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Physique et Mathématiques
Marc ATTEIA
2 juillet 2015
2 i
Préface
1.Physique et Mathématiques.
Entre Physique et Mathématiques est inscrit dans les cursusscolaires et universitaires un
clivage marqué qui est justifié par le fait que Physique et Mathématiques opèrent dans des
domaines de recherche distincts et font appel à des dispositions intellectuelles différentes.
Le physicien s"intéresse aux lois qui gouvernent la matièreinerte. Pour "découvrir" ces lois,
il utilise des appareillages expérimentaux qu"il a conçus et construits. Comme il use de la sym-
bolique mathématique dans ses calculs, il ne considère, le plus souvent, les mathématiques que
comme une "boıite à outils" performante.
De son côté, le mathématicien développe ses recherche dans un univers abstrait, ans rela-
tiona prioriavec l"univers concret du physicien. ainsi, certains mathématiciens enveloppent-ils leur discipline d"une aura de "pureté" et la placent au-dessus de toutes les autres disciplnes scientifiques. Le clivage entre Physique et Mathématiques est accentué parle fait que les intuitions du
physcien ne sont validées que par le recours à l"expérience tandis que celles du mathématicien
ne le sont que par des preuves théoriques rigoureuses. Pourtant, comme l"attestent les travaux de plusieurs chercheurs éminents en Physique et Mathématiques, ces deux disciplines ont entre
elles un lien étroit. Einstein, dans son livreLa théore de la Relativité générale et généralisée, la
Relativité et le problème de l"espace,(Gauthiers-Villars, 1954) écrivait : "Comment se fait-il que
la mathématique, qui est un produit de la pensée humaine et indépendante de toute expérience,
s"adapte de si admirable manière aux objets de la réalité? Laraison humaine serait-elle donc
capable, sans avoir recours à l"expérience, de découvrir par son activité seule, les propriétés des
objets réels?"
Dans la Préface à son livre intituléÀ la découverte des lois de l"Univers(Odile Jacob, 2004),
Roger Penrose écrit : "[...] Dans beaucoup de progrès récents, l"un des éléments essentiels en est
l"esthétisme mathématique, sa beauté, sa pertinence et sonraffinement. De toute évidence, ces
influences mathématiques peuvent se révéler d"une importance capitale, comme ce fut le cas pour
la majorité des exploits extraordinaires de la Physique du XXesiècle, l"équation de Dirac pour
l"électron, la mécanique quantique et la relativité générale d"Einstein. Mais dans tous les cas, ce
iisont des considérations physiques - émanant en définitives de nos observations - qui définirent
les principaux critères pour l"acceptation de ces théories." C"est ainsi que j"ai rédigé mon livre avec les deux objectifsque j"explicite ci-dessous.
2.Premier objectif.
Mettre en évidence les liens entre Physique et Mathématiques dans l"enseignement universi- taire a été mon premier objectif. Pour cela,
(i) Dans la première partie de mon livre, je présente un panorama de la Physique générale
- classique, relativiste, qantique (Cf. le sommaireci-dessus) - telle qu"on l"enseigne aujour- d"hui. (On pourra discerner, dans cet exposé, en filigrane, la volonté du physicien d"unifier les principaux champs de la Physique à partir de quelques concepts peu nombreux). (ii) Dans la seconde partie de mon livre, je développe le discours mathématique qui, je l"es- père, devrait permettre au physicien de fonder son étude surun socle ferme, de déterminer avec précision et rigueur les domaines de validité des formalisme qu"il utilise. Je voudrai convaincre aussi mon lecteur que l"abstraction mathématique, en relation avec la Physique, ne relève pas d"une pathologie propre au mathématicien mais que, plus la Phy- sique s"enfonce dans les profondeurs de la matière, plus, nécessairement les mathématiques qui la fondent sont abnstraites. (iii) J"insiste plus particulièremennt, sur le rôle majeurjoué en Physique par les notions (concepts) d"espaces fonctionnels, de dualité, d"espace de Hilbert, de noyau d"espace de
Hilbert.
3.Second objectif.
