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Le cours sur les limites de fonctions est plus volumineux que le cours sur les consiste à mettre en facteur le prépondérant 4x2 en facteur sous la racine carrée

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11 nov 2017 · Si 0 < a < 1, ∀x ∈ R, f′a(x) < 0 La fonction puissance est décroissante 2 2 Limite en l'infini • a > 1

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racine cubique est un trinôme du second degré, dont le discriminant vaut −31 < 0, limite finie en ce point (et on définit la fonction prolongée en lui attribuant la 

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Pour tout x∈]0 ; ∞[,ln x x Relation 1 Remarque Les limites ne nous intéressent pas ici Nous voulons seulement comparer les fonctions La limite en 0 

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Les résultats des calculs de limites qui suivent doivent être en accord avec ce résultat et la fonction racine quatrième prend des valeurs strictement positives  

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fonctions et la limite d'un produit (resp quotient) de fonctions est égale au produit Comme – 3 est une racine à la fois du numérateur et du dénominateur, nous 

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Soit la fonction g définie par g(x) = 1 + x – 1 x 1 Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en l'infini 2 alors La racine carrée f est continue sur I

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Ce n'est pas un réel, donc f n'est pas dérivable `a droite en 0 2 Dérivée `a gauche en −4 On calcule le taux d'accroissement et sa limite : t(x) 

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DERNIÈRE IMPRESSION LE11 novembre 2017 à 18:29

La fonction puissance et

la racine n-ième

Table des matières

1 Fonction puissance2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Étude de la fonction puissance3

2.1 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Limite en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.5 Étude d"une fonction classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 La racinen-ieme7

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Simplification et résolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Croissance comparée7

4.1 Théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Cosinus et sinus hyperboliques : ch et sh10

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. FONCTION PUISSANCE

1 Fonction puissance

1.1 Définition

Définition 1 :On appelle fonction puissance d"un réelapositif, la fonctionfa définie surRpar :a>0fa(x) =ax=exlna

Exemple :3⎷2=e⎷2ln3et 5-12=e-12ln5

Remarque :Il s"agit de la généralisation de la fonction puissance que l"on avait définie avec les entiers relatifs aux nombres réels . Cette généralisation se fait au détriment de l"ensemble de définitionR?+poura. En effet, on peut définir lapuissance entièred"un réel négatif ou nul mais lapuissance réellen"est pas définie pour toute valeur deaen raison de lnaqui est défini surR?+. (-3)5existe mais(-3)⎷

2n"existe pas!

ConséquenceLa fonction puissance est strictement positive en raison de sa no- tation exponentielle. ?a?R?+,?x?R,ax>0

1.2 Propriétés

On retrouve les mêmes propriétés de la fonction exponentielle : Propriété 1 :Pour tous réels positifsaetb, on a les égalités suivantes pourxet yréels :

•lnax=xlna

•(ab)x=ax×b

x

1.3 Applications

•Résoudre dansR: 2x=32x+1

Par croissance de la fonction exp surR:

e xln2=e(2x+1)ln3?xln2= (2x+1)ln3?x(ln2-2ln3) =ln3 x=ln3 ln2-2ln3?S=?ln3ln2-2ln3?

•Résoudre dansR:?13?

x =32

Par croissance de la fonction exp surR:

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE

exln13=eln32? -xln3=ln3-ln2?x=ln2-ln3ln3?S=?ln2-ln3ln3?

•Résoudre dansR:?1⎷3?

x ?3

Par croissance de la fonction exp surR:

e xln1 ⎷3?eln3? -12xln3?ln3? -12x?1 car ln3>0?x?-2?

