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Mathématiques pour la physique et les physiciens 5e édition revue, corrigée et ( encore) augmentée Walter Appel ancien élève de l'École normale supérieure 

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´Ecole Normale Sup´erieureFIP 1`ereann´ee

D´epartement de Physique (2011/2012)

Math´ematiques pour physiciens

Claude ASLANGUL

Universit´e Pierre et Marie Curie

(Paris 6) aslangul@lptmc.jussieu.fr "C"est avec la logique que nous prouvons et avec l"intuition que nous trouvons" (Henri POINCAR

´E)

Pr´eambule

Ce cours ne pr´etend en aucune fa¸con ˆetre un cours de math´ematiques, mais vise `a familiariser les ´etudiants en Licence de physique avecdesm´ethodes etdestech- niques math´ematiques sans la maˆıtrise desquelles la physique d"aujourd"hui tout simple- ment n"existerait pas. Cette ambition limit´ee - qui pourrasembler modeste aux yeux de certains puristes - n"en fera pas pour autant un cataloguede recettes ´enonc´ees sans

d´emonstration : on s"efforcera de trouver l"´equilibre entre la rigueur et l"intuition, n"h´esi-

tant pas `a donner des versions "faibles" de vraies d´emonstrations de th´eor`emes grˆace `a l"utilisation d"hypoth`eses contraignantes, adopt´ees dans le seul but de maintenir la

d´emonstration `a un niveau relativement ´el´ementaire, en tout cas largement suffisant pour

les pr´eoccupations usuelles du physicien. Il arrivera mˆeme que l"on se borne `a indiquer

le fil d"une d´emonstration sans donner le d´etail de celle-ci, anim´e par la conviction que

la compr´ehension des id´ees doit prendre parfois le pas surun expos´e d´etaill´e ralentissant

le rythme sans apporter vraiment d"´el´ement nouveau. L"´emergence et la construction des th´eories physiques "modernes" (par exemple

la M´ecanique statistique, la Relativit´e, la M´ecanique quantique) auraient ´et´e impossibles

sans le recours `a des concepts ou des outils math´ematiquesassez ´elabor´es et tr`es puis- sants. Cette n´ecessit´e s"´etait d´ej`a impos´ee au XIX esi`ecle pour l"´Electromagn´etisme (et

sa cohorte d"´equations aux d´eriv´ees partielles) et la M´ecanique statistique dont Boltz-

mann peut ˆetre consid´er´e comme le p`ere-fondateur. Au XX esi`ecle, l"analyse complexe

a d´ebarqu´e en force : jusque l`a cantonn´es au rˆole d"outils commodes (mais `a tout pren-

dre pas absolument n´ecessaires), les nombres complexes sont devenus l"expression la plus naturelle de la sp´ecificit´e quantique - et de ses ´etranget´es. ii L"objectif ici poursuivi inspire en grande partie le choix des questions abord´ees, et ne permet pas de pr´etendre `a l"exhaustivit´e pour chacuned"entre elles. Le choix r´esulte in´evitablement d"un compromis, tout en essayant de maintenir une structure coh´erente

destin´ee `a pr´eserver l"unit´e de l"expos´e. En ce sens, on peut dire que le cours est ar-

ticul´e autour de la th´eorie des fonctions analytiques dont les premi`eres pages, ´ecrites par

Cauchy, sont certainement l"une des plus belles histoires math´ematiques par son ´el´egance

et sa simplicit´e formelle. Quant `a l"exhaustivit´e, ellene pourrait ˆetre qu"un leurre, tant

en ce qui concerne le fond que la richesse des applications. Il est souhait´e que, malgr´e

les coupes claires in´evitables, un ´equilibre a ´et´e trouv´e entre l"efficacit´e et le pragmatisme

d"une part, la possibilit´e de compr´ehension en profondeur d"autre part. Il est certain que Math´ematiques et Physique sont deux disciplines intellectuelles tr`es proches, comme en t´emoignent non seulement leur histoire et leur d´eveloppement au fil des si`ecles, mais aussi les ´echanges fructueux et lesenrichissements qu"elles se sont mutuellement apport´es. C"est un fait que les th´eories physiques s"´ecrivent presque spontan´ement en termes math´ematiques - au point que certains consid`erent les math´ema- tiques comme le"langage de la nature", pour reprendre l"expression de Galil´ee - et que les grands principes physiques y trouvent une expression naturelle et lumineuse. Par exem-