Mon second objectif est de mettre en exerge la notion demodélisation mathématique,qui joue
un rôle si important aujourd"hui, dans notre société technoscientiste. Galilée, dans un passage
(bien connu) de l"Essayeur, écrivait, en 1623 : " La philosophie est écrite dans cet immense livre
qui se tient toujours devant nos yeux, je veux dire l"Univers, mais on ne peut le comprendre
si l"on ne s"applique d"abord à en comprendre la langue et à enconnaître les caractères avec
lesquels il est écrit. Il est écrit avec la langue mathématique et ses caractères sont des triangles,
des cercles et autres figures géométriques sans le moyen desquels il est humainement impossible
d"en comprendre un mot. Sans eux, c"est une errance vaine dans un labyrinthe inconnu.
Aujourd"hui, la modélisation mathématique du réel qui a débuté par la Physique est l"outil es-
sentiel de l"innovation technique. Mais je voudrai, cependant, avant de terminer, faire remarquer que :
(i) La modélisation mathématique des activités humaines, utilisées par les praticiens des
sciences humaines est loin d"être aussi fiable que celle qui est mise en oeuvre en Physique, car les activités humaines, au contraire de la Physique, dépendent d"un très grand nombre de paramètres essentiels.
(ii) Un même phénomène physique, suivant le niveau d"exploitation du Réel où l"on se situe,
peut être modélisé par différents modèles mathémathiques efficients. Il en résulte que le
discours mathématique ne recèle aucune Vérité transcendante en soi, qui sacraliserai le discours de la Physique.
TABLE DES MATIÈRES
1 Notions fondamentales.1
1.1 Généalogie de l"espace.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 L"espace.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 La notion de temps en Physique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Le réglage des horloges.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 L"évolution de la notion de temps.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Modèle mathématique du temps.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Vitesse et accélération.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 La notion physique de vitesse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Définition mathématique de la vitesse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Définition mathématique de l"accélération.. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Force, masse et énergie mécanique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Notions de force et de masse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 L"énergie mécanique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Energie potentielle et énergie cinétique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Mécanique rationnelle et Géométrie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 La notion de champ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 L"énergie calorifique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Les premiers pas de la thermodynamique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 La thermodynamique statistique. L"introduction du hasard en Physique.. 9
1.7 L"atome.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7.1 Le plus petit "grain" de matière insécable. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7.2 L"atome, une boîte "noire".. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7.3 Bombarder pour voir. La balistique quantique.. . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 La représentation du monde subatomique par la Physique quantique.. . . . . . . 10
1.8.1 Physique classique et physique quantique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8.2 Physique et Mathématiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.3 Déterminisme et Hasard.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Vers la Cosmologie quantique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 La Physique, les Mathématiques et nous.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
iii ivTABLE DES MATIÈRES
2 Modèle mathématique de l"espace-temps.13
2.1 Un modèle de l"espace à trois dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Courbes et surfaces dansR3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Courbes dansR3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Surfaces dansR3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Tangentes. Plans tangents. Normales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Tangente et plan normal à une courbe dansR3.. . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Plan tangent et normale à une surface dansR3.. . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Orientation des courbes et surfaces dansR3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Orientation des courbes paramétrées dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 Orientation des surfaces paramétrées dansR3.. . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Intégration sur des courbes et des surfaces contenues dansR3.. . . . . . . . . . . 17
2.5.1 Intégration sur une courbe paramétrée contenue dansR3.. . . . . . . . . 17
2.5.2 Circulation d"un champ vectoriel sur une courbe paramétrée contenue dansR3.18
2.5.3 Intégration sur une surface paramétrée contenue dansR3.. . . . . . . . . 19
2.5.4 Flux d"un champ vectoriel à travers une surface paramétrée dansR3.. . . 19
3 P3 Électromagnétisme.21
