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Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/21 M. Lichtenberg
Racine nième
Corrigés d'exercices
Page 159 : N°80, 82, 84, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 97Page 165 : N°130, 132
Page 162 : N°105
Page 167 : N°138
Page 164 : N°122
N°80 page 159
2212 21222121122163363 363633336
5 25525 5 5 55 55 555 5 5
1111010 11010 1010
2 1024 2 1024 2 2 2 2 2 2 2 2 4
111 1 114141
1 4 415
555 5 555555
581 3 81 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
N°82 page 159
1. a) Comme k est positif, k appartient à l'ensemble de définition de la fonction f.
Par ailleurs, on a immédiatement :
330fk k k.
On en déduit :
k est une racine de f sur 0;.b) D'après le résultat de la question précédente, on peut factoriser la fonction polynôme f
par xk : 33 2fx x k xk x x Or : 232
xkx x x kx kxk . Par identification, on obtient alors le système : 2 3 110
0kkkkkk
Racine nième
Corrigés d'exercices
Lycée Fénelon Sainte-Marie 2/21 M. LichtenbergOn a donc finalement :
33 2 2
0, xfx x k xk x kxk
2.On a d'abord :
22332233 3 33 3 33 3
aba abb ab a ab b En utilisant l'égalité obtenue à la question précédente avec 3 xa et 3 kb, on obtient immédiatement :22332233 3 33 3 33 3
3333
aba abb ab a ab b ab ab
Le résultat est ainsi établi.
332233 3
aba abb abN°84 page 159
a)On a :
213 1233223.
D'où :
2421 3 22 3 42 3 44 43 3 47 43 .
413 4743
b) D'après ce qui précède et en tenant compte du fait que 13 est strictement positif, on a : 44441 3 47 43 4 7 43 2 7 43
Finalement :
4274313
Racine nième
Corrigés d'exercices
Lycée Fénelon Sainte-Marie 3/21 M. LichtenbergN°86 page 159
a) 4 4411
2101722212172212 21
2 2 xxxxxxxx 17 2 S b) 555
1011113111111232321113222x
xx xxxxxx 3132
S c) Comme 2
10x pour tout x réel, on a :
32 2 3 2
12 12 817 7xx x x
7; 7SN°88 page 159
a)On résout l'équation dans
et on a alors : 11 1 55 521
55
22
1 1555
60 0 0
230660
3 3 243
3Xx Xx Xx
xx X X X XX XX XX Xx xx X 243SRacine nième
Corrigés d'exercices
Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/21 M. Lichtenberg b)On résout l'équation dans
et on a alors : 11 1 33 311 33
2
12 7 0 0 0
1430712012 7Xx Xx Xx
xx X X X XX XXXXLes deux solutions de l'équation
430XX étant strictement négatives, on en
déduit que le système n'admet pas de solution. On aurait pu conclure encore plus rapidement en notant que pour tout x strictement positif, on a 1 3 0x, 1 3 0x et donc 11 3312 0xx
SN°89 page 159
On remarque que l'on a :
21233
xx et 233
42
yy . On pose alors : 1 3 Xx et 3 4
Yy et il
vient : 11 1 33 333 3
1 344 4
3 4 2 3 3 2
22 2 2
2 1 3 3 4 280, 0 0, 0 0, 0
88 840
40 2 16 64 40
8400, 0 8
8120Xx Xx Xx
Yy Yy Yy
xyXY XY XYXY YX YX
xyXY X X
XX Xx Yy XY YX XX 1 3 3 4 0, 0 8 260XxYy XY YX XX Avec
2X, il vient : 6Y. Puis :
3328xX et
44 1 11333 3 3
66 6666yY
On obtient ainsi un premier couple solution :
3 ;8;66xy.Racine nième
Corrigés d'exercices
Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/21 M. LichtenbergAvec 6X, il vient : 2Y. Puis :
336 216xX et
44 1 11333 3 3
26 2222yY
On obtient ainsi un deuxième couple solution :
3 ; 216;2 2xy. 338;6 6 , 216;2 2S
N°91 page 159
Pour0x, on a :
1 6 600 0 et
1 11121212
0000 et les deux membres de l'inéquation
sont égaux, elle est donc vérifiée. 0 est solution de l'inéquation.Pour tout réel x strictement positif, on a :
11 1111111211 1126612612
1 6 934