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Deuxième partie : Démonstration de la formule d'Al-Kashi Soit ABC Première partie : Une première version du théorème de Thalès Je suis fan des maths

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On peut prouver le théorème d'al-Kâshî à partir de celui de Pythagore et des relations trigonométriques dans le triangle rectangle On le fait ici dans le cas où

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Dans le triangle ABC tel que: AB = 3 cm AC = 4,3 cm et BC = 6,7 cm Déterminer l 'angle Â D'après le théorème d'Al Kashi, BC² = AC² + AB² 2 AC AB

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Al Kashi (1380-1430) : mathématicien et astronome perse - auteur de « Miftah al Théorème Si , dans le triangle quelconque ABC ,on note AB = c , BC = a

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Il laisse par ailleurs son nom à un théorème qui généralise le théorème de Pythagore pour un triangle quelconque et qui s'exprime aujourd'hui de la façon

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Le théorème d'Al-Kashi est une version du théorème de Pythagore amélioré On trouve Théorème (Al-Kashi) Dans un triangle ABC on a : AB2 = BC2 +CA2

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Ce dont je suis totalement sûr en revanche, c'est que al-Kashi méritait bien qu'on se souvienne de lui 1 Relations métriques dans le triangle À ma connaissance,

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La longueur totale du parcours est égale au périmètre du triangle ABC soit 5457 m (à 1 m près) 2) D'après le théorème d'Al-Kashi, on a: AB2 = AC2 + BC 2 − 2

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Fiche de travail ± Al-Kashi

Dans un triangle rectangle, on appelle :

·}]vµ[µvvPo]Pµo'µ}š]všoo}vPµµOEµ€š ivššvPo]Pµ‰OEoo}vPµµOEo[ZÇ‰}š vµX

·^]vµ[µvvPo]Pµo'µ}š]všoo}vPµµOEµ€š }‰‰} švPo]Pµ‰OEoo}vPµµOEo[ZÇ‰}š vµX

·dvPvš[µvvPo]Pµo'µ}š]všoo}vPµµOEµ€š }‰‰} švPo‰OEoo}vPµµOEµ€š ient à

cet angle aigu.

Déterminer la longueur BC.

On considère la hauteur du triangle ABC issue de ܣ. On note ܪ

Dans le triangle AHB, exprimer ܿ

En travaillant dans le triangle AHC et en utilisant le résultat de la question 1), prouver que : b) En déduire une expression de ݔ.

o[]OE µošš'µš]}vîšïU‰OE}µÀOEo(}OEuµo[l-Kashi :

Construire un triangle ABC tel que :

Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours

Fiche de travail - Archimède

>µš[OEZ]u š]š šOEu]vOEµv(}OEuµo‰}µOEoµoOEoÀ}oµu[µv}µoX x ʹܴܴ x ʹܴ ⃩U‰}µOEZ'µ}o]ošOEvZ[ ‰]µOEࣟ݄

Fiche de travail - Bernoulli

Première partie : Epreuve de Bernoulli

Définition :

épreuve de Bernoulli

a)  b) L:5;

2) ⃩L:5;

Deuxième partie : Schéma de Bernoulli

Définition :

schéma de Bernoulli⃩ 1) a) b) ⃠

Fiche de travail t Cavalieri

Première partie : Coµoo[]OEµ]'µ

Première version du principe de Cavalieri :

parallèles 55

565556

NNr4

2)묠

Deuxième partie : Calcul du volume de la boule

Une autre version du principe de Cavalieri (ou méthode des indivisibles) : N NN NN Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours U

1)

2)⃠

8 Lv uèN7 Troisième partie : µš]}vo[]OEde la sphère N

/o(µš'µ‰}oÇP}v}]vššOE‰š]š‰}µOE'µo[}v‰µ]}v] OEOE

'µ[]o POEvš oµOE (}OEu µOE o phère. S[ils étaient trop grands, cette

approximation n[aurait pas de sens. J

2)뀱

3) s uN

H#ENA@AH=OLD°NA

Lv uèN7 Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours

Fiche de travail - Diophante

‰OE}ouššOE]µ D šOE}}OE~ÀOEñìì'µ]‰OEušoµoOEo[P]}‰Zvšu}OEš

Passant, sous ce tombeau repose Diophante,

Et quelques vers tracés par une main savante

Vont te faire connaître à quel âge il est mort :

Des jours assez nombreux que lui compta le sort,

Le sixième marqua le temps de son enfance ;

Le douzième fut pris par son adolescence.

Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,

Puis, s'étant marié, sa femme lui donna

Cinq ans après un fils qui, du destin sévère Reçut de jours, hélas ! deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut : Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Fiche de travail - Euclide

On considère un triangle ABC.

On sait que :

Déterminer la mesure de chacun des angles du triangle ABC.

1)On considère un triangle ABC.

6)Conclure sur la somme des angles du triangle ABC.

Quatrième partie : Généralisation

Fiche de travail - Euler

Première partie : Trois droites remarquables du triangle

Définitions :

On appelle :

médiatrice [µvPuvšoOE}]š‰OE‰v]µo]OEPuvš'µ]‰‰OE}vu]o]µX

médiane [µvšOE]vPoµvOE}]š'µ]‰‰OEµv}uušµšOE]vPoš‰OEou]o]µµ€š }‰‰} }uušX

hauteur [µvšOE]vPoµvOE}]š'µ]‰‰OEµv}uušµšOE]angle et qui est perpendiculaire au côté opposé à

ce sommet.

1)Tracer un triangle ABC.

2)Tracer en vert les trois médiatrices du triangle, en rouges les trois médianes du triangle, en bleu les trois hauteurs

du triangle. Que remarque-t-on sur ces trois triplets de droites ?

3)Quelle conjecture peut-on faire à propos des trois points ainsi obtenus ?

Deuxième partie : Démonstration de la concourance des médiatrices médiatrice de [AB]. On appelle ܱ

2)En déduire que ܱ

3)Que peut-on en conclure.

Définition W>‰}]vš[]všOEš]}všOE}]u ]šOE][µvšOE]vPoš‰‰o ocentre du cercle circonscrit au

triangle. Troisième partie : Démonstration de la concourance des hauteurs la droite parallèle à (AB) qui passe par C.

1)Quelle est la nature des quadrilatères AFBC et AECB ?

Définition W>‰}]vš[]všOEš]}všOE}]ZµšµOE[µvšOE]vPoš‰‰o o[orthocentre au triangle.

Propriété - définition W>šOE}]u ]v[µvšOE]vPo}vš}v}µOEvššoµOE‰}]vš[]všOEš]}vš‰‰o o

centre de gravité au triangle.

Propriété - définition : vµvšOE]vPoUovšOEµOEo]OE}vOE]šUo[}OEšZ}všOEšovšOEPOEÀ]š }vš

Fiche de travail - Euler

Première partie : Un problème à résoudre comprenait sept ponts, disposés selon le schéma ci-contre. promenade passant dans chacune des quatre parties de la ville mais une fois et une seule fois par chaque pont.

Cela est-il possible ?

Deuxième partie : Une schématisation du problème On appelle graphe un ensemble de points et de " liens » comme sur les figures ci-dessous :

Définition :

Les liens sont appelés les arêtes du graphe. Une arête a pour extrémités deux sommets. partent (ou qui arrivent).

On considère le graphe ci-contre.

1) Combien de sommet a ce graphe ?

2) Quel est le degré du sommet ༄͍

3) Quel est le degré du sommet ༉?

Troisième partie : Chaîne et cycle eulériens

Définitions :

Définition :

toutes les arêtes du graphe, prises chacune une fois et une seule. arêtes du graphe, prises chacune une fois et une seule.

On considère le graphe ci-contre.

3) Donner un exemple de chaîne eulérienne.

4) Est-ce un graph eulérien ?

6) Le graphe utilisé pour les questions 1) et 2) de cette partie possède-t-il une chaîne eulérienne ?

Quatrième partie : Une propriété très utile

1) Dessiner un graphe à 5 sommets qui possède une chaîne eulérienne.

2) Dessiner un graphe à 6 sommets qui soit eulérien.

sommets des graphes eulériens, que remarque-t-on ? b) Quelles propriétés peut-on conjecturer ?

