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Mathématiques
pour la physique de
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Mathématiques
pour la physique
Cours + Exercices corrigŽs
François Reynaud
Professeur de physique à la faculté des sciences de Limoges
Daniel Fredon
Maître de conférences en mathématiques appliquées
Michel Bridier
Maître de conférences en physique
de
9782100582655-Reynaud-lim.qxd 9/07/12 7:39 Page IIIRetrouver ce titre sur Numilog.com
© Dunod, Paris, 2011
ISBN 978-2-10-056651-8© Dunod, Paris, 2012
ISBN 978-2-10-058265-5
9782100582655-Reynaud-lim.qxd 05/07/12 8:27 Page IVRetrouver ce titre sur Numilog.com
La page d'entrée de chapitre
Elle donne le plan du cours,
ainsi qu'un rappel des objectifs pédagogiques du chapitre.
Le cours
Le cours,concis et structuré,
expose les notions importantes du programme.
Les rubriques
Une erreur à éviter
Un peu de méthode
Un exemple pour comprendre
Les points clés à retenir
Les exercices
Ils sont proposés en fin de chapitre,
avec leur solution,pour se tester tout au long de l'année.
Comment utiliser le Mini-Manuel ?
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1Grandeurs et mesures1
1.1Grandeurs physiques 1
DŽfinition 1
PrŽfixes 2
Constantes fondamentales 2
1.2Analyse dimensionnelle 3
Dimension dÕune grandeur physique 3
1.3Mesure des grandeurs 3
Mesurage 3
PrŽsentation dÕun rŽsultat 4
Utilisation dÕun grand nombre de mesures 4
Mots cls 5
Exercices 6
Solutions 6
2Les nombres8
2.1Nombres rŽels 8
GŽnŽralitŽs 8
Sommes et produits 9
Approximations dŽcimales 9
2.2Nombres complexes 10
Forme algŽbrique 10
Forme trigonomŽtrique 11
Exponentielle complexe 12
GŽnŽralitŽs 13
9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page VIIRetrouver ce titre sur Numilog.com
Systèmes triangulaires13
Méthode du pivot de Gauss14
Mots clŽs 15
Exercices 15
Solutions 17
3Calcul vectoriel23
3.1Barycentre de points pondrs 23
Définition 23
Propriétés 24
Applications 24
3.2Produit scalaire 24
Définition 24
Propriétés 26
Orthogonalité 26
Applications 27
3.3Produit vectoriel 27
Définitions 27
Propriétés 28
Applications 28
3.4Produit mixte 28
Définition 28
Propriétés 28
Applications 28
Mots clŽs 29
Exercices 29
Solutions 31
4Fonctions de dans 36
4.1Gnralits36
Sens de variation 36
Parité,périodicité 37
4.2Limites37
Définitions 37
Propriétés des limites 38
Fonctions équivalentes 39
4.3Continuit40
Définitions 40
9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page VIIIRetrouver ce titre sur Numilog.com
Continuité et opérations 40
Image d'un intervalle par une fonction continue40
4.4DŽrivabilitŽ41
Définitions41
Interprétations41
Propriétés42
4.5Fonctions usuelles44
Fonctions logarithmes,exponentielles,puissances44
Fonctions circulaires réciproques46
Mots clŽs 49
Exercices 50
Solutions 51
5ComplŽments sur les fonctions dŽrivables58
Extrémum 58
Théorèmes de Rolle et des accroissements finis 59
Inégalité de Taylor-Lagrange 59
Formule de Taylor-Young 60
Développements limités 60
Opérations sur les développements limités 62
Applications des développements limités 63
5.3ConvexitŽ63
Définitions 63
Fonctions convexes dérivables 65
Mots clŽs 65
Exercices 65
Solutions 67
6Calcul intŽgral74
6.1IntŽgration sur un segment 74
Approche théorique 74
Propriétés 76
Exemples en physique 77
6.2Calcul des primitives 78
Linéarité 78
Intégration par parties 78
Intégration par changement de variable 79
9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page IXRetrouver ce titre sur Numilog.com
6.3Intégrales généralisées79
DŽfinitions79
PropriŽtŽs80
Situations de rŽfŽrence80
Fonctions sommables82
Mots clŽs 82
Exercices 83
Solutions 84
7Équations différentielles90
7.1Définitions générales90
7.2Équations différentielles du premier ordre 91
Exemple91
7.3Équations linéaires du premier ordre 92
DŽfinition92
7.4Équations différentielles linéaires
du second ordre ˆ coefficients constants 93
DŽfinition93
Mots clŽs 96
Exercices 96
Solutions 99
8Suites numériques109
8.1Généralités109
DŽfinition109
Suite monotone109
Suite bornŽe110
8.2Limite d'une suite 110
Suite convergente 110
9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page XRetrouver ce titre sur Numilog.com
Limites infinies110
Opérations sur les suites convergentes111
Relation d'ordre111
8.3Existence de limites112
Convergence des suites monotones112
Suites adjacentes112
Suites extraites112
8.4Suites rŽcurrentes113
Suites récurrentes
u n=1 -f?u n
σ113
Suites récurrentes linéaires du second ordre 113
Mots clés 115
Exercices 115
Solutions 116
9Fondements du calcul matriciel120
9.1Espaces vectoriels 120
Généralités 120
Sous-espaces vectoriels 121
Bases d'un espace vectoriel,dimension 121
Applications linéaires 122
9.2Matrices122
Généralités 122
Écritures matricielles 123
Opérations 124
Changement de bases 125
9.3DŽterminants126
Généralités 126
Opérations sur les lignes ou les colonnes 127
Autres propriétés 127
Mots clés 129
Exercices 130
Solutions 132
10RŽduction des matrices140
10.1Valeurs propres et vecteurs propres 140
Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme 140 Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée 141
Polynôme caractéristique 141
Table des matièresXI
9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page XIRetrouver ce titre sur Numilog.com
10.2Diagonalisation141
DŽfinitions 141
Conditions 142
10.3Applications142
Calcul de
A m 142
Mots cls 143
Exercices 143
Solutions 146
11Fonctions de plusieurs variables160
11.1Espace
n 160
Norme sur un espace vectoriel 160
Parties remarquables de
n 161
11.2Fonctions de plusieurs variables 162
DŽfinitions 162
Limite et continuitŽ 163
Composition des fonctions continues 163
11.3Dérivées partielles ;différentielle164
DŽrivation dÕordre 1 164
DŽrivŽes partielles dÕordre supŽrieur 165
DiffŽrentielle 166
11.4Optimisation d'une fonction de 2 variables168
DŽfinitions 168
Existence dÕun minimum et dÕun maximum globaux 168 Condition nŽcessaire dÕextrŽmum local 168
Condition suffisante dÕextrŽmum local 168
Mots cls 169
Exercices 170
Solutions 172
12Champs scalaires,champs vectoriels181
12.1Coordonnées non cartésiennes dans le plan
et dans l'espace 181
CoordonnŽes polaires (dans le plan) 181
CoordonnŽes cylindriques (dans lÕespace) 183 CoordonnŽes sphŽriques (dans lÕespace) 184
12.2Champs de vecteurs du plan ou de l'espace185
DŽfinition 185
9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page XIIRetrouver ce titre sur Numilog.com
Divergence d'un champ de vecteurs du plan ou de l'espace 186 Rotationnel d'un champ de vecteurs de l'espace 186
Expression de la divergence et du rotationnel
en coordonnées non cartésiennes 187
Propriétés des opérateurs classiques 187
Théorème de Poincaré 188
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