ple, le principe de causalit´e impose des propri´et´es analytiques remarquables aux fonctions

de r´eponse d"un syst`eme, comme on le verra. Toutefois, la d´emarche du math´ematicien et celle du physicien (toutes deux fond´ees

sur l"intuition contrairement `a ce qui est parfois pr´etendu) sont de natures tr`es diff´erentes,

en simple cons´equence des objectifs poursuivis par l"un etl"autre. Il arrive aussi que, en d´epit des apparences, la formulation d"une "mˆeme" question ne traduise pas la mˆeme in- terrogation, faute d"employer des concepts parfaitement d´efinis, ou des termes d´enu´es de

toute ambigu¨ıt´e. La physique est une science exp´erimentale qui, partant des observations,

´enonce desloisayant le statut deprincipes`a partir desquelles toute th´eorie physique est

construite ; une th´eorie physique est, `a un instant donn´e, consid´er´ee comme exacte si

elle permet de rendre compte de tous les ph´enom`enes observ´es et sa f´econdit´e se situe

r´eellement dans son aptitude `a pr´evoir de nouveaux ph´enom`enes non encore observ´es. On

peut dire que la pr´evision th´eorique d"un effet inconnu jusqu"alors, la suggestion d"une exp´erience permettant de l"observer ...et son observation de fait constituent le menu royal du physicien. Le math´ematicien ne saurait s"en remettre `a l"exp´erience au sens o`u l"entend le physicien, et introduit ou manipule des concepts sans se soucier de leur mise `a l"´epreuve exp´erimentale, et pour cause puisque la plupart d"entre eux sont par nature inaccessibles `a l"exp´erience

1. La notion d"infini (mˆeme le plus petit d"entre eux, le cardinal des entiers

naturels), la notion de nombre irrationnel, ..., ne sauraient faire l"objet d"une quelconque

quˆete de v´erification exp´erimentale, et c"est ce qui a tant troubl´e les Anciens, les Grecs

notamment : on aura beau remplacer la diagonale d"un carr´e de cˆot´e de longueur unit´e par une succession de petits segments formant un escalier autour de la diagonale, la

1Par exemple, s"agissant de prouver la v´eracit´e d"une propri´et´e fonction du cardinalN?Nd"un

certain ensemble, on peut faire l"exp´erience avec un ordinateur, qui va examiner syst´ematiquement les

valeurs successives deN. Aussi puissant que soit l"ordinateur, il ne pourra jamais consid´erer qu"un

nombre maximumNmax. Ceci ne d´emontrera jamais que la propri´et´e est vraie?N?N.

FIP 1 - 2010/2011

Math´ematiques pour physiciens 16 II 2018

Cl.A. UPMC iii somme des longueurs des segments formant l"escalier sera toujours ´egale `a2, alors que la diagonale a pour longueur⎷

2. En la circonstance, ce qui est impossible `a r´ealiser

exp´erimentalement c"est ce que le math´ematicien appellepasser `a la limite. On peut dire que la notion d"infini est hors de port´ee pratique du physicien, ce qui ne l"empˆeche ´evidemment pas faire le saut conceptuel et de la manipuler effectivement, quand il sait (pour de bonnes raisons) qu"il peut le faire. Si la notion d"infini ´echappe au physicien dans ses tests exp´erimentaux, il en va de mˆeme de la notion de z´ero

2: le physicien consid`ere comme nulle (et non avenue)

toute "perturbation" dont les effets se situent en-de¸c`a deses capacit´es observationnelles, ou toute grandeur physique pour laquelle on a su trouver exp´erimentalement une borne sup´erieure tr`es petite : si on d´eclarenullela masse du photon ou la charge du neutron (par exemple), c"est d"une part parce que les th´eories construites avec ces hypoth`eses sont, jusqu"`a pr´esent, en accord avec l"exp´erience, d"autre part parce que l"on a pu trouver exp´erimentalement des bornes sup´erieures incroyablement petites3. De mˆeme, dans la construction d"un mod`ele physique