4) Peut-on dessiner les enveloppes ci-contre sans lever le crayon et en passant une fois et une seule sur chaque trait

(mais on peut passer plusieurs fois par un même point) ? Justifier.

Fiche de travail - Fibonacci

Première partie : Un problème à résoudre Juliette se trouve face à son escalier qui composte 14 marches et se demande :

" Combien de possibilités ai-je pour monter cet escalier en sachant que je peux monter, à chaque fois, soit une

marche, soit deux marches. »

Par exemple :

est une possibilité.

1) ^]o[o]OE}u‰}OEšíuOEZU}u]v‰}]]o]š y a-t-il ? Les lister. On note ܨ

2) ^]o[o]OE}u‰}OEšîuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

3) ^]o[o]OE}u‰}OEšïuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

4) ^]o[o]OE}u‰}OEšðuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

5) Répondre à la question de Juliette.

On peut monter, à chaque fois, soit une marche, soit deux marches.

On appelle ܨ

Etablir une relation de calcul qui permette de calculer ܨ௡ à partir de ܨ௡ିଵ et ܨ

Troisième partie : Manipulation de cette suite

1) Remplir la suite de Fibonacci suivante :

2 5

2) Compléter la suite de Fibonacci suivante :

9 241

3) Trouver la suite de Fibonacci commençant par 8 et dont le 7ème terme est 134 :

8 134

Fiche de travail - Héron

L=#$ L?#% L> 5 L

¥L:L

F=;:L F>;:L F?; L L L= E> E? t Lsr#% Lsu 1)

2)oµoOEo[]OEšOE]vPovµš]o]OEo(}OEuµo, OE}vX

Deuxième partie : Le cas du triangle rectangle isocèle L#% L=

1)oµoOEo[]OEšOE]vPov(}vš]}v=

2)$%=

3)s OE](]OE'µ[Ào(}OEuµo, OE}vU}vOEšOE}µÀ]vou!uOE µošš'µvo'µš]}víX

Troisième partie : Le cas du triangle équilatéral L= 1)%

2)oµoOEo[]OEšOE]vPov(}vš]}v=

3)s OE](]OE'µ[Ào(}OEuµo, OE}vU}vOEšOE}µÀ]vou!u

Quatrième partie : Le cas général

LT#* LD

1)#*$D?T

2)#*%D=á>T

T L=6 F>6 E?6 t=

4)Tvo[AE‰OE]}všOE}µÀ vo'µš]}víUu}všOEOEUo[]]vš]š OEuOE'µo'µ

D L F= E?;:> E= F?;:= E? F>;:= E> E?; t=

5)v µ]OE'µo[]OEµšOE]vPoš

5 L

¥L:L

F=;:L F>;:L F?;

Fiche de travail - Pascal

Première partie : Le triangle de Sierpinski

Etape 0 Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4

On va construire sur une feuille de papier à dessin (ou papier rigide) les trois premières étapes.

ALGORITHME DE CONSTRUCTION

Étape 0 : Tracer un triangle équilatéral de 16 cm de côté.

Étape 1 : Construire les trois segments qui joignent deux à deux les milieux des côtés du triangle, ce qui délimite 4

nouveaux triangles et colorier (très finement) tous les triangles, sauf celui du milieu. Il y a maintenant trois petits

triangles coloriés qui se touchent deux à deux par un sommet. Étape 2 : Recommencer avec chacun des petits triangles coloriés obtenus. Deuxième partie : Napperon de Sierpinski et triangle de Pascal On considère le triangle de nombres ci-dessous : Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours

Méthode pour compléter ce triangle :

x Sur la bordure droite et sur la bordure gauche, on complète toutes les cases avec des 1. x Ensuite, on complète chaque case avec le procédé suivant :

1)Compléter ce triangle.

Ce triangle de nombres est appelé triangle de Pascal.

2)a) Ecrire à chaque bout de ligne le résultat de la somme de toutes les cases de la ligne.

b) Que remarque-t-on ?

3)Colorier de la même couleur tous les nombres impairs de ce triangle.

4)Que remarque-t-on.

Ce triangle colorié est appelé le napperon de Siepinski. Troisième partie : En lien avec le calcul littéral puissances de ܽ

2)Que remarque-t-on ?

