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Chapitre 2

Taux de variation, dierentielles

et derivees 2.1 T auxde v ariationmo yenDenition 2.1.Soitfune fonction reelle. Sixvarie deaab, on note parx lavariation enx: x=ba Lavariation enycorrespondant a cette variation enxsur l'intervalle[a;b]est denie par y=f(b)f(a): Si on connaitaetxplut^ot queaetb, commex=baest equivalant a b=a+x, on peut aussi calculer la variation enycomme ceci : y=f(a+x)f(a):Exemple 2.1.Siy=x2, alorsy=x2(1;f(1))(3;f(3))11 39
x=2y=8xy Il faut garder en t^ete que pour une variation enxxxee,ydepend de la valeur choisie pourx=a. Dans le graphe suivant,xest le m^eme pour l'intervalle commen- cant aaque pour celui commencent ab. On voit cependant que leycorrespondant a chacun est dierent. 28
y=x3aa+xbb+xxy Denition 2.2.Le taux de variation moyen dey=f(x)pourxallant dex=a jusqu'ab=a+xest deni par TVM

Denition 2.3.

Letaux de variation moyen(TVM) d'une fonctionfsur

un intervalle[a;b]est deni par TVM [a;b](f)=yx=f(b)f(a)ba: Le TVM est le changement moyen de la valeur de la fonctionfquand son argument passe deaab(ou deaaa+x). Dans le cas ou la fonction donne une distance parcourue en fonction du temps (que nous denoterons parx(t), alors le TVM est lavitesse moyennesur le parcours entret=aett=b.

La vitesse moyenne entret=aett=bestxt:

2.2

T auxde v ariationins tantane

Letaux de variation instantane(TVI) de la fonctionfenx=aest le taux de variation obtenu a partir du taux de variation moyen quandxdevient tres petit 29
(ont dit quexest"innitesimal.»). Le taux de variation instantane represente le taux de changement de la fonctionfa un point donne. TVI a(f)=dydx def=f(a+x)f(a)xouxtres petit(a;f(a))(a+x;f(a+x))a xxy Quandxdevient de plus en plus petit, le point(a+x;f(a+x)se rapproche du point(a;f(a)). Les secantes passant par ces deux points sont de plus en plus similaire a la tangente au graphe au point(a;f(a)).(a;f(a))a xxy(a;f(a))ax(a;f(a))ax Ultimement (c'est a dire quandxdevient"inniment petit»), les segments secants et la courbe elle m^eme se confondent.Denition 2.4. Le taux de variation instantane de la fonctiony=f(x)enx=a est la pente de la tangente au point(a;f(a))au graphe def(x)(si cette tangente existe). Siy=f(x), on note le taux de variation instantane enx=apar dydx x=aouTVIa(f) Le taux de variation instantane varie d'un point a l'autre du graphe d'une fonction, comme on peut le voir dans le graphe suivant ou la pente de la tangente n'est pas la m^eme enx=1,x=2etx=3. 30

123(1;f(1))(2;f(2))(3;f(3))xyOn peut aussi remarquer dans ce dernier exemple que la pente de la tangente est liee

a la croissance de la fonction : elle est positive la ou la fonction est croissante (en x=3), negative la ou la fonction est decroissante (enx=2). Elle est nulle (tangente horizontale) quand il y a un maximum (ou un minimum), comme enx=1. Une interpretation physique permet de se faire une intuition de la signication de dydx: la vitesse. La vitesse moyenne dans un parcours est le rapport de la distance parcouruexsur le temps de parcourst. La vitesse instantanee est la vitesse a un instant donnee (celle des indicateurs de vitesse dans les voitures!). La vitesse instantanee est le rapport de la distance parcourue parcouruedxpendant un temps innitesimaldt.