3.1 Généalogie de l"électromagnétisme.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Les fondements de l"électrostatique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 La charge électrique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 La charge électrique ponctuelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 La loi de Coulomb.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.4 Quantification de la charge électrique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.5 Distribution électriques linéiques, surfaciques, volumiques.. . . . . . . . . 23
3.3 Champ de forces électrostatiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1 Définition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2 Champ électrostatique créé par une distribution de charges électriques.. 24
3.4 Potentiel électrostatique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 Définition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 Potentiel électrostatique créé par une distributionde charges électriques.. 25
3.4.3 Equipotentielles électrostatiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.4 Champ et potentiel électrostatiques créés par un dipôle électrique.. . . . 25
3.5 Le théorème de Gauss.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Equilibre électrostatique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6.1 Capacité d"un conducteur.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6.2 Système denconducteurs en équilibre électrostatique.. . . . . . 28
3.6.3 Condensateurs.chargés électriquement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Le courant électrique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 Charge électrique moyenne. Densité de charge électrique.. . . . . . . . . . . . . . 28
3.8.1 Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.8.2 Densité de charge électrique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.9 Densité et intensité du courant électrique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.10 Bilan de charge.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.11 Puissance électrique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.12 Puissance reçue par un dipôle électrocinétique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TABLE DES MATIÈRESv
3.13 Loi d"Ohm.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.13.1 Loi d"Ohm locale et conductivité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.13.2 Loi d"Ohm intégrale. Résistance en régime stationnaire.. . . . . . . . . . 34
3.14 Effet Joule.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.15 Champ magnétique créé par une charge électrique en mouvement.. . . . . . . . 36
3.16 Champ magnétique créé par un courant stationnaire.. . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.16.1 La loi de Biot et Savart.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.16.2 Le flux magnétique est conservatif.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.16.3 Le potentiel vecteur.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.17 Les lois de Faraday et de Lenz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.18 La force de Lorentz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.19 Les équations de Maxwell dans le vide.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.20 Ondes électromagnétiques dans le vide.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.20.1 Equations de propagation des champs électriques et magnétiques dans le vide.41
3.20.2 Equations de propagation du potentiel électromagnétique.. . . . . . . . 42
3.21 Energie d"un champ électromagnétique dans le vide.. . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.22 Equations de Maxwell dans un milieu matériel.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 P4 Mécanique.45
4.1 Introduction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 La loi de la gravitation universelle (Newton 1687). . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Enoncé.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Champ et potentiel gravitationnels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 La loi fondamentale de la Dynamique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.1 Notions de base.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2 Enoncé de la loi fondamentale de la Dynamique (deuxième loi de Newton).47
4.4 Mouvement à une dimension.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.1 Chute libre sans frottement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.2 Fusée lancée verticalement. Problème avec conditions initiales.. . . . . . 48
4.4.3 Fusée lancée verticalement. Problème avec conditions aux limites.. . . . . 48
4.5 Mouvement à deux dimensions. Lancement d"un projectiledans un plan vertical.49
4.5.1 Problème avec conditions initiales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.2 Problème avec conditions aux limites.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Sur le calcul du noyau de Green.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7 Mouvements pendulaires périodiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7.1 Mouvement d"un pendule élastique sur une droite horizontale.. . . . . . . 51
4.7.2 Mouvement d"un pendule sur un cercle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7.3 Noyaux de Green.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8 Formulation variationnelle de la loi fondamentale de laDynamique dans le cas d"une dimension.