Fiche de travail - Pythagore

On considère la figure dont on donne une représentation ci-contre. >[µv]š šovš]ušOEX

1) Montrer que la longueur exacte du segment [CE] est égale à ξͳͷ cm.

2) Pierre affirme que " Si on voulait un segment de cette longueur, il suffisait

de taper ξͳͷ à la calculatrice et ensuite, on traçait directement le segment de la longueur affichée à la calculatrice iXYµ[v‰vÌ-vous ?

Deuxième partie : Constructions

1) Construire précisément un segment de longueur ξͳ͵ cm.

2) Construire précisément un segment de longueur ξͳͻ cm.

3) Construire précisément un segment de longueur ξʹͺ cm.

>ušZ uš]]v>}µ]>POEvP u}všOE 'µo[}v‰µššOEOEPuvšo}vPµµOEξܽ

nombre entier ܽ

4) Reprendre les questions 1), 2) et 3) en essayant de ne pas faire plus de 3 triangles pour chaque question.

Troisième partie : Vers une propriété

AE‰o]'µOE‰}µOE'µ}]U]oš‰}]ošOEOE‰OE ] uvšv[]u‰}OEš'µoPuvšo}vPµµOEξܽ

entier ܽ

Fiche de travail - Riemann

Première partie W>v}š]}v[]vš POEo

BãTpu‡-C:T;

Ls tT 慴BC

>ÀoµOEšš]OEš‰‰o o[]vš POEoOE:ž; pour ž allant de 0 à 5 et est notée :

±OE:ž;

Deuxième partie : Doµo[]vš POEo FtT Ew6

5@T‡-

±yT744

4@T

Troisième partie : La méthode de Riemann

B÷Tp:T

Fs;8 FtT7 Es uT6 Es B

±OE:ž;

Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours

Fiche de travail - Alan Turing

Première partie : Le chiffrement de César.

code de César permutation circulaire xPar exemple, avec un décalage de 3

1)o[]} OEU}OEo‰ZOEµ]Àvš

Je suis fan des maths

Deuxième partie : Le chiffrement affine

chiffre affine慴 E> Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours Lu> Lw TpuT

Ew

xÉtape 1 : xÉtape 2 :=T E> xÉtape 3 : xÉtape 4 :UOEu‰ovšíó‰OEZUšYKvšOE}µÀ Lt> Lu x x

Avec un peu d'arithmétique, on peut prouver que ‡ convient s'il n'est pas divisible par 2 ou par 13. On peut choisir

en revanche pour ˆ n'importe quelle valeur. 1)= Ly> Ls 2) Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours

Fiche de travail - Venn

Première partie : Un problème à résoudre Dans un groupe de personnes ayant tous au moins un animal :

20 personnes ont un chat

19 personnes ont un chien

12 personnes ont un poisson rouge

12 personne ont seulement un chat (pas de chien ni de poisson rouge).

8 personne ont seulement un chien (pas de chat ni de poisson rouge).

2 personnes ont un chat, un chien et un poisson rouge.

4 personnes ont seulement un chat et un chien et pas de poisson rouge.

Combien de personnes ont seulement un poisson rouge (pas de chat ni de chien) ? Deuxième partie : Une schématisation bien pratique

Un diagramme de Venn (également appelé diagramme logique) est un diagramme qui montre toutes les

relations logiques possibles dans une collection finie de différents ensembles. Les diagrammes de Venn ont été conçus

autour de 1880 par John Venn. Ils sont utilisés pour enseigner la théorie des ensembles élémentaires, ainsi qu'à

illustrer des relations simples en probabilité, logique, statistiques, linguistique et en informatique.

Diagramme de Venn

Troisième partie : Intersection et réunion de deux ensembles Maintenant, on dit que A et B sont deux ensembles.

Définitions :

Quel est son cardinal ?

2) On considère la configuration ci-dessous où un élément est représenté par un point.

3) On considère maintenant la configuration ci-dessous :

a) La formule donnée à la question 2.c) est-elle toujours valable ? Pourquoi ? question 2) ? Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Toursquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Fiche de travail ± Al-Kashi

Dans un triangle rectangle, on appelle :

Déterminer la longueur BC.