4, on d´eclare (plus ou moins explicitement) que certains

effets sont n´egligeables, ce qui revient `a les annuler strictement `a z´ero. L"une des d´emarcations les plus indiscutables entre l"univers du physicien et celui du math´ematicien tient sans doute au fait que le premier atoujours`a sa disposition

des´echellespour les grandeurs physiques pertinentes du probl`eme consid´er´e : ´echelles de

temps, de longueur, d"´energie, etc. C"est par rapport `a ces ´echelles que se situent le z´ero et

l"infini du physicien : pour la physique atomique, la taille de notre galaxie est r´eellement "infinie", cependant que pour les ph´enom`enes se situant dans le domaine d"´energie5de l"eV, le noyau atomique peut ˆetre consid´er´e comme ponctuel6(de rayon nul). Au contrai- re, pour l"astrophysicien qui ´etudie l"univers `a grande ´echelle, notre galaxie est un objet "microscopique", cependant que pour l"expert engluonsetquarks, un noyau est `a lui seul un v´eritable univers. De la mˆeme fa¸con, le temps de (quasi-)r´ecurrence d"un syst`eme macroscopique est exponentiellement grand, mais en toute rigueur fini : c"est pourquoi le physicien ´enonce le Second Principe, l´egitim´e par le fait qu"un intervalle de temps

≂101023fois l"ˆage de l"univers est r´eellement pour lui inaccessible, tout comme l"infini

au sens commun est et restera toujours hors de port´ee

7. La notion d"´echelle est reli´ee

`a celle der´esolution: toute mesure est effectu´ee `a l"aide d"un appareil de pr´ecision limit´ee fournissant des valeurs dont on peut seulement dire que chacune se trouve dans un certain intervalle fini autour de la valeur retenue ; l"intervalle est commun´ement

2`A au moins une exception toutefois, lorsqu"il s"agit d"une loi de conservation fondamentale (celle de

la charge ´electrique, par exemple), et de la sym´etrie sous-jacente.

3Pour la masse du photon, la borne sup´erieure exp´erimentale actuellement admise est environ

10

-52kg. Quant au neutron, sa charge totale r´eput´ee nulle ne doit pas dissimuler le fait qu"il poss`ede

une structure de charge (l"atome aussi est de charge nulle !).

4Il n"est pas exag´er´e de dire que tout l"art du physicien estde construire les (bons) mod`eles pour

rendre compte des observations.

51 eV?1,6×10-19J.

6L"ordre de grandeur du "rayon" des noyaux est le Fermi (1 F= 10-15m).

7De l"hypoth`ese de Riemann ("Tous les z´eros non-triviaux de la fonction de Riemann sont sur la

droite..."), le matheux ne dira pas qu"elle est vraie puisqu"elle n"est pas encore d´emontr´ee ; en revanche,

le physicien qui, dans les bonnes unit´es, travaille avec des nombres?25 millions la consid´erera comme

exacte. Mˆeme pour une science dite exacte, la v´erit´e peutˆetre toute relative. Cl.A.

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Math´ematiques pour physiciens

iv

appel´ebarre d"erreur. C"est par r´ef´erence `a la situation exp´erimentale que l"on pourra ou

non, et ´eventuellement, conceptualiser une grandeur physique comme prenant des valeurs continues 8. Noter aussi qu"une ´echelle physique donn´ee a une signification toute relative, d´ependant du probl`eme analys´e. Par exemple, la relaxation d"un syst`eme macroscopique

(de volumeV) trait´e en thermodynamique relativiste exige la consid´eration de l"´echelle de

tempsτd´ef=V1/3 cqui prend en compte la vitesse finie de propagation. De la mˆeme fa¸con, la longueur d"onde Compton h mcn"est pertinente que pour des ph´enom`enes impliquant une ´echelle d"´energiehν≂mc2. Il convient ´egalement de rappeler que l"horizon de la Physique est born´e ; en l"´etat actuel des choses, o`u gravitation et th´eorie quantique ne sont pas unifi´ees, le physicien est aveugle au-del`a des ´echelles de Planck

9. Pour n"importe quel probl`eme

de Physique, elles constituent des "infiniment petits/grands" incontournables bornant

inf´erieurement/sup´erieurement toute autre ´echelle pertinente pour le probl`eme consid´er´e.