4.9 Méthodes de résolution approchées de Π1et Π2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9.1 Résolution approchée de Π1par la méthode des différences finies.. . . . . 55
4.9.2 Résolution approchée de Π2par la méthode des éléments finis.. . . . . . 55
4.10 Mécanique du solide. Système d"équations de l"élasticité linéarisée.. . . . . . . . 56
4.11 Mécanique des fluides. Système de Stokes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
viTABLE DES MATIÈRES
5 P5 Optique.61
5.1 Principes fondamentaux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Premier principe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Chemin optique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.3 Deuxième principe (Principe de Fermat).. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Réflexion d"un rayon lumineux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1 Réflexion sur un miroir plan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.2 Réflexion sur un miroir sphérique concave.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.3 Enveloppe du rayon réfléchi dans la réflexion sur un miroir sphérique concave63
5.3 Réfraction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Réfraction sur une surface plane. Loi de Snell-Descartes.. . . . . . . . . . 65
5.3.2 Réfraction sur une surface régulière.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 L"équation fondamentale de l"Optique géométrique. Analogie avec la Mécanique.67
5.4.1 Premier cas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.2 Deuxième cas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5 Franges de diffraction ou d"interférences.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 Le principe de Huyghens.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6.1 Enoncé du principe de Huyghens.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 P6 Thermodynamique.71
6.1 Généalogie de la thermodynamique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Systèmes thermodynamiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 Variables d"état d"un système thermodynamique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4 Etat d"équilibre d"un système thermodynamique. Principe zéro.. . . . . . . . . . 72
6.5 Variables extensives et intensives.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.6 Température Celsius et température absolue.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.7 Vers l"équation d"état d"un gaz parfait.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.8 L"équation d"état d"un gaz parfait.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.9 Les trois premiers principes de la Thermodynamique.. . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.9.1 Enoncé du premier principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.9.2 Enoncé du deuxième principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.9.3 Enoncés équivalents au deuxième principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.9.4 Enoncé du troisième principe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.10 La transformation de Legendre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.10.1 La transformée de Legendre d"une fonction d"une variable réelle.. . . . . 76
6.10.2 Un cas particulier important : le cas convexe.. . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.10.3 La transformée de Legendre d"une fonction de plusieurs variables réelles.. 77
6.10.4 Transformée de Legendre partielle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.11 Potentiels thermodynamiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.11.1 Applications.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.11.2 La relation de Gibbs-Duhem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.12 La théorie cinétique des gaz parfaits de Maxwell.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.13 La Thermodynamique statistique de Boltzmann.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.13.1 Sur la Physique statistique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.13.2 La loi de Boltzmann. Application.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
TABLE DES MATIÈRESvii
7 P7 La Relativité.87
7.1 Généalogie de la Relativité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 L"espace-temps.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3 Retour sur la loi fondamentale de la dynamique. Un mouvement comme nul.. . 88
7.4 L"expérience de Michelson et Morley (M.M) et ses conséquences.. . . . . . . . . 90
7.5 Le principe de relativité d"Einstein.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.6 La transformation de Lorentz et la théorie de la Relativité restreinte.. . . . . . . 91
7.6.1 Le cadre de la Relativité restreinte.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.6.2 La transformation de Lorentz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.6.3 La transformation de Lorentz réduite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.6.4 Propriétés deA(λ)et B(λ)lorsque|λ|<1. . . . . . . . . . . . . . . 94
7.7 Premiéres conséquences de la Relativité resreinte.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.7.1 Relativité de la simultanéïté de deux événements.. . . . . . . . . . . . . . 95
7.7.2 Relativité de la localisation de deux événements.. . . . . . . . . . . . . . 95
7.7.3 Relativité de la longueur d"une régle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.7.4 Temps propre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.7.5 Transformation de la vitesse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.8 Détermination de la transformation de Lorentz réduite abstraite.. . . . . . . . . 97
7.8.1 Un semi-groupe multiplicatif d"applications linéaires.. . . . . . . . . . . . 97
7.8.2 Conditions pour que{G(ρ);|ρ| 7.8.3 Conditions déduites de la relation de symétrie.. . . . . . . . . . . . . . . 98
7.8.4 Explicitation de?γ(ρ) et deB(ρ).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.9 La géométrie de Minkowski.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.9.1 La transformationT(ρ,K).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.9.2 Géométrie de Minkowski.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.10 Le cône de lumière.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.11 Dynamique relativiste du point dans l"espace-temps deMinkowski .. . . . . . . 102
