Poser la question de la racine nième d'un nombre réel x, c'est se demander : Existe-t-il un Déterminons la limite de la fonction racine nième en +∞ Lorsque x
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[PDF] Les fonctions racines nièmes - La taverne de lIrlandais
Poser la question de la racine nième d'un nombre réel x, c'est se demander : Existe-t-il un Déterminons la limite de la fonction racine nième en +∞ Lorsque x
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Vestiges d"une terminale S - Les fonctions racines nièmes - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)
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A propos de la racine nième
Poser la question de la racine nième d"un nombre réel x, c"est se demander : Existe-t-il un réel t dont la puissance nième est égale à x, c"est-à-dire tel que n x t= Cela revient à s"interroger sur l"existence d"une réciproque g à la fonction n f t t n f t t n Existe-t-il une réciproque g?;x a-t-il un seul antécédent t par f ? t g x x tToutes les fonctions puissances (entières)
n f t t où l"exposant n est un entier positif sont définies, continues et dérivables sur ?. Globalement, il en existe de deux types : s.Celles dont l"exposant n est pair
comme la fonction carréCelles dont l"exposant n est impair
comme la fonction cube Leur tableau de variation est : Leur tableau de variation est : t 0 n 1 n.t - - 0 + n x f t t 0 t 0 n 1 n.t - + 0 + n x f t tDans le cas présent, il est impossible
d"envisager une racine nième pour les réels x négatifs car aucune puissance paire nt n"est négative.Lorsque x est positif, il a exactement deux
antécédents 1t et2t par la fonction f.
L"un est négatif, l"autre est positif.
Mais lequel faut-il choisir pour notre
fonction réciproque g ?Car l"image de x par la fonction g est
unique. C"est le dilemme de la racine carrée.Nous optons pour l"antécédent positif.
Si n est pair alors la fonction g est définie pour tout réel x 0;? +∞ par : n g x le réel positif ou nul t tel que x tLa fonction f étant continue et strictement
croissante sur ? passant de , elle est une bijection de dans lui- même.Autrement dit, tout réel x a un unique
antécédent t par la fonction f. Pour tout réel x, il existe un seul réel t tel que n x t f t= =. Notre réciproque g peut être définie sur ?. Si n est impair alors la fonction g est définie pour tout réel x par : n g x le réel t tel que x t Cette fonction g est appelée fonction racine nième . Lorsque n est pair, g n"est définie que sur0;+∞
. Lorsque n est impair, g est définie sur ?.Définition de la racine nième d"un réel n est un entier naturel non nul. x est un réel positif ou nul si n est pair ou bien, un réel quelconque si n est impair. La racine nième de x est le réel y tel que
ny x . Ce réel y est noté nx. Par exemple, la racine quatrième de 16 est 2 car 42 16. Autrement écrit, 416 2
La racine cubique de
27-est 3- car
33 27- = -
. Autrement écrit, 327 3- = -
La racine nième d"un nombre positif est positive, celle de 0 est 0 et celle d"un nombre négatif est négative quand elle existe.La racine nième vue de la puissance réelle
La racine nième peut s"exprimer au moyen de la puissance réelle. Attention toutefois car cette dernière n"est définie que pour les réels strictement positifs.Dire que le réel positif
y est la racine nième du nombre positif x signifie que : () n n 1 1 1 .ln x .ln xln yn n n 1 y x ln y ln x n ln y ln x ln y .ln x n e e y e x= ? = ? × = ? =Théorème : la racine nième d"un réel positif vue de la puissance réelle Pour tout nombre strictement positif x, nous avons :
1 1 .ln x nn nx x e= =Autrement dit, la racine nième restreinte à
0;+∞
est la fonction puissance (réelle) 1n. ? Etude des variations de la fonction racine nièmeComme la fonction
ln x u x n = est dérivable sur0;+∞
, de dérivée 1 1 u x n x alors son exponentielle est aussi dérivable sur0;+∞
. Pour tout x 0;? +∞ 1 11 nn .ln x 1 u xu(x)n nn1 1 1 x 1 x 1x e u"(x).e .e xn x n x n x n
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Comme n est un entier strictement positif et comme l"exponentielle 111 .ln x
1nnx e( )
est une quantité strictement positive alors la dérivée ( )nx′ est toujours positive. Conclusion : la fonction racine nième est strictement croissante sur0;+∞
? Déterminons la limite de la fonction racine nième en +Lorsque x tend vers
ln x s"en va vers donc ln xn aussi. Par suite : n x xln xlim x lim expn ? Que se passe-t-il en 0 ? A l"instar de ln, la fonction racine nième est dérivable donc continue sur0;+∞
Or la fonction racine nième est aussi définie en 0. Nous avons : n0 0= Désormais, se pose la question : la racine nième est-elle continue à droite de 0 ?Pour le savoir, déterminons la limite de
nx lorsque x tend vers 0 par la droite ?Quand x se rapproche de 0 par la droite, ()
ln x plonge vers . Par conséquent : n n x 0 x 0ln xlim x lim exp 0 0 n+ + Donc la fonction racine nième est continue en 0 et par conséquent sur0;+∞
Une autre question surgit alors : la fonction racine nième est-elle dérivable à droite de 0 ?