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Formation Interuniversitaire de Physique
Annee 2013-2014
Mathematiques pour physiciens
Jean-Bernard Zuber
Figure1 {
6 mathematiciens qui ont laisse des contributions fondamentales dans le sujet de ce cours.
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) et (Jean-Baptiste) Joseph Fourier (1768 - 1830); Simeon Denis Poisson (1781 - 1840) et Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857); Henri Lebesgue (1875 - 1941) et Laurent Schwartz (1915 - 2002)
J.-B. Z L3 FIP 201330 janvier 2014
Bibliographie
[1] W alterApp el,Mathematiques pour la physiqueet les physiciens!, H& KEditions [2] C laudeAslangul, Des mathematiques pour les sciences,Cours et Exercices, de Broeck, 2011 [3] C laudeAslangul, Des mathematiques pour les sciences,Exercices corriges, de Broeck, 2013 [4] Henr iCartan, Theorie elementaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Hermann 1961 [5] Jac quesGapaillard, Integration pour la licence, Dunod 2002 [6]
Joh nLamp erti,Probability, Benjamin 1966
[7] W. Rudin, Analyse reelle et complexe, Masson 1977. [8] Lau rentSc hwartz,Methodes mathematiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965. [9] Lau rentSc hwartz,Theorie des distributions, Hermann, 1966. [10] La urentSc hwartz,Analyse I. Topologie Generale et Analyse Fonctionnelle, Hermann, 1991. Parmi ces ouvrages, certains sont ecrits dans un esprit assez proche de celui du present cours, en particulier [1], dont je me suis beaucoup inspire. Le lecteur trouvera d'innombrables applications et exercices dans [2] et [3]. ii BIBLIOGRAPHIE
Plan du cours
{1 Rappels, convergence, series, fonctions 1 cours {2 Integration 2 cours {3 Distributions 112 cours {4 Transformation de Fourier 112 cours {5 Probabilites 212 cours {6 Series entieres. Fonctions d'une variable complexe 1 cours {7 Fonctions holomorphes. Theoreme de Cauchy 212 cours {8 Fonctions de variables complexes, applications 112 cours {9 Transformation de Laplace 112 cours {10 Aspects de la theorie des groupes 1 cours
Table des matieres
1 Rappels, convergence, series, fonctions 1
1.1 Topologie de la droite reelle (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1 Suites convergentes. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2 Ouverts, fermes. Points d'accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3 Les deux proprietes fondamentales deR. . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 Bribes de topologie generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1 Petit glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2 Espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.3 Suites convergentes, suites de Cauchy dans un espace norme . . . . . . .
6
1.3 Suites et series de fonctions. Convergence simple, uniforme, en norme. . . . . . .
7
1.3.1 Convergence d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.2 Continuite d'une limite de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.3 Derivabilite d'une limite de fonctions derivables. . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.4 Integrabilite d'une limite de fonctions integrables. . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.5 Series. Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Integration 17
2.1 Integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1 Rappels sur l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.2 Integrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.3 Problemes avec l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2 Integrale de Lebesgue. Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.1 Idee intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.2 Mesure (Bribes de theorie de la) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.3 Retour a l'integrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.4 Integrales de Lebesgue surR2ouRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 6
iv TABLE DES MATI ERES
2.2.5 EspacesLpetLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.6 Comparaison entre integrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . .
28
2.3 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3 Distributions 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1.1 Distributions de charges electriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1.2 Diusion coherente par un reseau. Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . .
36
3.1.3 Choc elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2 Denitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2.1 Espace des fonctions-tests. Denition des distributions. . . . . . . . . . .
39
3.3 Operations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3.1 Translation, dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3.2 Derivation d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.4 Distribution delta et distributions reliees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.4.1 Fonction de Heaviside, fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.4.2 Relations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.4.3sur une courbe, une surface, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
3.5 Produit de distributions. Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.6 Exemple : Fonction de Green et potentiel de Coulomb en dimensiond. . . . . .51
4 Transformation de Fourier 55
4.0 Preambule physique.
Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
4.1 Series de Fourier. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2 Transformation de Fourier dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
4.2.1 Denition. Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.2.2 Existence et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2.3 Autres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2.4 Transformation de Fourier dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
4.2.5 Transformation de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.6 Diraction par une fente, par un reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.3 Transformees de Fourier des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5 Probabilites 71
5.1 Evenements. Espace des epreuves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
5.2 Probabilites et mesure. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
TABLE DES MATI
ERESv
5.2.1 Axiomes de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.2.2 Probabilite conditionnelle.
Evenements independants . . . . . . . . . . .73
5.3 Variables aleatoires. Distributions de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.3.1 Denition d'une variable aleatoire; loi de probabilite . . . . . . . . . . .
74
5.3.2 Les quantites et fonctions importantes attachees a une v.a. . . . . . . . .
75
5.3.3 Plusieurs variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.3.4 Changement de variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.3.5 Fonction caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.4 Distributions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.4.1 Distribution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.4.2 Distribution binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.4.3 Distribution normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.4.4 Distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.4.5 Quelques autres lois rencontrees dans les sciences naturelles . . . . . . . .
93
5.4.6 Limites de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
5.4.7 Quelques exemples concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5.5 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 00
5.5.1 Convergence presque s^urement, convergence en probabilite, convergence
en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
5.5.3 Theoreme limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
5.5.4 Marche aleatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
6 Series entieres. Fonctions analytiques 115
6.1 Series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
6.1.1 Series formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
6.1.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
6.1.3 Continuite, integrabilite et derivabilite de la somme . . . . . . . . . . . .
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[PDF] Mathématiques pour la physique et les physiciens