S= [-2 ;+∞[

•Résoudre dansR?+:x⎷2?1

2 Par croissance de la fonction exp surRet de la fonction ln surR?+: e ⎷2?

S=]0 ;e-ln2

⎷2]

2 Étude de la fonction puissance

2.1 Variation

Soit la fonctionfadéfinie surRpar :fa(x) =ax=exlna. Commeax=exlna,faest continue et dérivable surRpar composition de fonc- tions continues et dérivables surR. On a alors : f ?a(x) =lna×exlna=lna×ax Le signef?adépend donc du signe de lna. On a alors : •Sia>1,?x?R,f?a(x)>0. La fonction puissance est croissante. •Si 02.2 Limite en l"infini

•a>1???lim

x→+∞xlna= +∞ lim x→+∞ex= +∞

Par composition, on a

lim x→+∞ax= +∞

De même, on montre que :

lim x→-∞ax=0•0Par composition, on a lim x→+∞ax=0

De même, on montre que :

lim x→-∞ax= +∞

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE

2.3 Tableau de variation et courbe

a>1 x f ?a(x) f a(x) 00 0 1 1 a O 11 a 02.4 Étude d"une fonction Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x×2x

•Limite en+∞

limx→+∞2x= +∞ lim x→+∞x= +∞???

Par produit

lim x→+∞x×2x= +∞ •Limite en-∞. forme indéterminée : "∞×0 » On change la forme :f(x) =xexln2et l"on poseX=xln2, on a alors :

Six→ -∞on a :X→ -∞

La fonction devient alors :

XeX ln2 or on sait que : limX→-∞XeX=0, donc on en déduit que : lim x→-∞x×2x=0 On en déduit une asymptote horizontale : l"axe des abscisses en-∞. •Variation :f?(x) =exln2+xln2exln2= (1+xln2)2x.

1)f?(x) =0?x=-1

ln2(≈ -1,44)

PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR

2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE

2)?x?R, 2x>0 donc, signef?(x) =signe(1+xln2)

•Tableau de variation.

x f ?(x) f(x) -∞-1ln2+∞ 0+ 00 -1eln2-1eln2 f? -1ln2? =-1ln2e-1 ln2ln2=-1eln2(? -0,53)

•La courbe

-11 23

1 2-1-2-3-4-5

O- 1 ln2 1 eln2

2.5 Étude d"une fonction classique

Soit la fonction définie surR+par :?f(x) =xxpourx>0 f(0) =1 •Étude de la continuité en 0 :Pourx>0, on af(x) =exlnx, on a alors les limites suivantes : lim x→0+xlnx=0 lim x→0+ex=1???

Par composition

lim x→0+xx=1

Comme lim

x→0+xx=f(0), la fonction est continue en 0. Remarque :On dit que l"on a prolongé la fonctionfpar continuité en 0. •Étude de la dérivabilité en 0 : il faut étudier le taux d"accroissementdef en 0.

Pourh>0, on a :f(h)-f(0)

h=ehlnh-1h

C"est une limite indéterminée du type "

0

0».

PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR

2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE

On pose :H=hlnh, sih→0 alorsH→0.

f(h)-f(0) h=eH-1H lnh=lnh×eH-1 H lim

H→0+e

H-1 H=1 et limh→0+lnh=-∞, d"où : limh→0+f(h)-f(0)h=-∞. fn"est pas dérivable en 0 maisCfpossède une tangente verticale en 0.

•Limite en l"infiniOn montre facilement par produit et composition que : limx→+∞xx= +∞

•Variation

x xest dérivable surR?+car composition de fonctions dérivables sur cet intervalle. On a alors : f ?(x) = (lnx+x×1 x)exlnx= (lnx+1)xx

1)f?(x) =0?lnx=-1?x=1

e(?0,37)

2) Commexxest positive surR?+: signef?(x) =signe(lnx+1).

•Tableau de variation :f?1e?

=e1eln1e=e-1e(?0,69) Comme la fonction ln est croissante surR?+, la fonctionf?est négative puis positive. On a alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x)

01e+∞

-0+ 11 e-1ee-1e 1 1

•La courbe

0.51.01.52.0

0.5 1.0 1.5

e-1e 1 eO

PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR

3. LA RACINEN-IEME

3 La racinen-ieme

3.1 Définition

Définition 2 :On appelle racinen-ieme d"un nombre réel positifx, le nombre noté n⎷ xtel que : n?2 etn⎷ x=x1n Remarque :Pourx=0, on peut définir :n⎷0=0.