Vitesse moyenne=xyVitesse instantanee=dxdt

2.3

Di erentielles

On vient de denir le taux de variation instantane enx=a dydx x=a comme etant la pente de la tangente au point(a;f(a)). Voyons comment on peut calculer ce taux pour une fonctiony=f(x).xy xx+dxf(x)ydx xydyy+dyy+y=f(x+dx)y=f(x) Quandxest tres petit, on peut approximer l'accroissementysur le graphe de la fonction par l'accroissementdysur la droite tangente. Comme la pente de la tangente estdydx , sixest tres petit on a que ydy; 31
c'est a dire que dyf(x+x)f(x):Proposition 2.1.Siyest une fonction dex,y=f(x), alors la dierentielle eny est dyf(x+dx)f(x) quanddxest tres petit.Denition 2.5. Letaux de variation instantanede la fonctiony=f(x)en x=aest TVI a(f)=dydx x=adef=f(a+dx)f(a)dx Exemple 2.2.Calculons la pente de la tangente a la fonction denie par y=f(x)=x3 enx=2.2f(2)2+dxf(2+dx)xy dy dx x=2f(2+dx)f(2)dx (2+dx)3(2)3dx =23+(3)22dx+(3)(2)dx2+dx323dx

12dx+6dx2+dx3dx

dx12+6dx+dx2dx =12+6dx+dx2

12(quanddxtres petit).32

La pente de la tangente au graphe de la fonctiony=x3enx=2est 12.De maniere generale, pour calculer la pente de la tangente a partir de la denition

du taux de variation moyendydx , nous devons 1.

Ecrire la denition dedydx

x=aet evaluer correctementdy, doncf(a+dx)f(a). Faire une esquisse peut aider a se souvenir de la denition! 2. manipuler algebriquement le numerateur pour y factoriserdx; trois trucs selon l'expression :

Polyn^omes :

d eveloppere tf actoriser;

Fractions :

met treau d enominateurcomm un;

Racines :

con jugue. 3. si mplierl edxmis en evidence au numerateur avec ledxdu denominateur; 4. negliger toutes les occurrences dedxrestantes dans l'expression obtenue apres la derniere simplication.Exemple 2.3.Calculons la pente de la tangente a la fonction denie par f(x)=1x+1 enx=2et donnons l'equation de la droite tangente enx=2.2f(2)x+dxf(x+dx)xf(x)33 dy dx x=2def=f(2+dx)f(2)dx

1(2+dx)+112+1dx

13+dx13

dx

33(3+dx)3+dx3(3+dx)dx

3(3+dx)3(3+dx)dx

dx3(3+dx)dx dx3(3+dx)dx

13(3+dx)

19

La droite tangente enx=2est donc de pente19

. Son equation est de la forme y=x9 +b:Pour determinerbon prend un point sur la droite. On sait que la droite est tangente au point2;f(2), c'est a dire au point(2;13 ). On doit donc avoir 13 =29 +b:

En isolant, on trouve que

b=13 +29
=59

L'equation de la tangente est donc

y=x9 +59
:Exemple 2.4.Calculons la pente de la tangente a la fonction denie par f(x)=px+2 enx=0et donnons l'equation de la droite tangente enx=0.34

2xf(x)dy

dx x=0def=f(0+dx)f(0)dx =p(0+dx)+2p0+2dx =pdx+2p2 dx =pdx+2p2 dx pdx+2+p2pdx+2+p2 (dx+2)2dx

1pdx+2+p2

dxdx

1pdx+2+p2

1pdx+2+p2

1p2+p2

12 p2

La droite tangente enx=0est donc de pente12

p2 . Son equation est de la forme y=x2 p2 +b:Pour determinerbon prend un point sur la droite. On sait que la droite est tangente au point(0;f(0), c'est a dire au point(0;p2). On doit donc avoir p2=0+b:

En isolant, on trouve que

b=p2:35

L'equation de la tangente est donc

y=x2 p2

+p2:2.4Di erentielleset a pproximationSupposons que l'on a une fonctiony=f(x). On a vu que l'on peut approximer les

valeurs de la fonction a l'aide des dierentielles pour des valeurs proches d'une valeur donnee en approximant la fonction par la droite tangente. On peut se servir de cette approximation pour simplier certains calculs. L'idee generale est d'utiliser dy=f(x+dx)f(x) et le fait que dy=dydx dx:

Par exemple, siy=px, on peut verier que

dydx x=1=12 Comme dy=f(x+dx)f(x) etdy=dydx dx, on a que f(x+dx)=f(x)+dydx dx:1p1

1,1p1+0;1xpx

Si on veut calculer

p1;1, on decompose1;1en1+0;1et on posex=1etdx=0;1. px+dxpx+dydx dx p1;1p1+12 (0;1) p1;11+0;12 p1;11+0;05p1;11;05: 36
La valeur trouvee est a moins d'un centieme de la valeur

p1;1=1:048808:::Cette approximation n'est pas exacte, mais peut donner des valeurs avec une precision

satisfaisante sans exiger de calculs complexes : il sut d'utiliser la formule p1+dx1+dx2 qui est une bonne approximation tant quedxest petit, donc pour des valeursx+dx proches de1. 2.5

D erivee

Comme la pente de la tangente au graphe d'une fonctionfdonne beaucoup d'infor- mation sur le comportement de la fonction et qu'elle varie d'un point a l'autre, il est utile de la considerer comme une nouvelle fonctionderiveede la fonction initiale. Cette fonction derivee associe a chaque valeur dexdans le domaine defla pente de la tangente au graphe defau pointx;f(x).Denition 2.6. Lafonction deriveef0d'une fonctiony=f(x)est denie par f0(x)=dydx =TVIx(f):xy xx+xf(x)f(x)x=dxydyf(x+x)f(x) On determine la fonction derivee de la m^eme maniere que la derivee en un point, mais en laissant la coordonnee enxindeterminee.37

Exemple 2.5.Sif(x)=x3, alors

dydx =f(x+dx)f(x)dx (x+dx)3x3dx (x3+3x2dx+3xdx2+dx3)x3dx

3x2dx+3xdx2+dx3dx

(3x2+3xdx+dx2)dxdx =3x2+3xdx+dx2 3x2

On a donc que la derivee estf0(x)=3x2.A l'aide de la fonction derivee, on peut par exemple determiner la pente de la tangente

afen un point quelconque(x;f(x))du graphe defen evaluantf0(x). Par exemple, six=2, la pente de la tangente est f

0(2)=3(2)2=24:

Six=1, la pente de la tangente est

f

0(1)=3(1)2=3:21

On peut aussi chercher les valeurs dexou la pente a une valeur specique. Par exemple, sachant quey0=3x2quandy=x3, on peut trouver ou la tangente est horizontale en posant que la derivee (qui est la pente de la tangent) est nulle. Dans le dernier exemple, cela est le cas quand y

0=0()3x2=0()x=0:

38

Exemple 2.6.Sif(x)=px+1, la deriveey0est

f

0(x)def=f(x+dx)f(x)dx

=p(x+dx)x+1px+1dx =px+dx+1px+1dx px+dx+1+px+1px+dx+1px+1 (x+dx+1)(x+1)dx

1px+dx+1+px+1

dxdx

1px+dx+1+px+1

1px+dx+1+px+1

1px+1+px+1

12 px+1

La derivee de

px+1est donc12 px+1.La fonction deriveef0est la fonction qui associe a chaque valeur dexle taux de variation instantane defenx, soit la pente de la tangente enx;f(x): f

0(x)=TVIx(f)=dydx

Les notationsf0(x),TVIx(f)etdydxsont donc interchangeables. Cependant, la premiere met l'accent sur le fait que la nouvelle fonctionf0est determinee a partir de la fonction originalef. Cette fonction est le plus souvent appelee simplementla derivee def. L'operation"'»(derivee) est en fait elle m^eme une sorte de fonction, mais qui prend une fonction comme argument et qui donne une nouvelle fonction : derivee:fonctions reelles!fonctions reelles:

La derivee est une"fonction de fonction».

2.6

Dro itet angentee ta pproximationd' unef onction

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