7.11.1 Rappels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.11.2 Temps propre élémentaire d"une particule.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.11.3 Quadrivecteurs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.12 Equations de Maxwell et Relativité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.12.1 Rappels sur les équations de Maxwell.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.12.2 Transformation du d"alembertien.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.12.3 Transformation deρetJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.12.4 Transformation des équations de Maxwell.. . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.13 Equivalence entre la masse grave et la masse inerte.. . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.14 Equivalence locale entre champ de gravitation et champd"accélération.. . . . . . 111
7.15 Champ de gravitation et Géométrie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.15.1 Métrique associée localement à un champ de gravitation.. . . . . . . . . 112
7.15.2 L"espace-temps de la Relativité générale est une variété à quatre dimensions.113
7.16 La métrique (statique) de Schwarzchild.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.17 Généalogie du progrés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.18 Retour sur la notion de mesure en physique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.19 Ensembles S-invariants et dimension de Minkowski.. . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.19.1 Ensembles S-invariants.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.19.2 Dimension de Minkowski .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
viiiTABLE DES MATIÈRES 7.20 Dimension fractale et relativité d"échelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.21 Relativité d"échelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.21.1 Composition des vitesses.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.21.2 Formules de type lorentzien .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8 P8. La radioactivité.123
8.1 La découverte de la radioactivité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 La nature du rayonnement radioactif.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.3 La composition du rayonnement radioactif.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.4 Les premiers modèles de l"atome.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.5 Étrangeté du monde subatomique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.6 Le monde des particules.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7 Les forces / interactions nucléaires. Un pas de plus dansun monde étrange.. . . 129
9 De la Mécanique classique à la Mécanique quantique.133
9.1 L"équation eïkonale en optique géométrique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 L"équation de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique.. . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 Passage de la Mécanique classique à la Mécanique ondulatoire.. . . . . . . . . . 136
9.4 La fonction d"onde en Mécanique quantique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4.2 Analogie entre la phase et l"action.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10 Modélisation mathématique de la théorie atomique.141
10.1 Introduction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 La fonction d"onde.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.3 Systèmes et états quantiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.4 Grandeurs physiques et observables.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.4.1 L"observable A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.4.2 Représentaton de l"observableA.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.5 Les observablesQetP.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.5.1 L"observableQ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.5.2 L"observableP.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.5.3 La relation d"incertitude de Heisenberg.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5.4 Relations de commutation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5.5 Représentations deQetP.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.6 Evolution d"un système quantique en Mécanique quantique non relativiste en l"absence de spin.148
10.6.2 La relation d"Ehrenfest :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.7 L"observable associée au moment cinétique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.7.1 L"observableL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.7.2 Relations entreL1, L2, L3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.7.3 Valeurs propres deL2etL3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.8 Spin et spineur.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.8.1 L"expérience de Stern et Gerlach (1922).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.9 Algèbre de Clifford. Matrices de Dirac.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.9.1 Application de Clifford.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
TABLE DES MATIÈRESix
10.9.2 Algèbre de Clifford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.10Spineurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.11L"interprétation de L. Schwartz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.12n- systèmes quantiques. Bosons et fermions. Espaces de Fock.. . . . . . . . . . . 156
10.12.1Produit tensoriels d"espaces (pré-)hilbertiens.. . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.12.2n-systèmes quantiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.12.3Produits tensoriels symétriques et antisymétriques.. . . . . . . . . . . . . 156
10.12.4Bosons et fermions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.12.5Opérateurs de création et d"annihilation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.12.6Espaces de Fock.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.12.7 Retour sur l"Optique ondulatoire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.12.8Les postulats de Feynman.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.12.9Approximation deGγ(A?,A).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11 P11 Invariants165