Ce sont ces distinctions qui permettent de l´egitimer une approche pragmatique des math´ematiques `a l"usage des physiciens, o`u l"introduction de certains nouveaux concepts en tant que r´esultats de passage `a la limite au sens du math´ematicien n"est pas toujours, au vu des principes physiques, indispensable, et ne s"impose que par pure commodit´e technique. L"exemple le plus simple venant `a l"esprit est sans doute la notion dedis- tribution, n´ecessaire en toute rigueur pour la formalisation de l"´Electrostatique, laquelle pourtant n"a pas dˆu attendre (heureusement !) les ann´ees 1950 pour trouver son ach`e- vement, et pour la M´ecanique quantique mais cela n"a pas empˆech´e Dirac de formuler l"´Electrodynamique quantique d`es 1928. En fait, le bien-fond´e de l"approche physique des math´ematiques repose sur l"hypoth`ese que le physicien n"a pas perdu la raison, rassur´e par

la certitude que s"il fait des bˆetises, il va trouver des ˆaneries ! Par exemple, la "fonction"

de Dirac n"est que l"id´ealisation conceptuelle d"une vraie et bonne fonctionδε(x-x0)de

largeurεtr`es ´etroite (`a l"aune de la bonne ´echelle, pr´ecis´ement), d"int´egrale unit´e, et

qui, associ´ee `a une fonctionf(x)`a variationlente, extrait pr´ecis´ement la valeur de la fonction au point de concentration : f(x)δε(x-x0)dx?f(x0) (1) Ceci n"est acceptable que dans la mesure o`u, siΔxest l"´echelle de variation significative

def, l"in´egalit´eε?Δxest v´erifi´ee pour le probl`eme consid´er´e ; cela ´etant, le physicien

n"a pas vraiment besoin de connaˆıtre la th´eorie des distributions pour ´ecrire l"´egalit´e

8Pour une source radioactive jeune et macroscopique, consid´erer le nombre de noyaux actifs comme

une variable continue n"est pas d´eraisonnable puisque 1 est un "infiniment petit" compar´e au nombre

d"Avogadro. De mˆeme, l"intensit´e dans un circuit macroscopique estI=dq dt, alors que l"on sait bien que

la charge ´electrique estquantifi´ee, de mˆeme le nombre 1 est tout petit quand il est la diff´erencede deux

nombres quantiques valant chacun des milliards de milliards (d"o`u la limite (asymptotique) classique de

la M´ecanique quantique), etc.

9Le temps de Planck estτP=?

?G c5≂3×10-43s, la longueur de Planck estlP=? ?G c3≂9×10-35m ; quant `a l"´energie de PlanckEP=? ?c5 G, elle de l"ordre de 4×108J, soit environ 2×1018GeV...

FIP 1 - 2010/2011

Math´ematiques pour physiciens 16 II 2018

Cl.A. UPMC v approch´ee (1), qui est en fait une simple trivialit´e (au moins pour lui), et se borne `a admettre la r`egle op´erationnelle de la "fonction" de Diracδ(x-x0): b a f(x)δ(x-x0)dx=f(x0) (a < x0< b).(2)

Dans le mˆeme ordre d"id´ees, `a propos des rappels sur les s´eries de Fourier, on "d´emon-

trera" la relation :? n?Ze inx= 2π? p?Zδ(x-2pπ) (3) qui joue un rˆole important dans les probl`emes de diffraction (condition de von Laue, ´equivalente `a la condition de Braggnλ= 2dsinθ). On donnera n´eanmoins un bref

aper¸cu de la th´eorie des distributions, aussi appel´ees fonctions g´en´eralis´ees - on verra

pourquoi. Autre exemple, relatif `a la notion de fonction p´eriodique. Pour le math´ematicien,

cette notion est d´efinie sans ambigu¨ıt´e : une fonctionf(t)estT-p´eriodique s"il existe