Exemple :

3=312et5⎷7=715

ConséquencePourxetypositifs, sixn=yalorsx=n⎷ y

3.2 Simplification et résolutions

•Simplifier les expressions suivantes :⎷34⎷36et⎷x4⎷x

3⎷x

34⎷36=312×?

36?
14 =31

2×332=312+32

=32=9⎷ x4⎷x

3⎷x=x1

2×x14

x13 =x1

2+14-13=x512

12⎷

x5 •Résoudre l"inéquation suivante dansR+:3⎷x?8 3 x?8?x?83?x?512 •Résoudre l"équation dansR?+suivante :3⎷x-63⎷x-1=0 en multipliant l"équation par

3⎷

x, on obtient :?3⎷x?2-3⎷x-6=0

On pose alorsX=3⎷

x, avecX>0, l"équation devient :X2-X-6=0. X

1=-2 racine évidente, deP=-6, on en déduitX2=3

CommeX?<0, cette solution n"est pas retenue. On obtient alors : X

2=3?x=33=27

4 Croissance comparée

4.1 Théorèmes

Théorème 1 :Pour tout entiern?1, on a les limites suivantes : lim x→+∞lnx xn=0 et limx→+∞e xxn= +∞

PAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR

4. CROISSANCE COMPARÉE

Remarque :La première limite a été vue dans le chapitre sur la fonction loga- rithme. L"idée consiste à faire le changement de variableX=xn Démonstration :Pour la deuxième limite. On utilise la notation exponentielle pourxn. On a alors : e x xn=exenlnx=ex-nlnx=ex(1-nlnx x)

Or on sait que lim

x→+∞lnx x=0 donc on a : lim x→+∞1-nlnx x=1 lim x→+∞ex= +∞????? par composition lim x→+∞e x xn= +∞ Théorème 2 :Pour tout entiern?1, on a les limites suivantes : lim x→0+xnlnx=0 et limx→-∞xnex=0 Démonstration :Pour la première limite, le changement de variableX=1x, permet de revenir à une limite en+∞ Pour la seconde limite, le changement de variableX=-x, permet de revenir à une limite en+∞. Remarque :Je laisse au lecteur le soin de faire ces deux démonstrations

4.2 Application

Soitfune fonction définie sur[0;+∞[par :?????f(x) =1 x2e-1 xpourx>0 f(0) =0

1) Démontrer que la fonctionfest dérivable en 0.

2) Étudier les variations defet sa limite en+∞.

3) On note T la tangente à la courbeCreprésentative defau point d"abscissex0.

a) Écrire une équation de la tangente T enx0àC. b) Déterminerx0pour que T passe par l"origine du repère orthonormal choisi.

4) Pour la valeurx0trouvée, tracerTpuisC(unité graphique 6 cm)

1) Pour montrer quefest dérivable en 0, il faut montrer que le taux d"accroisse-

ment en 0 +admet une limite finie. f(h)-f(0) h=1 h2e-1 h-0 h=e-1 h h3

PAUL MILAN8VERS LE SUPÉRIEUR

4. CROISSANCE COMPARÉE

On pose :H=-1h, on a sih→0+alorsH→ -∞

La quantité devient :

e-1 h h3=eH? -1 H?

3=-H3eH

Or on sait que lim

H→-∞H3eH=0, donc on a : limx→0+f(h)-f(0) h=0 Conclusion :fest dérivable (donc continue) en 0 et sa courbe admet une tangente horizontale en 0.

2) Variation : La fonctionfest continue et dérivable sur]0;+∞[.

f ?(x) =-2 x3e-1 x+1x2×1x2e-1 x=1x4e-1 x(-2x+1)

•f?(x) =0? -2x+1=0?x=12

•On sait que :?x?]0;+∞[,1x4e-1

x>0 On en déduit que : signe def?(x) =signe de(-2x+1)

Limite en+∞: on poseX=-1

x, donc six→+∞alorsX→0 lim x→+∞1 x2e-1 x=limX→0X2eX=0 par produit des limites.

Conclusion : lim

x→+∞f(x) =0

Tableau de variation :f?1

2? =114e- 1

12=4e2≈0,54

x f ?(x) f(x) -∞12+∞ 0 0- 00quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14