11.1 Premier cas : espace homogène.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2 Deuxième cas : temps homogène.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.3 Troisième cas : espace isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.5 Opérateur unitaire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.5.1 Définition et premières propriétés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.5.2 Extension.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.6 Générateurs.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.6.1 Un résultat préliminaire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.6.2 Générateur d"une translation spatiale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.6.3 Générateur d"une translation temporelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.6.4 Générateur d"une rotation spatiale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.7 Opérateurs anti-unitaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.7.1 Définition et premières propriétés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.7.2 L"opérateur de renversement du temps.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12 P 12 Principe de "moindre action".173
12.1 Le principe de moindre action en Mécanique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.1.1 Notations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.1.2 Enoncé du Principe de moindre action (P.M.A.) en Mécanique.. . . . . . 173
12.1.3 Calcul du gradient deS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.1.4 Equation (s) d"Euler-Lagrange.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.2 Dualité. Lagrangien et hamiltonien.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.2.1 La duale deS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.2.2 Lagrangien et hamiltonien.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.2.3 Explicitation deS?relativement à une trajectoire réellex0.. . . . . . . . 175
12.2.4 Equations de Hamilton.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12.2.5 Equation de Hamilton-Jacobi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.2.6 Equivalence entre les équations de Hamilton et l"équation de Hamilton-Jacobi.178
12.2.7 Etude d"un systéme mécanique fermé. Lois de conservation.. . . . . . . . 180
xTABLE DES MATIÈRES 12.3 Un exemple élémentaire. Mouvement d"un point matérieldansR3.. . . . . . . . 182
12.4 Mécanique et Optique. De l"action à la phase.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.4.1 Mécanique newtonnienne et optique géométrique.. . . . . . . . . . . . . . 185
13 M 1 Notions élémentaires.189
13.1 Groupes. Anneaux. Corps.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
13.2 (Rappels) sur les espaces vectoriels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
13.2.1 Espaces normés. Espaces préhilbertiens.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.2.2 Complétion d"un espace normé.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.2.3 Continuité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.2.4 Dualité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13.2.5 Bases.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
13.3 Complément. Espace vectoriel topologique (localement convexe).. . . . . . . . . 195
13.4 Algèbre.Notions élémentaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
14 M 2 Eléments de calcul différentiel.199
14.1 A. Point de vue analytique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
14.1.1 1. Formule de Taylor d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
14.1.2 2. Différentielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
14.1.3 3. Champs.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
14.1.4 4. Produit de deux formes différentielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
14.1.5 5. Effet d"une application différentiable.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
14.1.6 6. Intégration des formes différentielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
14.1.7 Formule de Stokes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
14.1.8 Chaîne, bord; formule de Stokes pour une chaîne.. . . . . . . . . . . . . 210
15 M 3 Géométrie hilbertienne élémentaire.213
15.1 A. Préliminaires. Mesure. Intégration. Probabilités.. . . . . . . . . . . . . . . . . 213
15.1.1 Clan.Tribu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
15.1.2 Mesure positive.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
15.1.3 Intégration.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.1.4 Terminologie des probabilités.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
15.2 B. Structure hilbertienne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
15.2.1 Espace de Hilbert.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
15.2.2 Orthogonalité. Théorème de projection.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
15.2.3 Topologies et dualité hilbertienne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.2.4 Opérateurs linéaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
15.3 C. Théorie spectrale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
15.3.1 9. Théorie spectrale élémentaire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
15.3.2 10. Décomposition spectrale d"un opérateur auto-adjoint.. . . . . . . . . 227
15.3.3 Décomposition spectrale d"une transformation unitaire.. . . . . . . . . . 231
15.3.4 14. Produits tensoriels d"espaces de Hilbert.. . . . . . . . . . . . . . . . . 232
15.3.5 15. Noyaux hilbertiens.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
TABLE DES MATIÈRESxi
16 M 4 Sur la résolution des problèmes aux dérivées partielles (PDP) linéaires.239
16.1 0. Sur les fonctions et distributions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
16.2 1. Introduction. Problèmes aux dérivées partielles dudeuxième ordre.. . . . . . 240
16.3 2. Classification des principaux problèmes aux dérivées partielles du deuxième ordre.240
16.4 Le problèmeΠ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.4.1 Solutions de l"équation homogène Δu= 0 .. . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.4.2 3.2 Deux propriétés importantes des fonctions harmoniques.. . . . . . . . 243
16.4.3 3.3 Solutions générales deΠ1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
16.5 4. Méthode variationnelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
16.6 Le problèmeΠ2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
16.6.1 Sur les solutions de l"edp homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
17 M 5 Analyse de Fourier271
17.1 1. Séries de Fourier trigonométriques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
17.1.1 1.1 Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
17.1.2 1.2 L"espace de HilbertPm.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
17.1.3 Séries de Fourier trigonométriques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
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[PDF] Mathématiques pour la physique et les physiciens