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Première écriture du taux de variation Soit f une fonction f définie sur un intervalle I soient x1 ∈ I , x2 ∈ I et x1≠ x2 Le taux de variation de f entre x1 et x2 est :
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Il s'agit ici d'une augmentation de 10400 – 8500 = 1900 habitants (variation absolue) Le taux d'évolution de la population est donc : t = 1900 8500 ≈ 0,224
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Taux de variation Pour tous
Taux de variation d'une fonction.I Définition.1 Première écriture du taux de variation.La fonction f est définie sur l'intervalle I.x1∈I, x2∈I et x1≠x2.
Le taux de variation de f entre x1et x2est :
=fx2-fx1 x2-x12 Interprétation géométrique.Soit les pointsMx1;fx1 et Nx2;fx2,le taux de variation est le coefficient directeur
de la droiteMN, nommée sécante.Voir le graphique du cours : Ordre et variations d'une fonction.
3 Exemple.
Soit f la fonction carré définie sur
x2-x1=x22-x12 x2-x1=x2x1 II Application.Le signe du taux de variation indique le sens de variation de f .1 Théorème.Soit
x1≠x2.Si pour tout couple x1;x2, x1∈I, x2∈I, 0alors f est décroissante sur I.
Si pour tout couple
x1;x2, x1∈I, x2∈I, 0alors f est croissante sur I.Si pour tout couple x1;x2, x1∈I, x2∈I, 0alors f est strictement décroissante sur I.
Si pour tout couple
x1;x2, x1∈I, x2∈I, 0alors f est strictement croissante sur I. Si pour tout couple x1;x2, x1∈I, x2∈I, =0alors f est constante sur IDémonstrationPremière proposition.
0donc fx2-fx1 et x2-x1sont de signes opposés.Pour tout couplex1;x2, x1∈I, x2∈I, x1x2⇒fx1fx2.f est décroissante sur I.
On démontre de même les autres propositions.2 Exemple.Soit f la fonction carré définie sur
ℝ,on a vu que=x2x1x1≠x2donc si l'un des xi est nul l'autre n'est pas nul.Pour tout couple
x1;x2, x1∈ℝ+, x2∈ℝ+, 0donc f est strictement croissante surℝ+
Pour tout couplex1;x2, x1∈ℝ_, x2∈ℝ_, 0donc f est strictement décroissante sur
ℝ_Auteur : Thierry Vedel page 1 sur 3Taux de variation Pour tous
3 Inconvénients et nouvelle méthode.Le taux de variation est une fonction à deux variables,x1 et x2,et il n'est pas facile de
déterminer les intervalles où le taux a un signe constant. Dans un prochain chapitre, on va définir le
nombre dérivé et la fonction dérivée, fonction a une seule variable. Ces notions se déduisent du taux de
variation mais il faut se servir des limites qu'on n'a pas encore étudier. La suite de ce cours est une
première approche de ces notions. Cette approche est historique mais pas rigoureuse mathématiquement. Newton et Leibniz sont les " inventeurs » du calcul différentiel et leurs calculs, malgré le manque
de rigueur, étaient justes et cette théorie a fait faire un bond de géant à l'analyse.III Approche de la définition du nombre dérivée.1 Deuxième écriture du taux de variation.La fonction f est définie sur l'intervalle I.x1=a∈I, x2=ah∈I et h≠0.
Le taux de variation de f entre
aet ahest : h2 Exemple.Soit f la fonction carré définie sur
h=a2-ah2 h=2ahh2 h=2ah3 Les variations peuvent être étudiées localement.Si la fonction f croissante sur
[a0;a1]et sur [a1;a2]elle est croissante sur [a0;a2]Démonstration.On suppose h positif.Soit
x1;x2, x1∈[a0;a2], x2∈[a0;a2], x1x2.Le seul cas à étudier correspond à
x1∈[a0;a1], x2∈[a1;a2]f croissante sur [a0;a1]et x1a1donc fx1fa1.f croissante sur [a1;a2]et a1x2donc fa1fx2.D'où fx1fx2et f est croissante sur [a0;a2]On démontre de même le cas où h est négatif.En appliquant cette propriété à n intervalles[ai;ai1]il vient :si la fonction f croissante sur tous
[ai;ai1]elle est croissante sur [a0;an]. On obtient un théorème équivalent avec f décroissante. On peut toujours découper un intervalle [;] en n intervalles [ai;ai1]3 Variations de la fonction carré.Soit f la fonction carré définie sur
ℝ, on a vu que=2ahSi a0on pose h=a2et 0sur [a-h;ah].Donc f est strictement croissante sur
]0;∞[. Par un raisonnement analogue, f est strictement décroissante sur ]-∞;0[.Auteur : Thierry Vedel page 2 sur 3
Taux de variation Pour tous
Le signe du taux sur un intervalle assez petit contenant a ne dépend que de a." A la limite », pourquoi ne pas prendre h nul ? C'est ainsi que raisonnaient Newton et Leibniz au
grand dam des mathématiciens de l'époque qui argumentaient, avec raison, que h ne pouvait être à la fois
non nul, pour calculer le taux, et nul. Cette théorie est devenue rigoureuse le jour où la notion de limite a
été correctement définie.La limite quand h tend vers 0 de 2ahest 2a est s'appelle le nombre dérivée de f en a.
On étudiera les limites dans un prochain chapitre.Auteur : Thierry Vedel page 3 sur 3quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6