle (appelée aussi fraction rationnelle) Q est un quotient de deux polynômes : 1 0
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TS -Lycée Desfontaines
Comment calcule-t-on les limites d"une fonction rationnelle????Rappel :Sauf indication contraire, on ne calcule les limites d"une fonction qu"aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.
Toute fonction rationnelle étant définie sur?\ {valeur(s) interdite(s)}, on ne calcule donc, à priori, ses li-
mites qu"en l"infini et en chaque valeur interdite.1-Limite d"une fonction rationnelle en l"infini
Méthode de Première S :
Si on applique les règles opératoires sur les quotients de limites à une fct rationnelle, en l"infini, on obtient
en général une forme indéterminée. Pour lever cette indétermination, on factorise le numérateur et le déno-
minateur par leur terme prépondérant cad par leur terme de plus haut degré. Chacune des deux parenthèses
ayant pour limite1, on obtient quela limite en l"infini de la fonction rationnelle est alors celle du
quotient de ses termes de plus haut degré. Exemple :SoitRla fonction rationnelle définie sur?\ {1;2}parR(x) =-3x+ 32x2-6x+ 4.Limite en l"infini :
En l"infini, la limite d"un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donclimx→+∞-3x+3 = limx→+∞-3x=-∞
etlimx→+∞2x2-6x+ 4 = limx→+∞2x2= +∞. Donc la limite deRen+∞est une forme indéterminée.
Un même raisonnement nous donne une indétermination en-∞.Pour lever ces indéterminations, on factorise numérateur et dénominateur par leur terme prépondérant, cad par
leur monôme de plus haut degré : ?x?DR\ {0},R(x) =-3x(1-1 x)2x2(1-3x+2x2)=-3x2x2×1-1
x1-3x+2x2=-32x×1-1
x1-3x+2x2
Orlimx→∞1
x= limx→∞3x= limx→∞2x2= 0donclimx→∞(1-1x) = limx→∞(1-3x+2x2) = 1d"oùlimx→∞R(x) = limx→∞-32x= 0
Ainsilimx→-∞R(x) = limx→-∞-3
2x= 0etlimx→+∞R(x) = limx→+∞-32x= 0.
La droite d"équationy= 0est donc asymptote horizontale à la courbe représentative deRau voinage de-∞et
Méthode de Terminale S :Vous pouvez maitenant directement appliquer la règle suivante :A l"infini, la limite d"une fonction rationelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré
Exemple :Reprenons la fonction rationnelleRdéfinie parR(x) =-3x+ 32x2-6x+ 4. Il suffit d"écrire :
A l"infini, la limite d"une fonction rationelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré donc
lim x→-∞R(x) = limx→-∞-3x2x2= limx→-∞-32x= 0etlimx→+∞R(x) = limx→+∞-3x2x2= limx→+∞-32x= 0.
La droite d"équationy= 0est donc asymptote horizontale à la courbe représentative deRau voinage de-∞et
2-Limite d"une fonction rationnelle en un réela
Premier Cas :aest une valeur interdite deR=ND(ieD(a) = 0) maisN(a)?= 0.Méthode :
(i) On écritRsous la forme d"un produit :R=N×1D.(ii) On cherche la limite deNena:limx→aN(x) =N(a)(?= 0).
(iii) On cherche la limite de1Dena:limx→aD(x) =D(a) = 0donclimx→a1D(x)=∞.Pour savoir si c"est-∞ou+∞, il faut étudier le signe deD(x), à l"aide d"un tableau de signes si nécessaire .
En général, nous devons alors distinguer les casx < aetx > a. (iv) On conclut ensuite en appliquant les règles opératoires vues en cours .C.Gontard-C.David-H.Meillaud 1/2Méthodes
TS -Lycée Desfontaines
Exemple :Reprenons la fonction rationnelleRdéfinie sur?\ {1;2}parR(x) =-3x+ 32x2-6x+ 4.Limite en2
:?x??\ {1;2},R(x) = (-3x+ 3)×12x2-6x+ 4.? limx→2-3x+ 3 =-3×2 + 3 =-3(?) ;limx→22x2-6x+ 4 = 0donclimx→212x2-6x+ 4=∞.Etudions alors le signe deD(x) = 2x2-6x+ 4.
Dest un polynôme de degré 2, on peut calculer son discriminant:?= (-6)2-4×2×4 = 4>0.Dadmet donc deux racines qui sontx1=6-⎷
2×2= 1etx1=6 +⎷
2×2= 2(x1etx2sont bien sûr les valeurs
interdites deR) et est du signe du coefficient de son terme de degré 2, cad2, à l"extérieur de ses racines.
x-∞1 2 +∞D(x)+ 0-0 +
Ainsilimx→2x<21D(x)=-∞d"où avec (?), on en déduitlimx→2x<2R(x) = +∞.Etlimx→2x>21
D(x)= +∞d"où avec (?), on en déduitlimx→2x>2R(x) =-∞. La droite d"équationx= 2est donc asymptote verticale à la courbe représentative deR. Deuxième Cas :aest une valeur interdite deR=ND(ieD(a) = 0) etN(a) = 0.Méthode :
(i) On écritRsous la forme d"un produit :R=N×1D.(ii) On cherche la limite deNena:limx→aN(x) =N(a) = 0.
(iii) On cherche la limite de1Dena:limx→aD(x) =D(a) = 0donclimx→a1D(x)=∞.D"après les règles opératoires , nous sommes donc dans un casde forme indéterminée (0× ∞).
Pour lever l"indétermination, il faut factoriser le numérateurNet le dénominateurD( en produit de polynômes ) ,
puis simplifier alorsRet recalculer la limite ena. Exemple :Reprenons la fonction rationnelleRdéfinie sur?\ {1;2}parR(x) =-3x+ 32x2-6x+ 4.Limite en1
:?x??\ {1;2},R(x) = (-3x+ 3)×12x2-6x+ 4. lim x→1-3x+ 3 =-3×1 + 3 = 0;limx→12x2-6x+ 4 = 0donclimx→112x2-6x+ 4=∞.
Nous sommes donc dans un cas de forme indéterminée (0× ∞). Factorisons le numérateurN(x) =-3x+ 3 =-3(x-1).Factorisons le dénominateurD(x) = 2x2-6x+4: nous savons déjà queDadmet deux racines qui sont1et2donc