Dans le triangle AHB, exprimer ܿ

Construire un triangle ABC tel que :

Fiche de travail - Archimède

Fiche de travail - Bernoulli

Première partie : Epreuve de Bernoulli

Définition :

épreuve de Bernoulli

2) ⃩L:5;

Deuxième partie : Schéma de Bernoulli

Définition :

Fiche de travail t Cavalieri

Première partie : Coµoo[]OEµ]'µ

Première version du principe de Cavalieri :

565556

NNr4

2)묠

Deuxième partie : Calcul du volume de la boule

1)

2)⃠

2)뀱

H#ENA@AH=OLD°NA

Fiche de travail - Diophante

Passant, sous ce tombeau repose Diophante,

Et quelques vers tracés par une main savante

Des jours assez nombreux que lui compta le sort,

Le sixième marqua le temps de son enfance ;

Le douzième fut pris par son adolescence.

Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,

Puis, s'étant marié, sa femme lui donna

Fiche de travail - Euclide

On considère un triangle ABC.

On sait que :

1)On considère un triangle ABC.

6)Conclure sur la somme des angles du triangle ABC.

Quatrième partie : Généralisation

Fiche de travail - Euler

Définitions :

On appelle :

1)Tracer un triangle ABC.

2)Tracer en vert les trois médiatrices du triangle, en rouges les trois médianes du triangle, en bleu les trois hauteurs

3)Quelle conjecture peut-on faire à propos des trois points ainsi obtenus ?

2)En déduire que ܱ

3)Que peut-on en conclure.

1)Quelle est la nature des quadrilatères AFBC et AECB ?

Fiche de travail - Euler

Cela est-il possible ?

Définition :

On considère le graphe ci-contre.

1) Combien de sommet a ce graphe ?

2) Quel est le degré du sommet ༄͍

3) Quel est le degré du sommet ༉?

Définitions :

Définition :

On considère le graphe ci-contre.

3) Donner un exemple de chaîne eulérienne.

4) Est-ce un graph eulérien ?

6) Le graphe utilisé pour les questions 1) et 2) de cette partie possède-t-il une chaîne eulérienne ?

1) Dessiner un graphe à 5 sommets qui possède une chaîne eulérienne.

2) Dessiner un graphe à 6 sommets qui soit eulérien.

4) Peut-on dessiner les enveloppes ci-contre sans lever le crayon et en passant une fois et une seule sur chaque trait

Fiche de travail - Fibonacci

Par exemple :

1) ^]o[o]OE}u‰}OEšíuOEZU}u]v‰}]]o]š y a-t-il ? Les lister. On note ܨ

2) ^]o[o]OE}u‰}OEšîuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

3) ^]o[o]OE}u‰}OEšïuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

4) ^]o[o]OE}u‰}OEšðuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

5) Répondre à la question de Juliette.

On appelle ܨ

Troisième partie : Manipulation de cette suite

1) Remplir la suite de Fibonacci suivante :

2) Compléter la suite de Fibonacci suivante :

9 241

3) Trouver la suite de Fibonacci commençant par 8 et dont le 7ème terme est 134 :

8 134

Fiche de travail - Héron

¥L:L

Première partie : Coµoo[]OEµ]'µ

1) ^]o[o]OE}u‰}OEšíuOEZU}u]v‰}]]o]š y a-t-il ? Les lister. On note ܨ

2) ^]o[o]OE}u‰}OEšîuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

3) ^]o[o]OE}u‰}OEšïuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

4) ^]o[o]OE}u‰}OEšðuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

2)oµoOEo[]OEšOE]vPovµš]o]OEo(}OEuµo, OE}vX

3)s OE](]OE'µ[Ào(}OEuµo, OE}vU}vOEšOE}µÀ]vou!uOE µošš'µvo'µš]}víX

4)Tvo[AE‰OE]}všOE}µÀ vo'µš]}víUu}všOEOEUo[]]vš]š OEuOE'µo'µ

5)v µ]OE'µo[]OEµšOE]vPoš

1)o[]} OEU}OEo‰ZOEµ]Àvš