un r´eel

10Ttel quef(t+T) =f(t). En soi, cette affirmation contient le fait que la

fonctionfest non nulle det=-∞`at= +∞. Pour le physicien, ce simple fait est une vue de l"esprit : sitest le temps, toute fonctiong(t)repr´esente un ph´enom`ene de dur´ee forc´ement finie ; ainsi, les fonctions manipul´ees par le physicien ne sont jamaisstricto

ailleurs sera consid´er´ee en Physique comme p´eriodique si sa dur´eeτest grande par rap-

port `a la p´eriodeT(autrement dit, on a le temps de compter un grand nombre de p´eriodes

avant l"extinction). De fa¸con plus quantitative, la transform´ee de Fourier sera consid´er´ee

comme quasi monochromatique

11siδω≂τ-1est tr`es petit devant la r´esolution en pul-

sation disponible (exp´erimentalement ou dans l"intellect du physicien) : ici encore, une ´echelle (la r´esolution spectrale) permet au physicien defaire le saut conceptuel `a propos d"objets qui ne sont passtrictementceux qu"a d´efinis le math´ematicien.

Un dernier exemple. L"´equation de Newton :

m d2?r dt2=?F(4)

n"a jamais ´et´e d´emontr´ee par personne. La seule chose av´er´ee (exp´erimentalement !)

est que si l"on fait des mesures entre deux instantstett+δt, la trajectoire polygonale construite par la succession des points discrets, relev´esexp´erimentalement, s"inscrit sur

la courbe continue diff´erentiable (i.e.lisse, sans rugosit´e) d´eduite de (4). Bien sˆur, la

technologie aidant, on sait diminuerδt, mais il sera toujoursfini, dans toute exp´erience, et ne sera jamais ledtdu math´ematicien. Si le physicien recourt `a la forme limite (4),

c"est juste parce qu"il sait int´egrer les ´equations diff´erentielles, et qu"il est beaucoup plus

10Il existe ´evidemment des fonctions p´eriodiques dont la p´eriode est un nombre complexe. La restriction

n"est ici que pour la pertinence physique de l"argument.

11et dans les calculs on introduira justement des fonctions deDiracδ(ω±ω0), avecω0T= 2π, qui ne

sont que l"id´ealisation de fonctions tr`es ´etroitesδδω(ω±ω0). Cl.A.

UPMC16 II 2018FIP 1 - 2010/2011

Math´ematiques pour physiciens

vi simple techniquement de proc´eder ainsi plutˆot que de faire les calculs avec des accroisse- ments finis

12. C"est aussi et surtout parce qu"aucune exp´erience n"est venue d´ementir

(4) au sens o`u, `a partir d"unδttrop petit, les points exp´erimentaux se seraient ´ecart´es

de la ligne continue d´eduite de (4). Si un jour on d´ecouvre qu"il faut discr´etiser temps et espace

13en-dessous de certainsδretδt, alors il faudra - au moins `a ces ´echelles -

renoncer `a des ´ecritures diff´erentielles comme celles employ´ees dans (4). La notion de limite semble bien ˆetre l"un des concepts au sujet duquel les univers du math´ematicien et du physicien se chevauchent sans se superposer parfaitement : si le second peut passer `a la limite sur le papier pour faciliter un d´eveloppement formel, empruntant ainsi unconceptd´efini par le premier, il sait aussi qu"en cas de difficult´e, un retour en arri`ere est toujours possible. Notamment, on sait bien que l"ordre des limites est parfois d"importance et conditionne le r´esultat. Lorsque tel est le cas, et sachant que

la r´eponse physique d"un probl`eme bien pos´e doit ˆetre unique, cet ordre doit ˆetre dict´e

par la physique du probl`eme. Des exemples connus sont la transition ferromagn´etique14, o`u les deux limites sontN→+∞etB →0, le coefficient de r´eflexion sur une marche de potentiel d"´epaisseurl, pour laquelle les deux limites?→0etl→0ne commutent pas non plus [2], ou encore la limite classique et la limite detemp´erature nulle ; dans ce dernier cas, le bon param`etre est un rapport du genre kBTquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47